留數(shù)定理及其在積分中的運用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上江西師范大學數(shù)學與信息科學學院學士學位論文留數(shù)定理及其在積分中的運用（Residue theorem and the use in the Calculus） 姓 名： 劉 燕 學 號： 學 院：數(shù)學與信息科學學院 專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學 指導老師： 易 才 鳳（教 授）完成時間：2009年*月*日 留數(shù)定理及其在積分中的應用【摘要】本文首先在預備知識中介紹了復函數(shù)積分，并介紹了留數(shù)的計算方法等。在此基礎上，我們敘述并證明了本文的主要內(nèi)容-留數(shù)定理，并得到留數(shù)定理的推廣。然后利用留數(shù)定理探討分析學中的積分計算問題，并利用積分技巧得到它們的一般計算方法和公式，進而更簡捷

2、的解決了分析學中積分的計算問題.【關鍵詞】解析 孤立奇點 留數(shù) 留數(shù)定理Residue theorem and the use in the Calculus【Abstract】 This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc. On this basis, We described and proved the main contents of this article

3、-the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【K

4、ey words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem 目錄1引言 . 2預備知識. 2.1 復積分. 2.2 解析函數(shù)極點及留數(shù). 2.3留數(shù)的計算方法.3留數(shù)定理. 3.1留數(shù)定理. 3.2 留數(shù)定理的證明. 3.3 留數(shù)定理的推廣.4 應用留數(shù)定理計算積分. 4.1復積分的計算. 4.2實積分的計算.5參考文獻6 致謝1 引言眾所周知，在數(shù)學分析以及實際應用中，往往要計算一些定積分或反常積分.而這些積分中被積函數(shù)的原函數(shù)，有時不能用初等函數(shù)表示出來，或者即使可以求出原函數(shù)，如果用數(shù)學分析中的計算積分的方法往往十分

5、局限而且繁瑣.因此需要尋求新的計算方法.例如，可以考慮把實積分轉(zhuǎn)化為復積分，以便利用復積分的理論，而留數(shù)定理正是這方面的重要工具.在此我們將重點介紹復變函數(shù)中運用留數(shù)定理計算積分的方法. 其基本思想是：為了求實函數(shù)在實數(shù)軸上的某一段上的積分，我們在上適當附加某一曲線使其構成一簡單閉曲線，從而將積分轉(zhuǎn)化為復變函數(shù)的圍線積分，然后再運用留數(shù)定理即可解決.留數(shù)是復變函數(shù)論中重要的基本概念之一，它與解析函數(shù)在孤立奇點出的洛朗展開式，柯西復合閉路定理等都有密切的聯(lián)系.留數(shù)定理是復變函數(shù)論中的重要定理，它是復積分和復級數(shù)想結合的產(chǎn)物，在實際中有重要的應用，特別是它可以為積分的計算提供新的方法，對復變函數(shù)論

6、的發(fā)展起到一定的推動作用.那么留數(shù)定理能不能計算出所有的積分呢？答案是否定的.留數(shù)定理在積分中的應用也具有一定的局限性.通過研究留數(shù)定理及其在積分中的應用，我們可以更好的理解這一重要定理一節(jié)它在積分中的應用.此外，應用留數(shù)定理，我們還可以證明重要的輻角原理和儒歇定理等重要定理，利用這些定理可以考察區(qū)域內(nèi)函數(shù)的零點分布情況等.2 預備知識2.1 復積分復變函數(shù)積分的定義定義2.1 設有向曲線：y以為 起點，為終點， 沿有定義.0x圖1順著從a到b的方向在上取分點：把曲線分成若干個弧段（如圖1）。從到的每一弧段上任取一點.做和數(shù)，其中.當分點無限增多，而這些弧段長度的最大值趨于零時，如果和數(shù)的極限

7、存在且等于J，則稱沿（從到）可積，而稱J為沿（從到b）的積分，并以記號表示：J =.稱為積分路徑.表示沿的正方向的積分，表示沿負方向的積分.如果J存在，我們一般不能把J寫成的形式，因為J的值不僅和,有關，而且與積分路徑有關.顯然，沿曲線可積的必要條件為沿有界.此外，我們還有下面可積的充分條件和計算復積分的一種表達式.定理2.1 若函數(shù)沿曲線連續(xù)，則沿可積，且.這個定理說明，復變函數(shù)積分的計算問題，可以化為其實，虛部兩個二元實函數(shù)曲線積分的計算問題.除此之外，復積分的計算方法還有很多，比如萊布尼茲公式，柯西定理，柯西公式，以及我們后面要重點介紹的運用留數(shù)定理計算復積分等.2.2 函數(shù)極點及留數(shù)2

8、.2.1 解析函數(shù)的極點定義2.2 若函數(shù)在點不解析，但在的任一鄰域內(nèi)總有的解析，點，則稱為函數(shù)的奇點.定義2.3 如果函數(shù)在點的某一去心鄰域（即除去圓心的某圓）內(nèi)解析，點是的奇點，則稱為的一個孤立奇點.孤立奇點是解析函數(shù)的奇點中最重要的一種類型.以解析函數(shù)的洛朗展式為工具，我們能夠在孤立奇點的去心鄰域內(nèi)充分研究一個解析函數(shù)的性質(zhì).我們知道，如為函數(shù)的孤立奇點，則在點的某去心領域內(nèi)可以展成洛朗級數(shù).實際上，非負冪部分 表示在點的鄰域K：內(nèi)的解析函數(shù)，故函數(shù)在點的奇異性質(zhì)完全體現(xiàn)在洛朗級數(shù)的負冪部分，其負冪部分又稱為在點的主要部分.根據(jù)其主要部分的性質(zhì)，孤立奇點可分為可去奇點，極點及本質(zhì)奇點。在

9、此我們重點介紹極點.定義2.4 如果在點的主要部分為有限多項，設為，則稱a為的m階極點。一階極點也稱為單極點.定理2.2 如果函數(shù)以點為孤立奇點，則下列三條是等價的。因此，它們中的任何一條都是m階極點的特征.（1） 在點的主要部分為 （2） 在點的某去心鄰域內(nèi)能表成，其中在點鄰域內(nèi)解析，且； （3）以點為m階零點（可去奇點要當做解析點看，只要令）定理2.3 函數(shù)的孤立奇點為極點的充要條件是.定理2.4 函數(shù)的孤立奇點為可去奇點的充要條件是.定理2.3 函數(shù)的孤立奇點為本質(zhì)極點的充要條件是不存在.2 留數(shù) 如果函數(shù)在點是解析的，周線全在點的某鄰域內(nèi)，并包圍點，則根據(jù)柯西積分定理.但是，如果是的一

10、個孤立奇點，且周線全在的某個去心鄰域內(nèi)，并包圍點，則積分的值，一般說來，不再為零.并且利用洛朗系數(shù)公式很容易計算出它的值來。概括起來，我們有定義2.5 設函數(shù)以有限點為孤立奇點，即在點的某去心鄰域內(nèi)解析，則稱積分為在點a的留數(shù)（residue），記為.由柯西積分定理知道，當，留數(shù)的值與無關，利用洛朗系數(shù)公式有，即；這里是在處的洛朗展式中這一項的系數(shù).由此可知，函數(shù)在有限可去奇點處的留數(shù)為零.§2.3 留數(shù)的計算方法 為了應用留數(shù)定理求周線積分，首先應掌握求留數(shù)的方法.在計算孤立奇點的留數(shù)時，我們只關心其洛朗展式中的這一項的系數(shù)，所以應用洛朗展式求留數(shù)是一般方法；對于n階極點處的留數(shù)，

11、為避免每求一個極點處的留數(shù)都要去求一次洛朗展式，可以運用下面的定理中的公式來求.定理2.4 設為的n階極點，其中（由極點性質(zhì)知）在點解析，則.這里符號代表，且有.推論2.5 設為的一階極點，則 .推論2.6 設為的二階極點，則 .定理2.7 設為的一階極點（只要及在點解析，且（），則 .例2.1 求下列函數(shù)在指定奇點處的留數(shù).（1）在 .（2）在 .（3）在z=1. 解 (1) 顯然z=1為函數(shù)的一階極點，z=-1為二階極點.由推論2.5,;由推論2.6,.(2)顯然,均為函數(shù)的一階極點，若令則由推論2.5，.(3) 顯然z=1為函數(shù)的n階極點，若令，則在點z=1解析，且，由推論2.4， .3

12、留數(shù)定理§3.1留數(shù)定理 定理3.1 （留數(shù)定理）在周線或復周線所范圍的區(qū)域D內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則（“大范圍”積分） . （3.1）證明 以為心，充分小的正數(shù)為半徑畫圓周，使這些圓周及其內(nèi)部均含于，并且彼此相互隔離（如圖）應用復周線的柯西積分定理得由留數(shù)的定義，有代入上式，即知（3.1）為真.§3.2 留數(shù)定理的推廣 1. 對數(shù)留數(shù) 留數(shù)理論的重要應用之一是計算積分它稱為對數(shù)留數(shù)（這個名稱來源于）由它推出的輻角原理提供了計算解析函數(shù)零點個數(shù)的一個有效方法。特別是，可以借此研究在一個指定區(qū)域內(nèi)多項式零點的個數(shù)問題. 顯然，函數(shù)的零點和奇點都可能是的奇點. 引理3

13、.1 （1）設為的n階零點，則必為函數(shù)的一階極點，并且； （2）設為的m階極點，則必為函數(shù)的一階極點，并且. 定理3.2 設是一條周線，符合條件： （1）在的內(nèi)部是亞純的（即在的內(nèi)部處極點外無其他類型的奇點，在z平面上除極點外沒有其他類型奇點的單值解析函數(shù)稱為亞純函數(shù)）；(2) 在上解析且不為零,則有 ， （3.2）式中與分別表示在內(nèi)部的零點與極點的個數(shù)（一個n階零點算作n個零點，而一個m階極點算作m個極點）. 2 輻角原理 在定理2.2的條件下，在周線內(nèi)部的零點個數(shù)與極點個數(shù)之差，等于當z沿之正向繞行一周后的改變量除以，即. 特別說來，如在周線上及之內(nèi)部均解析，且在上不為零，則. 3 儒歇定

14、理 儒歇定理是輻角原理的一個推論，在考察函數(shù)的零點分布時，用起來較為方便. 定理3.3（儒歇定理）設是一條周線，函數(shù)及滿足條件： （1）它們在的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到； （2）在上，則函數(shù)與在的內(nèi)部有同樣多（幾階算作幾個）的零點，即.4 應用留數(shù)定理計算積分 §4.1復積分的計算 運用留數(shù)定理計算實積分的方法我們將通過例題來進行說明：例4.1 計算積分.解 顯然，被積函數(shù)在圓周的內(nèi)部只有一階極點z=0及二階極點z=1.由推論2.5及推論2.6，；故由留數(shù)定理得.例4.2 計算積分.解 在圓周的內(nèi)部只有三階極點z=0.由定理2.4，故由留數(shù)定理得.例4.3 計算積分(n為正整數(shù)).解 只

15、以，為一階極點.由定理2.5，.故由留數(shù)定理得.例4.4 計算積分.解 顯然，被積函數(shù)在圓周的內(nèi)部只有一個本質(zhì)奇點z=0.在該點的去心鄰域內(nèi)有洛朗展式由洛朗系數(shù)公式；故由留數(shù)定理得在計算孤立奇點a的留數(shù)時，可應用洛朗展式求留數(shù)的一般方法.§4.2實積分的計算 某些實的定積分課應用留數(shù)定理進行計算，尤其是對原函數(shù)不易直接求的的定積分和反常積分，常是一個有效的方法，其要點是將它化歸為復變函數(shù)的周線積分. 1 計算型積分 這里表示的有理函數(shù)，并且在上連續(xù)。若命，則，當經(jīng)歷變程時，z沿圓周的正方向繞行一周.因此有 ，右端是z的有理函數(shù)的周線積分，并且積分路徑上五奇點，應用留數(shù)定理就可求得其值

16、.注 這里關鍵一步是引進變數(shù)代換，至于被積函數(shù)在上的連續(xù)性課不必先檢驗，只要看變換后的被積函數(shù)在上是否有奇點.例4.5 計算積分.解 命，則.顯然，被積函數(shù)在內(nèi)只有一個一階極點則由留數(shù)定理得=2.與數(shù)學分析中的運用萬能公式計算此類實積分相比，運用留數(shù)定理來做，可以大大的減少運算量.例4.6 計算積分.解 命，則.其中為實系數(shù)二次方程的兩個相異實根。由根與系數(shù)的關系，且顯然，故必于是，被積函數(shù)在上無奇點。在單位圓內(nèi)只有一個二階極點z=0和一個一階極點.則由留數(shù)定理得例4.7 計算積分 m 為正整數(shù).解 由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，則,命，則,于是被積函數(shù)在內(nèi)只有一個二階奇點.由留數(shù)定理得 這種題型主要

17、利用被積函數(shù)是以為周期的偶函數(shù)的特點進行區(qū)間轉(zhuǎn)化，進而進一步利用留數(shù)定理求積分.2 計算型積分 為了計算這種反常積分，我們先證明一個引理。它主要用來估計輔助曲線上的積分.RO（圖4.1）引理4.1 設沿圓?。?，R充分大）上連續(xù)（如圖4.1）且于上一致成立（即與中的無關），則. 定理4.1 設為有理分式，其中與 為互質(zhì)多項式，且符合條件：(1) ; (2) 在實軸上，于是有.例 4.8 計算積分解 被積函數(shù)只有一個二階極點且符合定理4.1的條件.而于是例 4.9 計算積分解 被積函數(shù)一共有四個一階極點且符合定理4.1的條件.而在上半平面只有兩個極點，于是 3 計算型積分 引理4.2（若爾當引理）

18、設函數(shù)沿半圓周（，R充分大）上連續(xù)，且在上一致成立，則 (m>0) . 定理4.2 設，其中及是互質(zhì)多項式，且符合條件: （1）的次數(shù)比的次數(shù)高， （2）在實軸上， （3），則有 (4.1) 特別說來，將（4.1）分開實虛部，就可以得到形如及 的積分.由數(shù)學分析的結論可知上面兩個反常積分都存在，其值就等于柯西主值。例4.10 計算積分解 被積函數(shù)為偶函數(shù)，則根據(jù)定理4.2得于是例4.11 計算積分解 易驗證被積函數(shù)滿足若爾當引理的條件，這里m=1,. 函數(shù)有兩個一階極點于是比較燈飾兩端的實部與虛部，就得5參考文獻1 鐘玉泉.復變函數(shù)論（第三版）M，北京：北京高等教育出版社，2004. 2 謝力之，劉中興.復變函數(shù)奇點M，北京：北京電子工業(yè)出版社，1988.3 歐陽露莎，劉敏思，劉寅