線性代數(shù)公式大全

1、1、行歹U式1 .n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為20行列式;2 .代數(shù)余子式的性質(zhì)：、Aj和aj的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0;、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A;3.4.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj=（1）ijAijAij=（1）ijMij設(shè)n行列式D:n（n）將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1,則D1=（1）2D;n（n）將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90,所得行列式為D2,則D2=（1尸D;將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D3,則D3=D;將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4,則D4=D;5.行列式的重要公

2、式:D、主對角行列式：主對角元素的乘積;副對角行列式：副對角元素的乘積上、下三角行列式（n（nA）1尸；:主對角元素的乘積;和，：副對角元素的乘積n(nA)(-1產(chǎn)拉普拉斯展開式:1)mnAb范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積;特征值；6.7.對于n階行列式|A，恒有：|KE-A=N+Z（1）kS2n”,其中Sk為k階主子式;證明|a=0的方法:、|A=A;、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax=0,證明其有非零解;、利用秩，證明r（A）：n;、證明0是其特征值；2、矩陣1.A是n階可逆矩陣：U|A|#0（是非奇異矩陣）；ur（A）=n（是滿秩矩陣）uA的行（列）向量組線性無關(guān)；U齊次方程組Ax=0

3、有非零解；uVbwRn,Ax=b總有唯一解；UA與E等價；仁A可表示成若干個初等矩陣的乘積;二A的特征值全不為0；UATA是正定矩陣；uA的行(列)向量組是Rn的一組基；UA是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2 .對于n階矩陣A：AA*=A*A=AE無條件恒成立；-1*11TT1*TT*3 .(A-)=(A)-(A-)=(A)-(A)=(A)1_11(AB)=BA(AB)=BA(AB)一二B一A一4 .矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;5 .關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：若A=1A.，則：IFc、對矩陣（AB）做初等行變化，當A變?yōu)镋時，B就變成aB,即：（A

4、,B）（E,A,B）；r、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Ax=b,如果（A,b）（E,x）,則A可逆，且x=Ab；4 .初等矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；,左乘矩陣A,九乘A的各行元素；右乘,力乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列,符號E(i,j),且E(i,j)=E(i,j),例如:、倍乘某行或某列,符號E(i(k),且E(i(k)-=E(i、倍加某行或某列,符號E(ij(k),HE(ij(k)-=E(ij(-k),如:5.矩陣秩的基本性質(zhì):D、0r(Ann)Emin(m,n)(k=0);(k0)；r(AT)=r(A

5、);若A|_B,則r(A)=r(B);若P、Q可逆，則r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩、max(r(A),r(B)r(A,B)r(A)+r(B);(X)、r(A+B)r(A)+r(B);(X)、r(AB)r(A)+r(B)n;6.三種特殊矩陣的方哥：、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)父行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律;1ac、型如01b的矩陣：利用二項展開式；d0bnn0n1n-L.1mn-mmn_L1n_1nnmm.n-n一項展開式：(ab)二CaCnabIIICnabl|lCnabCnb=Cnabm注：I、(a+b)n展開后有n4項；C0

6、=C：=1cm：n(n-1)UHII(n-m1).n!rCnr=nCnr：;n1L2_3_lhLmm!(n-m)!出、組合的性質(zhì)：cm=c；Rcn=cnm-onm、利用特征值和相似對角化：7.伴隨矩陣：nr(A)=n、伴隨矩陣的秩：r(A*)r(A)=n-1；0r(A)：n-1、伴隨矩陣的特征值：LA（AX=,1X,A*=AA工=A*X=1AX）;九k、A*=AA，、A*|=An，8 .關(guān)于A矩陣秩的描述：、r（A）=n,A中有n階子式不為0,n+1階子式全部為0;（兩句話）、r（A）n,A中有n階子式全部為0;、r（A）之n,A中有n階子式不為0；9 .線性方程組：Ax=b，其中A為mxn矩

7、陣，則：、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程；、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax=b為n元方程；10.11.線性方程組Ax=b的求解：、對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換）；、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程：即X，同2X2anXn=bD、產(chǎn)21X+a22X2卡|+a2nXn=b2,IIHHlIimiHIIIIIHIIIIIHimam1Xam2X2IIIanmXn=bnmlaia12a22am2a2IIIaaina2namn八Xm/Ax=b（向量方程，A為mxn矩陣，m個方程，n個未知數(shù)）=p（

8、全部按列分塊，其中p=b2、ax+a2X24119nXn=P（線性表出）、有解的充要條件：r（A）=r（A,P）n（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1.PTmXn矩B$B=:m個n維列向量所組成的向量組A：3,%,此力構(gòu)成nMm矩陣A=（5。2,111,%）；m個n維行向量所組成的向量組B：耳，營；,|,P；構(gòu)成2.3.4.5.含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)0Ax=0有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出uAX=b是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示uAX=B是否有解；（矩陣方程）矩陣Am坨與B1河行向量組等價的充分必要條件

9、是：齊次方程組Ax=0和Bx=0同解；（P（01例14）r（ATA）=r（A）;（P101例15）n維向量線性相關(guān)的幾何意義：、Ct線性相關(guān)U口=0；、a,P線性相關(guān)之風0坐標成比例或共線（平行）；、ot,P,線性相關(guān)=c(,P,共面；6 .線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若禽,CC2,|,0s線性相關(guān),則B,%,川，&,CCs.必線性相關(guān);若0(102,中,ots線性無關(guān)，則502,111,al必線性無關(guān)；(向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶)若r維向量組A的每個向量上添上n_r個分量，構(gòu)成n維向量組B:若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加減減)簡言之：無

10、關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7 .向量組A(個數(shù)為r)能由向量組B(個數(shù)為s)線性表示，且A線性無關(guān)，則rs(二版P74定理7);向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)r(B);(P86定理3)向量組A能由向量組B線性表示仁AX=B有解；=r(A)=r(A,B)(P85定理2)向量組A能由向量組B等價yr(A)=r(B)=r(A,B)(Pg5定理2推論)8 .方陣A可逆u存在有限個初等矩陣Pi,P2,川,Pi,使A=PR|P|;r、矩陣行等價：AByPA=B(左乘，P可逆)yAx=0與Bx=0同解c、矩陣列等價：ABuAQ=B(右乘，Q可逆)；、矩陣等價：AByPAQ=B(P、Q可逆)；

11、9 .對于矢！陣Am而與Bl制：、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；、若A與B行等價，則Ax=0與Bx=0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A的行秩等于列秩；10 .若4MBs漏Cmm,則：、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11 .齊次方程組Bx=0的解一定是ABx=0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、ABx=0只有零解nBx=0只有零解；、Bx=0有非零解=ABx=0一定存在非零解；12 .設(shè)向量組Bn簧：b,b2,lll,br可由向量組An於：ai,a,lll,as線性表示為：(R10題19結(jié)論)(b,b2,HI,br)*a2,l|l,a,)K(B=AK)其中K為sxr,且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)ur(K)=r;(B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性)(必要性：=r(B)=r(AK)r(K),r(K)ir,r(K)=r;充分性：反證法)注：當r=s時，K為方陣，可當作定理使用；13 .、對矩陣Am涌，存在Qn和，AQ=E