斷點(diǎn)回歸及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、斷點(diǎn)回歸及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一  引 言        2010年4月24日，該年度的約翰·貝茨·克拉克獎(jiǎng)?wù)拢↗ohn Bates Clark Medal） 針對(duì)40歲以下年輕經(jīng)濟(jì)學(xué)者的最高榮譽(yù)，授予了麻省理工學(xué)院經(jīng)濟(jì)系的Esther Duflo教授以表彰其在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)普及和其在發(fā)展經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用方面的卓越貢獻(xiàn)。在因果關(guān)系分析的實(shí)證方法中，最優(yōu)的選擇應(yīng)當(dāng)為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，但是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的時(shí)間成本和經(jīng)濟(jì)成本都比較高，而在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)不可得的情況下，需要考慮使用其它方法。斷點(diǎn)

2、回歸（Regression Discontinuity）便是僅次于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的，能夠有效利用現(xiàn)實(shí)約束條件分析變量之間因果關(guān)系的實(shí)證方法。Lee（2008）認(rèn)為在隨機(jī)實(shí)驗(yàn)不可得的情況下，斷點(diǎn)回歸能夠避免參數(shù)估計(jì)的內(nèi)生性問(wèn)題，從而真實(shí)反映出變量之間的因果關(guān)系。然而，斷點(diǎn)回歸也僅僅是在20世紀(jì)90年代末才被應(yīng)用于處理經(jīng)濟(jì)學(xué)的問(wèn)題。2001年，Hahn等人對(duì)斷點(diǎn)回歸模型的識(shí)別和估計(jì)的理論問(wèn)題進(jìn)行了嚴(yán)格細(xì)致的分析，此后，斷點(diǎn)回歸才在眾多的經(jīng)濟(jì)學(xué)研究領(lǐng)域中嶄露頭角。時(shí)至今日，斷點(diǎn)回歸已經(jīng)在勞動(dòng)和教育經(jīng)濟(jì)學(xué)、政治經(jīng)濟(jì)學(xué)、環(huán)境經(jīng)濟(jì)學(xué)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。然而，斷點(diǎn)回歸卻鮮為中國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)者所應(yīng)用，正是

3、基于斷點(diǎn)回歸在實(shí)證研究中的重要性和國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)的缺乏，本文擬以此為背景，從斷點(diǎn)回歸的理論、發(fā)展歷史、實(shí)證步驟和經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用幾個(gè)方面闡述斷點(diǎn)回歸這一個(gè)新“擬隨機(jī)試驗(yàn)”方法的興起。二  斷點(diǎn)回歸理論及發(fā)展歷史斷點(diǎn)回歸是一種擬隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，此種隨機(jī)實(shí)驗(yàn)定義了這樣一個(gè)特征，即接受處置（Treatment）的概率是一個(gè)或者幾個(gè)變量的間斷函數(shù)。Hahn et al.（2001）提出了斷點(diǎn)回歸的首要假設(shè)，如果變量表示處置效應(yīng)，表示決定處置的關(guān)鍵變量，那么和必須存在，并且。在使用斷點(diǎn)回歸的情況下，存在一個(gè)變量，如果該變量大于一個(gè)臨界值時(shí)，個(gè)體接受處置，而在該變量小于臨界值時(shí)，個(gè)體不接受

4、處置。一般而言，個(gè)體在接受處置的情況下，無(wú)法觀測(cè)到其沒(méi)有接受處置的情況，而在斷點(diǎn)回歸中，小于臨界值的個(gè)體可以作為一個(gè)很好的可控組（Control Group）來(lái)反映個(gè)體沒(méi)有接受處置時(shí)的情況，尤其是在變量連續(xù)的情況下，臨界值附近樣本的差別可以很好的反映處置和經(jīng)濟(jì)變量之間的因果聯(lián)系。斷點(diǎn)回歸可以分為兩類，第一類，臨界值是確定的（Sharp），即在臨界值一側(cè)的所有的觀測(cè)點(diǎn)都接受了處置，反之，在臨界值另一側(cè)的所有觀測(cè)點(diǎn)都沒(méi)有接受處置。此時(shí)，接受處置的概率從臨界值一側(cè)的0跳轉(zhuǎn)到另一側(cè)的1；第二類，臨界點(diǎn)是模糊的（Fussy），即在臨界值附近，接受處置的概率是單調(diào)變化的。Hahn et al.（

5、2001）在一定的假設(shè)下，證明了無(wú)論是哪一類型的斷點(diǎn)回歸，都可以利用臨界值附近樣本的系統(tǒng)性變化來(lái)研究處置和其它經(jīng)濟(jì)變量之間的因果關(guān)系。        斷點(diǎn)回歸首先是由美國(guó)西北大學(xué)的心理學(xué)家Campbell于1958年首先發(fā)展設(shè)計(jì)出來(lái)的，從那時(shí)開(kāi)始直到二十世紀(jì)80年代，Campbell和西北大學(xué)心理學(xué)系和統(tǒng)計(jì)學(xué)系的同事一直從事斷點(diǎn)回歸的設(shè)計(jì)和研究工作。Thistlethwaite和Campbell（1960）正式發(fā)表了第一篇關(guān)于斷點(diǎn)回歸的論文，他們提出斷點(diǎn)回歸是在非實(shí)驗(yàn)的情況下處理處置效應(yīng)（Treatment Eff

6、ects）的一種有效的方法，主要應(yīng)用于心理學(xué)和教育學(xué)領(lǐng)域。隨后，Campbell和Stanley（1963）為斷點(diǎn)回歸提供了更加清晰化的概念，但是由于他們并沒(méi)有給出斷點(diǎn)回歸統(tǒng)計(jì)上的證明。在他們看來(lái)，斷點(diǎn)回歸主要是為了解決選擇性偏誤（Selection Bias）問(wèn)題，斷點(diǎn)回歸利用了一個(gè)取決于某連續(xù)變量的間斷函數(shù)，這個(gè)間斷函數(shù)完全決定了個(gè)體是否受到處置，這就使得樣本選擇的細(xì)節(jié)完全展示出來(lái)，使得我們知道樣本選擇的問(wèn)題所在。此外，Campbell和Stanley還認(rèn)為斷點(diǎn)回歸僅僅是在間斷的臨界值處類似于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，其推論的有效性也僅僅局限于間斷的臨界值處。整個(gè)20世紀(jì)60年代，斷點(diǎn)回歸方法的應(yīng)用還停留

7、在一種直覺(jué)的推導(dǎo)，而缺乏統(tǒng)計(jì)上嚴(yán)密的證明。Goldberger（1972 a, b）曾對(duì)斷點(diǎn)回歸的無(wú)偏因果推斷進(jìn)行了證明，可惜的是，他的論文并沒(méi)有得到發(fā)表，這主要是因?yàn)樗J(rèn)為斷點(diǎn)回歸的適用環(huán)境是一個(gè)高度理想化的環(huán)境，其適用范圍十分有限。相反，變量之間因果關(guān)系的推斷還包括了工具變量法（IV Approach）和Heckman處理樣本選擇問(wèn)題的模型，這兩種方法的適用性更加廣泛，從而使得人們忽視了斷點(diǎn)回歸方法的應(yīng)用，也使得斷點(diǎn)回歸在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)消失在人們的視野之中。隨著Campbell等人所認(rèn)為的斷點(diǎn)回歸適用性僅僅局限于臨界值附近這一論斷被證偽之后，斷點(diǎn)回歸才開(kāi)始重新回到人們的視野之中。Rubin

8、（1977）證明了在個(gè)體是否接受處置僅僅取決于一個(gè)關(guān)鍵變量的情況下，處置效應(yīng)能夠在關(guān)鍵變量的整個(gè)范圍內(nèi)得到無(wú)偏的因果推斷。Sacks和Ylvisaker（1978）提出了斷點(diǎn)回歸的估計(jì)方法，并在理論上給予了較粗略的證明。他們將被解釋變量分解為觀察變量的線性組合再加上一個(gè)非隨機(jī)的誤差項(xiàng)，其估計(jì)方法類似于局部非參數(shù)回歸（Local Nonparametric Regression），其有效性不僅僅是對(duì)于臨界值附近的樣本，而且可以擴(kuò)展到關(guān)鍵變量的整個(gè)領(lǐng)域。斷點(diǎn)回歸在理論方面取得了新進(jìn)展的同時(shí)，其它因果推斷方法的不足之處也逐漸的被認(rèn)識(shí)到。比如，工具變量法存在局限性，特別是排他性（Excludabili

9、ty）條件難以滿足，即難以保證工具變量?jī)H僅通過(guò)影響關(guān)鍵解釋變量而影響到被解釋變量，尋找合適的工具變量存在一定的困難。此外，Lalonde（1985）發(fā)現(xiàn)Heckman樣本選擇模型并不能產(chǎn)生和隨機(jī)實(shí)驗(yàn)一樣的結(jié)果。正因?yàn)橐蚬P(guān)系的推斷是經(jīng)濟(jì)學(xué)家所關(guān)注的最主要的問(wèn)題，并且現(xiàn)有的因果推斷方法都不能得出完全合理的因果關(guān)系，人們開(kāi)始逐漸將目光轉(zhuǎn)向了斷點(diǎn)回歸。Trochim（1984）繼續(xù)了他老師Campbell的工作，Trochim綜合了之前關(guān)于斷點(diǎn)回歸的理論和方法，并且將斷點(diǎn)回歸類型分為兩類，第一類是確定型的斷點(diǎn)回歸（Sharp Regression Discontinuity），即個(gè)體在臨界值一邊接受

10、處置效應(yīng)的概率為1，而在臨界值另一邊接受處置效應(yīng)的概率為0；第二類是模糊型的斷點(diǎn)回歸（Fuzzy Regression Discontinuity），即個(gè)體接受處置效應(yīng)的概率均大于0小于1，個(gè)體在臨界值一邊接受處置的概率大于在臨界值另一邊接受處置的概率。Trochim特別對(duì)第二類斷點(diǎn)回歸問(wèn)題進(jìn)行了研究，并開(kāi)始利用該方法進(jìn)行實(shí)證研究。與Campbell觀點(diǎn)不同，Trochim認(rèn)為斷點(diǎn)回歸的應(yīng)用性并非那么的狹隘，相反，其應(yīng)用范圍還十分的廣泛。除此之外，他還強(qiáng)調(diào)了決定處置的關(guān)鍵變量不僅僅可以是一個(gè)單一變量，而且還可以是一個(gè)合成變量。隨后，斷點(diǎn)回歸的優(yōu)勢(shì)逐漸被學(xué)界所認(rèn)可，其應(yīng)用也愈加廣泛。具體而言，其

11、優(yōu)勢(shì)包括兩方面：第一，斷點(diǎn)回歸可以應(yīng)用于出于對(duì)經(jīng)濟(jì)成本和倫理道德問(wèn)題的考慮，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)不能進(jìn)行的環(huán)境；第二，斷點(diǎn)回歸優(yōu)越于所有其它已知的因果推斷方法，其結(jié)果十分接近于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，Lee和Lemieux（2010）也通過(guò)形象的例子展示了斷點(diǎn)回歸和隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的相似性。Hahn et al（2001）最終為斷點(diǎn)回歸的模型識(shí)別和模型估計(jì)進(jìn)行了嚴(yán)格意義上的理論證明，并提出了相應(yīng)的估計(jì)方法，由此，斷點(diǎn)回歸在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用如雨后春筍般出現(xiàn)在重要經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中。三  斷點(diǎn)回歸的實(shí)施步驟（一）確定型斷點(diǎn)回歸       

12、60;運(yùn)用圖形來(lái)分析處置效應(yīng)是否存在是斷點(diǎn)回歸分析的基礎(chǔ)。圖形分析在斷點(diǎn)回歸的實(shí)施中扮演著重要的角色，通過(guò)將樣本點(diǎn)和決定處置的關(guān)鍵變量在坐標(biāo)系中描述出來(lái)，便可以清楚的看到臨界值附近的樣本點(diǎn)是否存在跳躍。如果樣本點(diǎn)存在跳躍，那么說(shuō)明確實(shí)存在處置效應(yīng)，相反，如果樣本點(diǎn)沒(méi)有出現(xiàn)相應(yīng)的跳躍，那么說(shuō)明斷點(diǎn)回歸的模型識(shí)別可能存在問(wèn)題。當(dāng)我們從圖形分析中發(fā)現(xiàn)了臨界值處存在處置效應(yīng)，那么就應(yīng)當(dāng)做進(jìn)一步更加細(xì)致的計(jì)量實(shí)證分析。為了使圖形更為直觀，需要根據(jù)決定處置的關(guān)鍵變量來(lái)劃分箱體（Bin）和箱體的范圍，并在該范圍內(nèi)計(jì)算變量的均值。一般而言，箱體的范圍需要大到包含足夠多的樣本使其樣本點(diǎn)在臨界值兩邊都比較平滑，但

13、又要小到一定程度使得樣本點(diǎn)在臨界值處的跳躍能夠明顯的顯現(xiàn)出來(lái)。Lee和Lemieux（2010）提出兩種方法來(lái)選擇合適的箱體范圍。第一種是根據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)的觀察決定使用個(gè)箱體；然后對(duì)個(gè)箱體的虛擬變量做回歸；隨后，將箱體范圍縮小二分之一，使得箱體由個(gè)變?yōu)閭€(gè)，將個(gè)箱體的虛擬變量作為解釋變量再做一次回歸。由于使用個(gè)箱體虛擬變量的回歸是內(nèi)嵌于使用個(gè)箱體虛擬變量的回歸之中的，因此，可以使用標(biāo)準(zhǔn)的F檢驗(yàn)來(lái)比判斷個(gè)箱體和個(gè)箱體的優(yōu)劣。第二種方法是基于這樣一個(gè)原理，如果箱體足夠的小，那么被解釋變量和決定處置的關(guān)鍵變量將不會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)的聯(lián)系，因此，可以將被解釋變量對(duì)箱體的虛擬變量以及該虛擬變量和決定處置的關(guān)鍵變量的乘積

14、項(xiàng)做回歸，并使用F檢驗(yàn)來(lái)判斷虛擬變量和關(guān)鍵變量的乘積項(xiàng)是否顯著的為0。通過(guò)以上方法得到合適箱體范圍后，便可以分別對(duì)臨界值兩邊的樣本進(jìn)行估計(jì)，得到臨界值兩邊的平滑曲線，具體實(shí)施步驟如下：        第一步，構(gòu)造箱體，其中為臨界值，為箱體的范圍；其次，計(jì)算每一個(gè)箱體中的樣本數(shù)量，其中為決定處置的關(guān)鍵變量；再次，求出每個(gè)箱體的平均值，；最后，畫出和二者之間的曲線關(guān)系。        第二步，同時(shí)利用臨界值兩邊的樣本進(jìn)行回歸。這就好比在非參

15、數(shù)回歸中使用了rectangular的核，選取葉寬（bandwidth），將樣本的估計(jì)局限在范圍內(nèi)。一般而言，可以使用非參數(shù)回歸，但是如Hahn et al.（2001）指出的，非參數(shù)回歸會(huì)產(chǎn)生高階數(shù)的偏差，簡(jiǎn)單的非參數(shù)估計(jì)往往并不具有吸引力，所以對(duì)于樣本的回歸可以采取局部線性回歸（Local Linear Regression），即最小化下式：        這其中存在葉寬選擇的問(wèn)題，Hahn等（2001）提出最優(yōu)的葉寬與成比例。例如，樣本增加32倍，那么為1/2，葉寬就可以減少一半，但是這并沒(méi)有解決如

16、何選擇葉寬的問(wèn)題。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的文獻(xiàn)中有兩種選擇葉寬的方法：第一種方法是根據(jù)拇指規(guī)則（Rule of Thumb）對(duì)整個(gè)樣本的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)以求得最優(yōu)葉寬。比如，對(duì)于rectangular的核，最優(yōu)葉寬可以根據(jù)下式求出：        其中是斷點(diǎn)回歸的標(biāo)準(zhǔn)差，表示斷點(diǎn)回歸方程的二階導(dǎo)數(shù)，是斷點(diǎn)回歸方程估計(jì)時(shí)的范圍，2.702是使用rectangular核估計(jì)的常數(shù)。另一種方法是交叉驗(yàn)證法（cross-validation），即首先對(duì)臨界值兩邊的樣本分別進(jìn)行回歸，得到：   

17、0;    交叉驗(yàn)證準(zhǔn)則即為選擇合適的葉寬以最小化：        此外，斷點(diǎn)回歸中也可以加入其它的控制變量，如此做的原因是消除小樣本偏差，同時(shí)使得估計(jì)更為精確。具體而言：如果控制變量的以為條件的分布在臨界值處是連續(xù)的，那么的加入對(duì)處置效應(yīng)的估計(jì)幾乎沒(méi)有影響，因?yàn)槭仟?dú)立于處置效應(yīng)的；同時(shí)，只要接近臨界值，那么的加入并不會(huì)對(duì)估計(jì)的偏差產(chǎn)生任何影響，但是，實(shí)際應(yīng)用中，樣本的選擇往往并不能保證足夠接近于臨界值，因此，在計(jì)量模型中加入控制變量可以消除這些由于這些額外變量造成的偏差，并

18、且，如果與被解釋變量有關(guān)，控制變量的加入還可以改進(jìn)估計(jì)的精確性。        第三步，對(duì)斷點(diǎn)回歸的結(jié)果進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)。首先，需要檢驗(yàn)其它控制變量在臨界值處是否存在跳躍，如果其它的控制變量在臨界值處存在顯著的跳躍，那么被解釋變量在臨界值處的跳躍將不僅僅是由于處置效應(yīng)所帶來(lái)的，這使得斷點(diǎn)回歸不能進(jìn)行有效的因果推斷；其次，需要檢驗(yàn)決定處置的關(guān)鍵變量的條件密度是否存在不連續(xù)的情況，如果條件密度發(fā)生了跳躍，那么說(shuō)明存在個(gè)體操作關(guān)鍵變量的可能。為此，可以計(jì)算每個(gè)箱體中樣本的數(shù)量，將其作為縱軸，將關(guān)鍵變量作為橫軸，通過(guò)圖形和回

19、歸分析來(lái)考察關(guān)鍵變量的分布在臨界值處是否存在跳躍。如果存在跳躍，則個(gè)體可能存在操作處置的可能，從而使斷點(diǎn)回歸方法失效；再次，需要檢驗(yàn)當(dāng)臨界值取其它值時(shí)，變量是否存在跳躍。如果變量不僅在臨界值處存在跳躍，而且也在其他值處存在跳躍，那么變量的跳躍是由處置效應(yīng)造成的這一推斷就值得懷疑，可能還存在其它因素決定了變量在臨界值處的跳躍；最后，需要在計(jì)量模型估計(jì)時(shí)，使用不同的葉寬，并且分別考慮加控制變量和不加控制變量的情況，以此來(lái)考察不同的計(jì)量模型形式是否對(duì)結(jié)論產(chǎn)生了顯著的變化。（二）模糊型斷點(diǎn)回歸        第一步，與確定

20、型斷點(diǎn)回歸一樣，運(yùn)用圖形來(lái)分析變量是否存在跳躍以及個(gè)體在臨界值處接受處置的概率是否存在跳躍。        第二步，使用兩階段最小二乘（TSLS）的方法來(lái)估計(jì)處置效應(yīng)。具體步驟如下：        首先根據(jù)下式求出和，其中。        然后，利用和之比求出處置效應(yīng)。       

21、60;由于，模糊型斷點(diǎn)回歸中需要進(jìn)行兩次計(jì)量回歸求出和，因此最優(yōu)葉寬的選擇需要同時(shí)考慮這兩次回歸的結(jié)果，Lee（2008）提出使用以下的準(zhǔn)則來(lái)求出最優(yōu)葉寬：        第三步，對(duì)斷點(diǎn)回歸的結(jié)果進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)步驟與確定型斷點(diǎn)回歸一樣。四  斷點(diǎn)回歸在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用（一）勞動(dòng)和教育經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域        由于在勞動(dòng)力市場(chǎng)和教育部門中，政府外生制定的政策和法規(guī)種類較多，所以斷點(diǎn)回歸在勞動(dòng)和教育經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用

22、十分常見(jiàn)。Angrist和Lavy（1999）利用以色列教育制度對(duì)班級(jí)大小的規(guī)定，即班級(jí)大小必須小于等于40人，如果超過(guò)40人，必須將原來(lái)的班級(jí)分成兩個(gè)班級(jí)，通過(guò)斷點(diǎn)回歸來(lái)研究班級(jí)的大小對(duì)學(xué)生成績(jī)和教育質(zhì)量的影響，他們發(fā)現(xiàn)班級(jí)學(xué)生人數(shù)越小，其學(xué)生的考試成績(jī)?cè)胶谩lack（1999）利用家庭所屬入學(xué)區(qū)不同這一特征，將入學(xué)區(qū)之間臨界線兩側(cè)的樣本作為研究對(duì)象，作者使用了享樂(lè)價(jià)格函數(shù)（Hedonic Price Function）估計(jì)了入學(xué)區(qū)之間存在的教育質(zhì)量差異對(duì)房屋價(jià)格的影響，并以此考察了為獲得更優(yōu)質(zhì)的教育，家庭的支付意愿，其研究結(jié)果表明，如果小孩測(cè)試分?jǐn)?shù)提高5%，家長(zhǎng)愿意多支付2.5%。Hox

23、by（2000）運(yùn)用斷點(diǎn)回歸研究了班級(jí)大小對(duì)教育質(zhì)量的影響，他同樣利用了Angrist和Lavy（1999）所使用的政府對(duì)班級(jí)大小的規(guī)定，并考慮到入學(xué)對(duì)年齡的要求會(huì)導(dǎo)致不同年級(jí)的人數(shù)會(huì)有差別，而這差別又會(huì)對(duì)班級(jí)大小產(chǎn)生影響這一機(jī)制，其實(shí)證結(jié)果并沒(méi)有支持Angrist和Lavy（1999）的結(jié)果。Lalive（2007，2008）使用斷點(diǎn)回歸研究了失業(yè)工人補(bǔ)貼時(shí)限的延長(zhǎng)對(duì)勞動(dòng)力市場(chǎng)的影響，由于奧地利對(duì)50歲以上失業(yè)人員補(bǔ)貼的時(shí)限與50歲以下失業(yè)人員補(bǔ)貼時(shí)限不一致，因此，通過(guò)比較50歲上下失業(yè)人員的情況，就可以發(fā)現(xiàn)這種失業(yè)補(bǔ)貼時(shí)限不一致對(duì)失業(yè)時(shí)間以及新找工作的待遇和類型的影響；同時(shí)，由于這種政策的

24、實(shí)施還存在地理位置上的差異，因此，通過(guò)比較地區(qū)間臨界線兩側(cè)的樣本同樣可以發(fā)現(xiàn)失業(yè)補(bǔ)貼時(shí)限對(duì)失業(yè)的影響，作者證實(shí)了補(bǔ)貼時(shí)限越長(zhǎng)，工人失業(yè)的時(shí)間就越長(zhǎng)。Chiang（2009） 利用了美國(guó)弗羅里達(dá)州實(shí)施的對(duì)教學(xué)質(zhì)量沒(méi)有達(dá)標(biāo)的學(xué)校進(jìn)行懲罰這一規(guī)定，使用斷點(diǎn)回歸的方法研究了這種激勵(lì)措施對(duì)教學(xué)質(zhì)量的直接影響，他發(fā)現(xiàn)受益于這種激勵(lì)，學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量，特別是學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)有了一定幅度的改進(jìn)，同時(shí)，學(xué)校也加大了教學(xué)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、實(shí)驗(yàn)工具和老師培訓(xùn)方面的支出。Clark（2009）利用了英國(guó)中學(xué)必須獲得學(xué)生家長(zhǎng)一定份額的票數(shù)才能進(jìn)行自治這一規(guī)定，通過(guò)斷點(diǎn)回歸研究了通過(guò)投票方式獲得自治的學(xué)校和沒(méi)有獲得自治

25、的學(xué)校在教學(xué)質(zhì)量上的差別，他發(fā)現(xiàn)得到自治權(quán)的學(xué)校在考試通過(guò)率上表現(xiàn)更好。雷曉燕等（2010）利用了中國(guó)政府對(duì)退休年齡的規(guī)定，運(yùn)用斷點(diǎn)回歸的方法分析了退休對(duì)健康的影響，他們發(fā)現(xiàn)在正常退休年齡退休對(duì)男性健康有顯著的負(fù)面影響，相反，這種負(fù)面影響并沒(méi)有在女性群體表現(xiàn)出來(lái)。（二）政治經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域        在政治經(jīng)濟(jì)學(xué)研究領(lǐng)域中，由于政黨選舉通常需要得到一定的選票，而獲得多少選票可以當(dāng)選是由法律規(guī)章制度預(yù)先設(shè)定的，因此，存在一個(gè)當(dāng)選與不當(dāng)選的選票臨界值。斷點(diǎn)回歸便是利用了這一臨界值附近的樣本來(lái)考察選民對(duì)政策的影響、在職者的

26、政治優(yōu)勢(shì)和政府的開(kāi)支等等一系列問(wèn)題。在美國(guó)眾議院選舉中，一個(gè)政黨如果能夠獲得所屬選區(qū)50%以上的選票，那么就能夠贏得該選區(qū)的選舉。Lee et al.（2004）利用了50%得票率是獲選與否的關(guān)鍵決定因素這一特征考察了選民對(duì)競(jìng)選者政策選擇的影響?，F(xiàn)有理論中存在兩種關(guān)于選舉對(duì)政策影響的觀點(diǎn)，第一種觀點(diǎn)認(rèn)為，競(jìng)選者傾向于采取符合處于中位數(shù)選民偏好的政策，即所謂的唐斯收斂效應(yīng)（Downsian  Convergence Effect）；第二種觀點(diǎn)認(rèn)為，考慮到政治家的承諾在選舉后并不能完全兌現(xiàn)，選民傾向于選擇當(dāng)前最有利于他們權(quán)益的政策，Lee等人通過(guò)考察競(jìng)選者面臨相近的選

27、票時(shí)，即選舉的壓力加大時(shí)，是否會(huì)改變自己所提倡的政策，其實(shí)證結(jié)果表明唐斯收斂效應(yīng)并不存在。相反，選民會(huì)在兩黨競(jìng)選者中選擇出制定了對(duì)自己最有利政策的競(jìng)選者。在同樣的背景下，Lee（2008）也利用了必須獲得50%以上選票當(dāng)選這一個(gè)規(guī)則，使用了斷點(diǎn)回歸方法研究了美國(guó)眾議院在職者是否會(huì)利用本次當(dāng)選所得到的權(quán)利，從而有利于在下一屆眾議院選舉中再次當(dāng)選這個(gè)問(wèn)題，他發(fā)現(xiàn)眾議院的在職者贏得下一次選舉的概率更大。Albouy（2009）以美國(guó)兩黨制為背景，研究了國(guó)會(huì)（包括參議院和眾議院）議員的黨派身份對(duì)聯(lián)邦政府在國(guó)會(huì)議員所屬區(qū)域支出的影響，由于一個(gè)黨派在參議院和眾議院獲得超過(guò)50%選票便能夠成為該院占多數(shù)的黨

28、派，進(jìn)而能夠?qū)ψh案的通過(guò)產(chǎn)生影響，因此，50%的選票便是一個(gè)臨界值，通過(guò)比較臨界值附近的樣本差異，便可以得到獲得國(guó)會(huì)多數(shù)席位的國(guó)會(huì)議員黨派身份對(duì)聯(lián)邦政府的支出的影響，他的研究結(jié)果表明，在國(guó)會(huì)獲得多數(shù)席位的議員黨派往往能夠?yàn)樵擖h派議員所屬州爭(zhēng)取更多的政府支出，并且對(duì)于不同的黨派身份，這種政府支出的表現(xiàn)形式還存在差異，當(dāng)共和黨獲得國(guó)會(huì)多數(shù)席位時(shí)，其議員所屬州將會(huì)得到更多的國(guó)防開(kāi)支，而當(dāng)民主黨獲得國(guó)會(huì)多數(shù)席位時(shí)，其議員所屬州將會(huì)得到更多教育和城市發(fā)展方面的政府開(kāi)支。Ferreira和Gyourko（2009）同樣使用斷點(diǎn)回歸的方法分析了政黨選舉對(duì)政治經(jīng)濟(jì)的影響。與之前研究不同的是，他們使用的是美國(guó)城

29、市的數(shù)據(jù)，考察的對(duì)象是市長(zhǎng)的選舉，其研究結(jié)果表明，在職者仍然能夠以較大概率贏得下一任的選舉，但是國(guó)會(huì)選舉所表現(xiàn)出來(lái)的黨派政治對(duì)政策和經(jīng)濟(jì)的顯著影響這一結(jié)論并不適用于市長(zhǎng)選舉，此時(shí)，黨派政治對(duì)市政府的規(guī)模、公共品的支出和犯罪率并沒(méi)有明顯的影響，他們認(rèn)為這其中的原因在于城市之間較強(qiáng)的同質(zhì)性和城市之間的競(jìng)爭(zhēng)使得黨派政治對(duì)政策和經(jīng)濟(jì)的影響有所削弱，同時(shí)也使得競(jìng)選者的承諾更為可信。（三）環(huán)境經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域        在環(huán)境污染方面，許多國(guó)家都頒布了相關(guān)的政策和法令來(lái)控制日益嚴(yán)重的環(huán)境問(wèn)題，這也提供了可以利用斷點(diǎn)回歸進(jìn)行政策分

30、析和研究的背景。Chay和Greenstone（2005）使用了斷點(diǎn)回歸的方法研究了人們對(duì)避免空氣污染的支付意愿，美國(guó)政府于二十世紀(jì)70年代頒布了清潔空氣法案（Clean Air Acts），即一個(gè)地區(qū)如果污染程度超過(guò)聯(lián)邦政府所制定的臨界值，那么環(huán)保局會(huì)將該地區(qū)視為未達(dá)標(biāo)地區(qū)，從而使得該地區(qū)面臨更為嚴(yán)格的監(jiān)管。因此，聯(lián)邦政府為地區(qū)污染所制定的排放臨界值便成為實(shí)證研究中的一個(gè)間斷點(diǎn)，通過(guò)比較超過(guò)排放臨界值地區(qū)和未超過(guò)排放臨界值地區(qū)的房?jī)r(jià)水平，他們發(fā)現(xiàn)，受到環(huán)保局更嚴(yán)格監(jiān)管地區(qū)的懸浮顆?？偭繒?huì)有所下降，并且懸浮顆?？偭棵肯陆?，地區(qū)的房?jī)r(jià)便會(huì)提高0.4-0.5%。Davis（2008）利用了墨西哥

31、城于1989年實(shí)行的名為Hoy No Circula的項(xiàng)目，即每周車輛將根據(jù)其牌照最后一位數(shù)字而被限行一天，運(yùn)用斷點(diǎn)回歸的方法研究了這一車輛限行政策對(duì)空氣質(zhì)量的影響，他發(fā)現(xiàn)車輛限行政策并沒(méi)有改善當(dāng)?shù)氐目諝赓|(zhì)量，相反，車輛限行提高了未被限行車輛的使用率，同時(shí)人們也轉(zhuǎn)而使用高排放量的車輛。Greenstone和Gallagher（2008）使用斷點(diǎn)回歸的方法研究了1980年美國(guó)國(guó)會(huì)通過(guò)的并由卡特總統(tǒng)簽署的綜合環(huán)境反應(yīng)、賠償和責(zé)任法案（Comprehensive Environmental Response, Compensation, and Liability Act, CERCLA）所產(chǎn)生的經(jīng)

32、濟(jì)價(jià)值，CERCLA賦予環(huán)保局對(duì)污染物質(zhì)排放超標(biāo)或?qū)步】岛铜h(huán)境構(gòu)成威脅的地區(qū)實(shí)行環(huán)境清潔計(jì)劃的權(quán)利，因此，污染物質(zhì)排放水平便成為關(guān)鍵變量，它決定著一個(gè)地區(qū)是否實(shí)行了環(huán)境清潔計(jì)劃，通過(guò)比較實(shí)行環(huán)境清潔計(jì)劃地區(qū)和未實(shí)行環(huán)境清潔計(jì)劃地區(qū)的房?jī)r(jià)和房屋租金，他們發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)地區(qū)實(shí)行了環(huán)境清潔計(jì)劃，那么20年后，該地區(qū)的房屋財(cái)產(chǎn)價(jià)值將會(huì)增加四千兩百萬(wàn)美元，并且居住人口也會(huì)顯著增加。Almond et al. （2009）研究了中國(guó)使用暖氣的政策對(duì)地方環(huán)境污染的影響，在1950-1980年間，由于財(cái)政不足以令全國(guó)各地都經(jīng)由免費(fèi)煤炭供給使用暖氣，因此，在中國(guó)，只有淮河和秦嶺以北的地區(qū)能夠得到免費(fèi)

33、的煤炭供給使用暖氣，這項(xiàng)政策的實(shí)施使得以淮河和秦嶺為界的南北地區(qū)空氣污染程度產(chǎn)生了顯著的差別，他們使用斷點(diǎn)回歸的方法對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了細(xì)致的研究，其研究結(jié)果表明淮河和秦嶺以北的地區(qū)空氣中懸浮顆?？偭棵黠@高于淮河和秦嶺以南的地區(qū)，并且北方懸浮顆粒總量的指標(biāo)是美國(guó)的5-8倍。（四）發(fā)展經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域        斷點(diǎn)回歸在發(fā)展經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用主要利用了各個(gè)地區(qū)行政區(qū)域劃分的特點(diǎn)。Dell（2008）利用斷點(diǎn)回歸的方法研究了歷史制度對(duì)區(qū)域經(jīng)濟(jì)影響的持久性，并考察了歷史制度影響當(dāng)前經(jīng)濟(jì)績(jī)效的渠道。玻利維亞和秘魯?shù)膱?zhí)政者在16世紀(jì)西班牙殖民地時(shí)期，均在波托西（Potosi）銀礦和萬(wàn)卡維利卡（Huancavelica）水銀礦地區(qū)實(shí)行了名為Mita的征收勞工制度，即執(zhí)政者要求征用各個(gè)地區(qū)男性人口的七分之一用于開(kāi)采銀礦和水銀礦，如果一個(gè)地區(qū)與礦產(chǎn)的距離較遠(yuǎn)，那么來(lái)回運(yùn)輸和監(jiān)督成本就會(huì)很高，因此，出于對(duì)經(jīng)濟(jì)利益的考慮，一個(gè)地區(qū)是否實(shí)行了Mita制度在很大程度上取決于該地區(qū)與礦產(chǎn)距離的遠(yuǎn)近，通過(guò)比較Mita制度實(shí)行區(qū)域與未實(shí)行區(qū)域之間臨界線兩側(cè)的樣本，Dell發(fā)現(xiàn)Mita制度的實(shí)施減少了當(dāng)前地區(qū)消