二次函數(shù)講義-詳細(xì)

1、第一講二次函數(shù)的定義知識(shí)點(diǎn)歸納： 二次函數(shù)的定義：一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常數(shù)，a 0） ，那么 y叫做 x的二次函數(shù). 二次函數(shù)具備三個(gè)條件，缺一不可： （ 1 ）是整式方程；（ 2）是一個(gè)自變量的二次式；（ 3）二次項(xiàng)系數(shù)不為 0考點(diǎn)：二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且二次函數(shù)的表達(dá)式必須為整式例 1、 函數(shù) y=（ m2 ） xm 2 2x 1 是二次函數(shù)，則m=例2、下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）1 y=x；y=3（ x 1）x2 2；y=（ x 3） 2 2x2；y= 2 xxA 1 個(gè)B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè)例 3、某商場將進(jìn)價(jià)為40 元的某種服裝按50 元售出

2、時(shí)，每天可以售出300 套據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種服裝每提高 1 元售價(jià)，銷量就減少5 套，如果商場將售價(jià)定為x，請你得出每天銷售利潤y 與售價(jià)的函數(shù)表達(dá)式例 4 、如圖，正方形ABCD 的邊長為4， P 是 BC 邊上一點(diǎn)，QP AP 交 DC 于 Q，如果 BP=x， ADQ 的面積為 y，用含x 的代數(shù)式表示y30訓(xùn)練題 :1 、已知函數(shù)y=ax2 bx c（其中a， b， c是常數(shù)） ，當(dāng) a 時(shí)，是二次函數(shù)；當(dāng)a ， b 時(shí)，是一次函數(shù)；當(dāng) a ， b ， c 時(shí)，是正比例函數(shù)2、若函數(shù)y=（m2+2m 7）x 2+4x+5 是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍為。3、已知函數(shù)y=（m 1

3、）x+5x 3 是二次函數(shù)，求m的值。4、 已知菱形的一條對角線長為a， 另一條對角線為它的3 倍， 用表達(dá)式表示出菱形的面積S 與對角線a 的關(guān)系5、請你分別給a， b， c 一個(gè)值，讓y ax2 bx c為二次函數(shù)，且讓一次函數(shù)y=ax+b 的圖像經(jīng)過一、二、三象限6下列不是二次函數(shù)的是（）A y=3x 2 412B y= 3x2C y= x2 57函數(shù)y=（ m n） x2 mx n 是二次函數(shù)的條件是（D y= （ x 1 ） （ x 2）A m、 n 為常數(shù)，且m 0C m、 n 為常數(shù)，且n 0B m、 n 為常數(shù)，且m nD m、 n可以為任何常數(shù)8如圖，校園要建苗圃，其形狀如直

4、角梯形，有兩邊借用夾角為135的兩面墻，另外兩邊是總長為30 米的鐵柵欄 （ 1 ）求梯形的面積y 與高 x 的表達(dá)式；（ 2）求x 的取值范圍9如圖，在矩形ABCD 中， AB=6cm ， BC=12cm 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始沿 AB 方向向點(diǎn)B 以 1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開始沿 BC 邊向 C 以 2cm/s 的速度移動(dòng)如果P、 Q 兩點(diǎn)分別到達(dá)B、 C 兩點(diǎn)停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)開始后第t 秒鐘時(shí)，五邊形APQCD 的面積為Scm2，寫出S與 t的函數(shù)表達(dá)式，并指出自變量t 的取值范圍10已知：如圖，在Rt ABC 中，C=90，BC=4， AC=8點(diǎn)D 在斜邊 AB

5、 上，分別作DE AC， DF BC，垂足分別為E、 F，得四邊形DECF設(shè) DE=x， DF=y 1） AE 用含 y 的代數(shù)式表示為：AE=；2）求y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出x 的取值范圍；3）設(shè)四邊形DECF 的面積為S，求S與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式第二講二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)歸納：1 、求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法222（ 1 ）公式法：y ax2 bx c a xac ， 頂點(diǎn)是 （， ac ） ， 對稱軸是直線2a 4a2a 4abx.2a（ 2）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以拋物線上對稱點(diǎn)的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋

6、物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).2、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：（ 1）二次函數(shù)y=ax2 （a 0）的圖象是一條 拋物線，其頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱軸是y 軸；當(dāng)a 0 時(shí)，拋物線開口向上， 頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；當(dāng)a1 時(shí)， y 隨 x 的增大而；當(dāng) x0,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b0,c 0B b -2aC a-b+c 0D c0； a+b+c 0 a-b+c 0ABC4. 當(dāng) b0 是一次函數(shù)y=ax+b 與二次函數(shù) b2-4ac0 abcbc，且a b cO 1 xyO1xyO 1xyO 1xABCD6二次函數(shù)y ax2 bx c 的圖象如圖5 所示，那么abc，四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有（ ）

7、A.4 個(gè)B.3 個(gè)C.2 個(gè)D.1 個(gè)7. 二次函數(shù)y=ax2 bx c 與一次函數(shù)y=ax c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是圖中的（0，則它的圖象可能是圖所示的（ ）b2 4ac，2a b， a b c） a， b 同號(hào)； 當(dāng)x 1 和x3時(shí)，函數(shù)值相同；2b8、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax bx 與 y= 的圖象大致是圖中的（9. 已知拋物線y ax2 bx c（a 0） 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論： 4a b 0; 當(dāng)y2 時(shí)， x 的值只能取0；其中正確的個(gè)數(shù)是（）A 1 B 2 C 3 D 411. 已知二次函數(shù)y ax2 bx c 經(jīng)過一、 三、 四象限 （不經(jīng)過原點(diǎn)和第二象限）則直

8、線y ax bc 不經(jīng)過 （）A第一象限B 第二象限C第三象限D(zhuǎn) 第四象限212、二次函數(shù)y ax bx c（a 0）的圖象如圖，下列判斷錯(cuò)誤的是bx c 的圖象如圖所示，則下列關(guān)系式中錯(cuò)誤B b 0C c 0（）2D b 4ac 0Aa0Cb24ac0Dabc0）第 13題圖第四講二次函數(shù)的交點(diǎn)問題知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)與x 軸、 y 軸的交點(diǎn)的求法：分別令y=0,x=0 ；二次函數(shù)與一次及反比例函數(shù)等的相交：聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，解方程.例 1、 已知拋物線y x 2-2x-8 ，（ 1）求證：該拋物線與x 軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，并求出這兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)。（ 2）若該拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、 B，

9、且它的頂點(diǎn)為P，求ABP的面積例 2、 如圖， 直線 經(jīng)過A（ 3， 0） ， B（ 0， 3） 兩點(diǎn)， 且與二次函數(shù)（ 1） AOC 的面積；（ 2）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)與點(diǎn)A、 B 組成的三角形的面積y=x 2 1 的圖象， 在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)C 求：例 4、已知拋物線y=x2+x- 22（ 1 ）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸（ 2）若該拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、 B，求線段AB的長例5、已知拋物線y=mx2（32m）xm2（m0）與x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（ 1）求m的取值范圍；（ 2）判斷點(diǎn)P（ 1， 1）是否在拋物線上；（ 3）當(dāng) m=1時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)Q及 P點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱

10、軸對稱的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并過P、Q、 P 三點(diǎn)，畫出拋物線草圖例 6已知二次函數(shù)y=x 2（m 3） x m的圖象是拋物線，如圖2-8-10 （ 1）試求 m為何值時(shí)，拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是3？（ 2）當(dāng)m為何值時(shí)，方程x2（m 3） x m=0的兩個(gè)根均為負(fù)數(shù)？（ 3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，與x 軸的交點(diǎn)P、 Q，求當(dāng)PQ最短時(shí)MPQ的面積練習(xí)題1 拋物線y=a（ x 2） （ x 5）與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為2已知拋物線的對稱軸是x= 1，它與 x軸交點(diǎn)的距離等于4，它在y 軸上的截距是6，則它的表達(dá)式為3若a0，b0，c0，0，那么拋物線y=ax2bxc 經(jīng)過象限4拋物線y=x2 2x

11、 3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是25若拋物線y=2x （m 3） x m 7 的對稱軸是x=1，則 m=6拋物線y=2x2 8x m與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m=7已知拋物線y=ax 2 bx c 的系數(shù)有a b c=0，則這條拋物線經(jīng)過點(diǎn)8二次函數(shù)y=kx2 3x 4 的圖象與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k 的取值范圍9拋物線y=x2 2 a x a2的頂點(diǎn)在直線y=2 上，則 a 的值是10 拋物線y=3x2 5x 與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A 3 個(gè)B 2 個(gè)C 1 個(gè)D無abc11 如圖 1 所示，函數(shù)y=ax 2 bx c 的圖象過（1， 0） ，則 b c c a a b 的值是（11A3B 3C 2D

12、212 已知二次函數(shù)y=ax2 bx c 的圖象如圖2 所示，則下列關(guān)系正確的是（）A 0b 1 B 0b 2 C 1 b 5 時(shí)， y 隨 x 增大而增大；當(dāng)x0 b2-4ac0B.a02-4ac 0C.a0 b2-4ac0D.a02-4ac024、已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A.m1B.m1 D. 1m0,c0 ，那么二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象大致是（y ax b 的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則二次函數(shù)27、若一次函數(shù)yOB、yOC、OD、28已知拋物線的對稱軸為A、x=1 ，與 x 軸、距離為3，則此二次函數(shù)的解析式為（軸的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形

13、的面積為6，且與y 軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的A. y12x 3x 5或 y212 x23x 5 b.12y x 3x 5或 y222 3x 5C. y12x 3x 5或 y212 x23x 5d.12y x 3x 5或 y212x 3x 521、 （ 1）拋物線怎樣平移得到的？2）若拋物線向左平移3 個(gè)單位，再向下平移5 個(gè)單位，求所得拋物線的解析式。2、 已知二次函數(shù)的最小值是，a：b：c=2：3：4，（1）求a、b、 c 的值；（ 2）當(dāng) x 取何值時(shí)，y 隨 x 的增大而增大？當(dāng)x 取何值時(shí)，y 隨 x 的增大而減小？3、解答下列各題：（ 1）已知拋物線中，最高點(diǎn)坐標(biāo)是（） ，求a、 b、 c。

14、（ 2）已知拋物線的對稱軸是x=2，求b 的值。（ 3）已知二次函數(shù)的最大值是4，求c 的值。4、 已知拋物線的對稱軸為x=1， 最高點(diǎn)在直線y=2x+4 上， 求 a 和 b 的值， 并求出拋物線與直線 y=2x+4 的交點(diǎn)坐標(biāo)。5、已知拋物線（）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x 軸有兩個(gè)公共點(diǎn)？（）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x 軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？并求出這個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)。（）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線和x 軸沒有公共點(diǎn)？（）當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線與直線y=x 2m只有一個(gè)公共點(diǎn)？6、在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長為2cm，點(diǎn) A、 C分別在y軸的負(fù)半軸和 x 軸的正半軸上，拋物線y=ax2+b

15、x+c 經(jīng)過點(diǎn) A和點(diǎn)B，且12a+5c=0。（）求拋物線的解析式；（）如果點(diǎn)P由點(diǎn) A開始沿 AB邊以 2cm/s 的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿 BC邊以 1cm/s 的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，移動(dòng)開始后第t 秒時(shí)，設(shè)S=PQ2（cm2）。試寫出S與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 t 的取值范圍及PQ的最小值。7 、已知二次函數(shù)y=x 2 2mx+m2 m 2 的圖象頂點(diǎn)為C，圖象與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、 B，其坐標(biāo)為（ X0,0） ,V（4,0）,S ABC=8 （）求二次函數(shù)的解析式；（）在此二次函數(shù)的圖象上求出到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)；并求出以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的外接圓的半徑。8

16、、拋物線交 x 軸正半軸于點(diǎn)A，交x 軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，交y 軸負(fù)半軸于點(diǎn)C， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，這條拋物線的對稱軸為直線x= 。 （ 1）求A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo);（2 ）求證： ACO CBO; （ 3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C除外），使 APB的面積等于 ABC的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo) ; 若不存在，說明理由。9、已知拋物線與 x 軸交于A、 B兩點(diǎn)，P是拋物線的頂點(diǎn)。（ 1）當(dāng) PAB的面積為1/8 時(shí)，求拋物線的解析式由。2）是否存在實(shí)數(shù)m，使 PAB是等邊三角形，若存在，求m的值 ; 若不存在，說明理10、拋物線與 x 軸交于A、 B 兩點(diǎn)。（ 1）求A、 B 的坐標(biāo) ; （ 2）

17、設(shè)P（）為拋物線上求 的取值范圍;（ 3）解不等式12 y x bx c11已知二次函數(shù)2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，6），并與 x 軸交于點(diǎn)B（1，0）和點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P。 （ 1 ）求二次函數(shù)的解析式；（ 2）設(shè)點(diǎn)D為線段OC上一點(diǎn)，且DPC= BAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；212已知拋物線y (1 a)x 8x bA(0， -7) 和點(diǎn) B. （ 1）求a 的取值范圍；（ 2）若OA=2OB，求拋物線的解析式13某商人如果將進(jìn)貨價(jià)為8 元的商品按每件10 元出售時(shí)，每天可銷售100 件，現(xiàn)在采用提高售出價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提高1 元，其銷售量就要減少10 件，問他將售出價(jià)定為多少

18、元時(shí)，才能使每天所賺利潤為最大，并求出最大利潤？14. 已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（ 2， 4） ，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為y1 x2 3x 5，它的圖象與x222軸交于兩點(diǎn)B（x1，0） ，C（x2，0），與 y 軸交于點(diǎn)D，且x1x213，試問： y軸上是否存在點(diǎn)P，使得POB與DOC相似（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請求出過P， B兩點(diǎn)直線的解析式，若不存在，請說明理由15. 如圖代 13-3-15 ，拋物線與直線y=k（x-4） 都經(jīng)過坐標(biāo)軸的正半軸上A， B 兩點(diǎn)，該拋物線的對稱軸x=-1 與 x軸相交于點(diǎn)C，且ABC=90，求：（ 1）直線AB的解析式；（ 2）拋物線的解析式

19、.13-3-15圖 13-3-161216. 中圖代 13-3-16 ，拋物線yx2 3x 5交 x 軸正方向于A， B兩點(diǎn)，交y 軸正方向于C點(diǎn)，過A， B，C 三點(diǎn)做D，若D 與 y 軸相切 . （ 1）求 a， c 滿足的關(guān)系能工巧匠；（ 2）設(shè)ACB= ，求 tg ； （ 3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P，判斷直線PA與O的位置關(guān)系并證明.12A點(diǎn)在x 軸的正半軸上，B 點(diǎn)在 x 同的負(fù)半軸17. 如果拋物線y x 3x 5與 x 軸都交于A， B兩點(diǎn)，且2上，OA的長是a，OB的長是b. （1）求m的取值范圍；（2）若a b=31，求m的值，并寫出此時(shí)拋物線的解析式； （ 3）設(shè)（2）中的拋物線

20、與y 軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)是M，問：拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PAB的面積等于BCM面積的8 倍？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.二次函數(shù)測試題選擇題： （每題 3 分，共 24 分）1 與拋物線y12 x2 3x 5的形狀大小開口方向相同，只有位置不同的拋物線是123512Ay x xB y x 7x 842222二次函數(shù)y x2 bx c的圖象上有兩點(diǎn)122Cy x 6x 10 D y x 3x 52（3，8）和 （ 5，8），則此拋物線的對稱軸是（A x 4B. x 3C.x 5D. x1。3拋物線y x2 mx m2 1的圖象過原點(diǎn)，則m為（A 0B 1C1D4把二次函數(shù)y x2 2x 1配方成頂點(diǎn)式為（A y (x 1)2 By (x 1)2 2Cy (x 1)2 1 Dy (x 1)2 25直角坐標(biāo)平面上將二次函數(shù)y -2（x 1） 2 2 的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，則其頂點(diǎn)為（A.(0， 0)B.(1，2)C.(0，1)D.(