自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、第一章 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布6.1總體與樣本6.1.1總體與個(gè)體在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中，我們把研究對(duì)象的全體稱為總體，構(gòu)成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體。對(duì)多數(shù)實(shí)際問題。總體中的個(gè)體是一些實(shí)在的人或物。比如，我們要研究某大學(xué)的學(xué)生身高情況，則該大學(xué)的全體學(xué)生構(gòu)成問題的總體，而每一個(gè)學(xué)生即是一個(gè)個(gè)體。事實(shí)上，每個(gè)學(xué)生有許多特征：性別、年齡、身高、體重、民族、籍貫等。而在該問題中，我們關(guān)心的只是該校學(xué)生的身高如何，對(duì)其他的特征暫不予以考慮。這樣，每個(gè)學(xué)生（個(gè)體）所具有的數(shù)量指標(biāo)值身高就是個(gè)體，而將所有身高全體看成總體。這樣一來，若拋開實(shí)際背景，總體就是一堆數(shù)，這堆數(shù)中有大有小，有的出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多，有的出現(xiàn)的機(jī)會(huì)少，

2、因此用一個(gè)概率分布去描述和歸納總體是恰當(dāng)?shù)?。從這個(gè)意義上看，總體就是一個(gè)分布，而其數(shù)量指標(biāo)就是服從這個(gè)分布的隨機(jī)變量。以后說“從總體中抽樣”與“從某分布中抽樣”是同一個(gè)意思。例6-1考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量，將其產(chǎn)品只分為合格品與不合格品，并以0記合格品，以1記不合格品，則總體該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品由0或1組成的一堆數(shù)。若以p表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率），則該總體可由一個(gè)二點(diǎn)分布表示：不同的p反映了總體間的差異。例如，兩個(gè)生產(chǎn)同類產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品總體分布為：我們可以看到，第一個(gè)工廠的產(chǎn)品質(zhì)量?jī)?yōu)于第二個(gè)工廠。實(shí)際中，分布中的不合格品率是未知的，如何對(duì)之進(jìn)行估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)要研究的問題。6.1

3、.2樣本為了了解總體的分布，我們從總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，記其指標(biāo)值為x1，x2，xn，則x1，x2，xn稱為總體的一個(gè)樣本，n稱為樣本容量，或簡(jiǎn)稱樣本量，樣本中的個(gè)體稱為樣品。我們首先指出，樣本具有所謂的二重性：一方面，由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取的，抽取前無法預(yù)知它們的數(shù)值，因此，樣本是隨機(jī)變量，用大寫字母X1，X2，Xn表示；另一方面，樣本在抽取以后經(jīng)觀測(cè)就有確定的觀測(cè)值，因此，樣本又是一組數(shù)值。此時(shí)用小寫字母x1，x2，xn表示是恰當(dāng)?shù)摹：?jiǎn)單起見，無論是樣本還是其觀測(cè)值，本書中樣本一般均用x1，x2，xn表示，讀者應(yīng)能從上下文中加以區(qū)別。例6-2啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640g

4、，由于隨機(jī)性，事實(shí)上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640g ,現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機(jī)抽取10瓶測(cè)定其凈含量，得到如下結(jié)果： 641635640637642638645643639640這是一個(gè)容量為10的樣本的觀測(cè)值。對(duì)應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量。【答疑編號(hào)：10060101針對(duì)該題提問】從總體中抽取樣本時(shí)，為使樣本具有代表性，抽樣必須是隨機(jī)抽樣。通?？梢杂秒S機(jī)數(shù)表來實(shí)現(xiàn)隨機(jī)抽樣。還要求抽樣必須是獨(dú)立的，即每次的結(jié)果互不影響。在概率論中，在有限總體（只有有限個(gè)個(gè)體的總體）中進(jìn)行有放回抽樣，是獨(dú)立的隨機(jī)抽樣；然而，若為不放回抽樣，則是不獨(dú)立的抽樣。但 當(dāng)總體容量N很大但樣本容量n較小

5、時(shí)，不放回抽樣可以近似地看做放回抽樣，即可近似看做獨(dú)立隨機(jī)抽樣。下面，我們假定抽樣方式總滿足獨(dú)立隨機(jī)抽樣的條件。從總體中抽取樣本可以有不同的抽法，為了能由樣本對(duì)總體做出較可靠的推斷，就希望樣本能很好地代表總體。這就需要對(duì)抽樣方法提出一些要求，最常用的 “簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”有如下兩個(gè)要求：（1）樣本具有隨機(jī)性，即要求總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本，這便意味著每一樣品xi與總體X有相同的分布。（2）樣本要有獨(dú)立性，即要求樣本中每一樣品的取值不影響其他樣品的取值，這意味著x1，x2，xn相互獨(dú)立。用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，也簡(jiǎn)稱樣本。除非特別指明，本書中的樣本皆為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

6、。于是，樣本x1，x2，xn可以看成是相互獨(dú)立的具有同一分布的隨機(jī)變量，其共同分布即為總體分布。 設(shè)總體X具有分布函數(shù)F（x）, x1，x2，xn為取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為：若總體具有密度函數(shù)f（x），則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為若總體X為離散型隨機(jī)變量，則樣本的（聯(lián)合）概率函數(shù)為顯然，通常說的樣本分布是指多維隨機(jī)變量（x1，x2，xn）的聯(lián)合分布。例6-3為估計(jì)一物件的重量，用一架天平重復(fù)測(cè)量n次，得樣本x1，x2，xn，由于是獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，x1，x2，xn是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本?？傮w的分布即x1的分布（x1，x2，xn分布相同）。由于稱量誤差是均值（期望）為零的正態(tài)變量，所以x1

7、可認(rèn)為服從正態(tài)分布N（，2）（X1等于物件重量）加上稱量誤差，即x1的概率密度為這樣，樣本分布密度為。 【答疑編號(hào)：10060102針對(duì)該題提問】例6-4設(shè)某種電燈泡的壽命X服從指數(shù)分布E（），其概率密度為：則來自這一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本x1，x2，xn的樣本分布密度為【答疑編號(hào)：10060103針對(duì)該題提問】例6-5考慮電話交換臺(tái)一小時(shí)內(nèi)的呼喚次數(shù)X。求來自這一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本x1，x2，xn的樣本分布?！敬鹨删幪?hào)：10060104針對(duì)該題提問】解由概率論知識(shí)，X服從泊松分布P（），其概率函數(shù)，（其中x是非負(fù)整數(shù)0，1，2，k，中的一個(gè)）。從而，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本x1，x2，xn的樣本分布為：6.

8、2統(tǒng)計(jì)量及其分布6.2.1 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布樣本來自總體，樣本的觀測(cè)值中含有總體各方面的信息，但這些信息較為分散，有時(shí)顯得雜亂無章。為將這些分散在樣本中有關(guān)總體的信息集中起來以反映總體的各種特征，需要對(duì)樣本進(jìn)行加工。最常用的加工方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。 定義6-1 設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)TT（x1，x2，xn）中不含有任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。按照這一定義，若x1，x2，xn為樣本，則，都是統(tǒng)計(jì)量，而當(dāng)，2未知時(shí)， 等均不是統(tǒng)計(jì)量。6.2.2樣本均值及其抽樣分布定義6-2 設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，

9、其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用表示，即。例6-6 某單位收集到20名青年人某月的娛樂支出費(fèi)用數(shù)據(jù)：7984 8488 92 93 94 97 98 99100 101101102102 108110113118125 則該月這20名青年的平均娛樂支出為【答疑編號(hào)：10060105針對(duì)該題提問】對(duì)于樣本均值的抽樣分布，我們有下面的定理。 定理6-1設(shè)x1，x2，xn是來自某個(gè)總體X的樣本， 為樣本均值。（1）若總體分布為N（2），則的精確分布為；（2）若總體X分布未知（或不是正態(tài)分布），且E（X）=，D（X）=2，則當(dāng)樣本容量n較大時(shí)，的漸近分布為，這里的漸近分布是指n較大時(shí)的近似分布。證明（

10、1）由于為獨(dú)立正態(tài)變量線性組合，故仍服從正態(tài)分布。另外， 故 （2）易知為獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量之和，且 。由中心極限定理， ，其中（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這表明n較大時(shí)的漸近分布為。6.2.3樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差  定義6-3設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，則它關(guān)于樣本均值的平均偏差平方和 稱為樣本方差，其算術(shù)根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。相對(duì)樣本方差而言，樣本標(biāo)準(zhǔn)差通常更有實(shí)際意義，因?yàn)樗c樣本均值具有相同的度量單位。在上面定義中，n為樣本容量，稱為偏差平方和，它有3個(gè)不同的表達(dá)式：事實(shí)上，偏差平方和的這3個(gè)表達(dá)式都可用來計(jì)算樣本方差。例6-7在例6-6中，我們已經(jīng)算得，其樣本方差與樣本

11、標(biāo)準(zhǔn)差為，。方法二s=11.57 31【答疑編號(hào)：10060201針對(duì)該題提問】通常用第二種方法計(jì)算s2方便許多。下面的定理給出樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望，它不依賴于總體的分布形式。這些結(jié)果在后面的討論中是有用的。  定理6-2設(shè)總體X具有二階矩，即E（x）=,D（X）=2<+x1，x2，xn為從該總體得到的樣本，和s2分別是樣本均值和樣本方差，則 此定理表明，樣本均值的均值與總體均值相同，而樣本均值的方差是總體方差的。證明由于（1）（2）故（6.3.3）式成立。下證（6.3.4），注意到 ，而 ，于是 ，兩邊各除以n-1，即得（6.3.4）式。值得讀者注意

12、的是：本定理的結(jié)論與總體服從什么分布無關(guān)。6.2.4樣本矩及其函數(shù)樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計(jì)量。  定義6-4設(shè)x1，x2，xn是樣本，則統(tǒng)計(jì)量（6.3.5）稱為樣本k階原點(diǎn)矩，特別地，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。統(tǒng)計(jì)量 （6.3.6） 稱為樣本k階中心矩。常見的是k=2的場(chǎng)合，此時(shí)稱為二階樣本中心矩。本書中我們將其記為sn2，以區(qū)別樣本方差S2。 6.2.5極大順序統(tǒng)計(jì)量和極小順序統(tǒng)計(jì)量  定義6-5設(shè)總體X具有分布函數(shù)F（x），分布密度f（x）, x1，x2，xn為其樣本，我們分別稱X（1）=minx1,x2,xn,x（n）=maxx1

13、,x2,xn為極小順序統(tǒng)計(jì)量和極大順序統(tǒng)計(jì)量。定理6-3若x(1),x(n)分別為極小、極大順序統(tǒng)計(jì)量，則（1）x(1)的分布函數(shù)F1(x)=1-(1-F（x)n,x（1）的分布密度f1(x)=n-(1-F(x)n-1f(x) （2）x（n）的分布函數(shù)Fn(x)=F(x)n,x(n)的分布密度fn(x)=nF(x)n-1f(x) 證明 先求出x（1）及x（n）的分布函數(shù)F1（x）及Fn（x）：，分別對(duì)F1（x），F(xiàn)n（x）求導(dǎo)即得6.2.6正態(tài)總體的抽樣分布有很多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)總體的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量（其抽樣分布分別為x2分布，t分布和F分布）在實(shí)踐中有著廣

14、泛的應(yīng)用。這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有“明確的表達(dá)式”，它們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”。1. x2分布（卡方分布）  定義6-6設(shè)X1，X2，Xn獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則x2=x12+xn2的分布稱為自由度為n的x2分布，記為x2 x2（n）。x2（n）分布的密度函數(shù)見圖6-4當(dāng)隨機(jī)變量x2 x2（n）時(shí)，對(duì)給定的（0<<1）,稱滿足px2>x2（n）=的x2（n）是自由度為n的開方分布的分位數(shù)。分位數(shù)x2（n）可以從附表4中查到。例如n=10，=0.05，那么從附表4中查得x2(10)=18.307p(x)2&

15、gt;x20.05(10)=px2>18.307=0.05注：請(qǐng)讀者注意x2x2（n）時(shí)，n是自由度，不是容量。2.F分布  定義6-7 設(shè)x1x2(m)，x2x2(n)X1與X2獨(dú)立，則稱的分布是自由度為m與n的F分布，記為FF（m，n），其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度。自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)分布（見圖6-5）。當(dāng)隨機(jī)變量FF（m，n）時(shí)，對(duì)給定的（0<<1），稱滿足PF>F（m,n）=的數(shù)F（m,n）是自由度為m與n的F分布的分位數(shù)。當(dāng)FF（m，n）時(shí)，有下面性質(zhì)（不證），這說明（6.3.8）對(duì)小的，分位為F（

16、m,n）可以從附表5中查到，而分位數(shù)F1-（m,n）則可通過（6.3.8）式得到?！纠?-8】若取m=10,則n=5,=0.05，那么從附表5上（m=n1,n=n2）查得F0.05（10,5）=4.74利用（6.3.8 ）式可得到【答疑編號(hào)：10060202針對(duì)該題提問】3.t分布  定義6-8 設(shè)隨機(jī)變量與X1與X2獨(dú)立且X1N（0，1），X2X2（n），則稱的分布為自由度為n的t的分布，記為tt（n）.t分布密度函數(shù)的圖像是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布（圖6-6），與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形態(tài)類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。圖6-6 t分布與N（0,

17、1）的密度函數(shù)當(dāng)隨機(jī)變量tt（n）時(shí)，稱滿足Pt>t（n）=的t（n）是自由度為n的t分布的分位數(shù)，分位數(shù)t（n）可以從附表3中查到，例如當(dāng)n=10, =0.05時(shí)，從附表3上查得t0.05（10）=1.8125由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱，故其分位數(shù)有如下關(guān)系：t1-（n）=- t（n）例如，t0.95（10）=-t0.05（10）=-1.8125當(dāng)n很大時(shí)，（n30）,t分布可以用N（0，1）近似P（t>-t）=1-,p（t>t1-）=1-，t1-=-t4.一些重要結(jié)論來自一般正態(tài)總體的樣本均值 和樣本方差S2的抽樣分布是應(yīng)用最廣的抽樣分布，下面我們加以介紹。  定理6-4 設(shè)X1,X2,Xn是來自正態(tài)總體N（,2）的樣本，其樣本均值和樣本方差分別為：則有（1）與s2相互獨(dú)立；（2）特別，若（不證）推論：設(shè)，21=22=2并記則（不證）本章小結(jié)本章的基本要求是（一）知道總體、樣本、簡(jiǎn)單樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念（二）知道統(tǒng)計(jì)量和s2的下列性質(zhì)。E（s2）=2（三）若x的分布函數(shù)為F（x），分布函數(shù)為f（x），則樣本（x1,x2,xn）的聯(lián)合分