概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案(2)

1、作業(yè)2（修改2008-10）4.擲一枚非均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為p(0<p<1),若以X表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)為止所需投擲的次數(shù)，求X的概率分布.解對(duì)于k=2,3，前k_1次出現(xiàn)正面，第k次出現(xiàn)反面的概率是pk(i_p),前k_1次出現(xiàn)反面，第k次出現(xiàn)正面的概率是(1_p)k-p,因而X有概率分布k1k1P(X=k)=p-(1-p)(1fp)-p,k=2,3,.5 .一個(gè)小班有8位學(xué)生，其中有5人能正確回答老師的一個(gè)問(wèn)題.老師隨意地逐個(gè)請(qǐng)學(xué)生回答，直到得到正確的回答為止，求在得到正確的回答以前不能正確回答問(wèn)題的學(xué)生個(gè)數(shù)的概率分布.第1個(gè)能正確回答的概率是5/8,第1個(gè)不能正

2、確回答，第2個(gè)能正確回答的概率是(3/8)(5/7)=15/56,前2個(gè)不能正確回答，第3個(gè)能正確回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)=5/56,前3個(gè)不能正確回答，第4個(gè)能正確回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)=1/56,前4個(gè)都不能正確回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)=0.設(shè)在得到正確的回答以前不能正確回答問(wèn)題的學(xué)生個(gè)數(shù)為X,則X有分布X0123P5/815/565/561/566 .設(shè)某人有100位朋友都會(huì)向他發(fā)送電子郵件，在一天中每位朋友向他發(fā)出電子郵件的概率都是0.04,問(wèn)一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是多少？試用二項(xiàng)分布公式和泊

3、松近似律分別計(jì)算.解設(shè)一天中某人收到X位朋友的電子郵件，則XB(100,0.04),一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是P(X_4).1)用二項(xiàng)分布公式計(jì)算一3_kk100AP(X_4)=1P(X：:4)=1-%C1000.04(1-0.04)=0.5705.k02)用泊松近似律計(jì)算k-3kk100_k_34_4P(X_4)=1-P(X：:4)=1一k9C1000.04(1-0.04)：'1->，kHe=0.5665.k0k0.k!8.設(shè)X服從泊松分布，分布律為kP(X=k)=e_，,k=0,1,2,.k!問(wèn)當(dāng)k取何值時(shí)PX=k最大？k-1e/k!=-k：=-e/(k-1)

4、!k解設(shè)ak=P(X=k)/P(X=k-1),k=1,2,，則ak數(shù)列ak是一個(gè)遞減的數(shù)列.若a1<1,則P(X=0)最大.若a1之1,則當(dāng)ak21且ak卡<1時(shí)，PX=k最大.由此得1)若一<1,則P(X=0)最大.2)若人>1，則PX=k最大yK/k之1且Z/(k+1)M1yZ-1<k<Z.由上面的1)和2)知，無(wú)論九1或九之1,都有曰上£，不是整數(shù)PX=k取大uk=4I九一1或九上是整數(shù)12.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為p(x)=xI0,1)(x)+(2x)I1,2(x).求X的分布函數(shù)F(x),并作出p(x)與F(x)的圖形.x解F(x)=0I

5、1,2)(x)|I0dvx0x(x)二0dv-I0,1)(x)_;:0dv0Vdv1x-Ivdv(2-x)dv12二I2,：)(x)II0dv-0vdv1(2-v)dv-20dvx1x12=I0,1)(x)0vdv-I1,2)(x)0vdv1(2r)dvI2,二)(x)0vdv1(2-v)dv=(x2/2)I0,1)(x)+(2x-x2/21)I1,2)(x)+I2,加(x).11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為p(x)=cxI0,10(x).求常數(shù)c和X的分布函數(shù)，并求概率P(X16/X工10).10二二101=p(x)dx=(0cxdxcx=50c,c=1/50.02xxvxF(x)=p(v)d

6、v=I0,10)(x)dv-I10,二)(x)=I0,10)(x)-I10,廠)(x).3Q501002P(X16/X<10)=P(X-10X16M0)=P(2MX<8)88x=p(x)dx=一dx225028x100-=3/5.15.解設(shè)隨機(jī)變量X的密度為ce2”.求常數(shù)c.-d上也x_1/打1/x4*/21=cedx=cedx=ceJ_jqOJjQO1%4_t21/4edt=ce.,!.J-JQO由上式得1/4J/2c=e,只15.離散型隨機(jī)向量（X,Y）有如下的概率分布012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求邊緣分布.又問(wèn)隨機(jī)變量X,丫是否

7、獨(dú)立?解X有分布xk012P(X=xQ0.40.30.3Y有分布Yk0123P(Y=yk)0.10.20.30.4因?yàn)?=P(X=2,Y=0)=P(X=2)P(Y=0)=0.30.1,所以X,Y不獨(dú)立.18設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)D=(x,y):Ex£2,0Wy£2上的均勻分布，求條件概率P(X>1|X<Y).P(X1<Y)=(622)/6=2/3,2P(X1<Y,X_1)=(11)/6=1/12，2P(XP(X<Y,X1)_1|X£Y);=P(X<Y)1/12=1/8.2/322.隨機(jī)向量（X,Y）有聯(lián)合密度cp(x,y)=Ie(

8、x,y),-x2-y2其中一、-22E=(x,y):0：:xy<R2.求系數(shù)c和(X,Y)落在圓D=(x,y):x2+y2<r2內(nèi)的概率.-J_oaJp(x,y)dxdyc2dxdy0；x2:y2<R2,xyx-fcosy-fsinmr20.0一心cdr=2二cR：dxdy22x-y因而P(X,Y)D=p(x,y)dxdy=Dx2.y2022：R27.丁=0.9x-rcosiy+sin1r2r.0%好r=r/R.XN（H。2）,分別找出k,使得P(N此仃<X+4仃)=3.其中i=1,2,3,:2=0.95，13二0.99一ki二1_(x_)2/(2二)=P(',

9、-%；-:X,K；-)edx一&二2二x*."1x2/2.二一edt=q，(ki)-q，(ki)=2：J(ki)1.黑.2二中(ki)=(二i1)/2.代入5的值查得8=1.64,a2=1.96,a3=2.58.X-1設(shè)Z=N(0,1)，貝UZN(0,1).：-i=P（-ki;一一：二X:二，！-%；二）=，!_kj：_JX_.IJkj；_-_P:二：二=P(_ki:二Z：ki)-IMki)-：.：，(_ki)=2(ki)_1.：.；(ki)(：i1)/2.代入Oti的值查得0(1=1.64,U2=1.96,豆3=2.58.28.某商品的每包重量XN（200,仃2）.若要求P

10、195<X<205至0.98，則需要把燈控制在什么范圍內(nèi).解設(shè)Z=X200N(0,1)，則ZN(0,1).P195:二X：:：205195-200二PI205-200<Z±一二（5/二）_：.：，（_5/二）=2：二（5/0）-1.P195：:X：:205U0.98：=2(5/0)-1:二0.98:=5/C_；：，/(0.99)=2.33:二二-5/2.33=2.15.28.設(shè)X服從自由度為k的片分布，即X有密度Px(x)12k/2(k/2)k/2J.x/2xeI(0,為q(x)求丫=Jx/k的密度.解1當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)y(y)=P(Y<y)=P(：X/k

11、<y)=0,py(y)=F/(y)=0.當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(Y三y)=P(.X/k三y)=P(X三ky2)=Fx(ky2),12,22、k/2_ky/22、Py(y)=Fy(y)=2kypx(ky)=2ky(ky)eI©：)(ky)2一(k/2)/2k/2k/22因而k/22k/2k"/2PY(y)=yeI(0,：-)(y).k/2'解2設(shè)V=(0，收)，則P(XWV)=1.設(shè)y=f(x)=JT7k,xWV,則f有反函數(shù).12"f-(y)=ky,y三G,其中G=y=f(x):xWV=(0，也c).因而Y有密度PY（y）JNy）IPx（；（y）i

12、G（y）12k/2_1_ky2/2_2=2ky.nk-y(ky)ey%,一)(ky)2k(k/2)-k/22k/2k_ky2/2ye|*/229.由統(tǒng)計(jì)物理學(xué)知道分子運(yùn)動(dòng)的速率遵從麥克斯威爾（Maxwell）分布，即密度為4x1/2Px(x)=3e-I(0,:-)(x).ct5其中參數(shù)0>0.求分子的動(dòng)能丫=mX2/2的密度.解1當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)y(y)=P(Y2,_y)=P(mX/2_y)=0,pY(y)=Fy(y)=0.當(dāng)yA0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(丫£y)=P(mX2/2My)=P(X<.2y/m)=Fx(2y/m),1PY(y)=FY(y)=-.2my18y/m

13、/y/(m-2)PX(.2y/m)：-=-e"-I：-)(,2y/m),2my：:._18y/m2y/(m-.2)_4&myot3«ea3I2y/丫/(m(Jt)m3刀因而/、_4I2y-2y/(mQ().,.2mI(0,二'("解2設(shè)V=(0，依)，則P(XWV)=1.設(shè)y=f(x)=mx2/2,xEV,則f有反函數(shù)=f'(y)=2y/m,yG,其中Ggy=f(x):xWV=(0,如c).因而丫有密度Py(y)M：(y)1Px(：(y)ig(y)30.1Px(2y/m)：-2my18y/m42y_2y/(m-2)-3'.m3Te-

14、1j2、e-y/(m?)I(0,1j(.2y/m)設(shè)X服從1,2上的均勻分布，丫=X2.求丫的分布.1X有管度Px(x)=-I2(x).Y有分布函數(shù)3一Fy(y)=P(Y<y)2=P(X_y)-10,:3(y)P(-.y-X,.7)-10,二）（y）Px(x)dx=I0,-y1二)(y)!r|j,2(x)dx.一y3-10,1)Jy1(yy3dyI1,4)y1-41(y).3dyI(y).3dy2'y-1一一y10,1)(y)-|1,4)(y)|4,：)(y).33-質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地落在中心在原點(diǎn)，半徑為R的圓周上，并且對(duì)弧長(zhǎng)是均勻地分布的.求落點(diǎn)的橫坐標(biāo)的概率密度.解設(shè)落點(diǎn)極坐標(biāo)是（

15、R,GO,則口服從0,2冗上的均勻分布，有密度1.“-：，（口）=|0,2寸._2設(shè)落點(diǎn)橫坐標(biāo)是X,則X=Rcos。，X的分布函數(shù)為Fx(x)=P(X三x)=P(Rcos。<：x).當(dāng)x<-1時(shí)，F(xiàn)x(x)=0.當(dāng)xA時(shí)，F(xiàn)x(x)=1.當(dāng)MWxW1時(shí)一x一xFx(x)=P(RcosG?x)=Parccos2)2-arccosRRx一-arccosR因而落點(diǎn)的橫坐標(biāo)X有概率密度1px(x)=FX(X)=2-1(J,1)(x).二R-x34.設(shè)隨機(jī)變量X服從在0,1上的均勻分布,求丫=_lnX的分布.解設(shè)V=(0,1),則P(XWV)=1.設(shè)y=f(x)=_lnx,xV,則f有反函數(shù)

16、審"f,(y)"e，y三G,其中G=y=f(x):xWV=(0，也c).因而Y有密度PY(y)斗;：(y)IPx(：(y)lG(y)=eI0,u(e)I(0,:：)(y)=eI(0,:J(y).36.設(shè)x和丫獨(dú)立，密度分別為px(x)=lo,i(x)和PY(y)=e2I(o,8(y),求2=X+Y的密度.解Pz(z)=pX(x)pY(z-x)dx3.joO'-_(z_x)=_I0,i(x)eI(0,切(z-x)dxQQCj=lei(x)e,z")I(二：z)(x)dxT0,i)(z)口啦十仙J0ez)dx=Io,i)(z)(1e$eqel)",二

17、)(z).37 .設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)。上2聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為串聯(lián)，并聯(lián)和備用（當(dāng)系統(tǒng)Li損壞時(shí)，系統(tǒng)L2開(kāi)始工作）,如圖7.1所示.Li和L2的壽命為X和Y,分別有密度pX(x)=e爻I(o,*)(x)和PY(y)=Be/yI(0,切(y),其中0(A0,pA0且a.請(qǐng)就這三種聯(lián)接方式分別寫(xiě)出系統(tǒng)L的壽命Z的密度.解X,Y獨(dú)立，分別服從參數(shù)為a和p的指數(shù)分布，因此分別有分布函數(shù)Fx(x)=(1e-)I(0,切(x),'：yFY(y)=(1-ey)I(0,：)(y).1)聯(lián)接的方式為串聯(lián)時(shí),Z=minX.Y,Fs(z)=Pmin(x,Y)<z=1_Pmin(x,

18、Y).z=1_P(X.z)P(Y.z)=1一1Fx(z)1Fy(z)=(1e,：Dz)l(o，要)(z),Pz(z)=Fz'(z)=(o(+P)e,a*)zsI(o,(z).2)聯(lián)接的方式為并聯(lián)時(shí)，Z=maxX.Y,Fz(z)=Pmax(X,Y)<z=P(X<z)P(Y<z)=Fx(z)Fy(z)=(1_ea)(1_e上口)”始(z),Pz(z)=F/(z)=(3-+Be串-(«+B)e5z)I(0,.(z).3)聯(lián)接的方式為備用時(shí)，Z=X+Y,Pz(z)=jJPx(x)Py(z-x)dx=jJeaI®松(x)fe-zn)I©"z-x)dx=I(0,3z)0c(eRe乎J%xe串I®改(z)e。串xdx.因此，當(dāng)時(shí)，pz(z)=：