導數(shù)及不等式綜合題集錦

1、導數(shù)及不等式綜合題集錦1 .函數(shù)f(x)=x+lnx,其中.為常數(shù),且4-1.(I)當4=-1時,求/(J在e©(e=2.71828)上的值域;(H)假設對任意?怛看恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.2 .己知函數(shù)/'(X)="lnx-L,aeR.x(I)假設曲線y=/(x)在點(1J)處的切線與直線x+2y=0垂直,求a的值;(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(III)當a=l,且了22時,證實：f(x-)<2x-5.3 ./(x)=d-6cu二+9“2x(«gR).(I)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間；(II)當.0時,假設對,40,3有/(X)44恒成

2、立,求實數(shù).的取值范圍.4 .函數(shù)/(x)=-X3-ax1+(,J-)x+b(a,beR).(I)假設X=1為/(x)的極值點,求a的值；(II)假設),=/'")的圖象在點(1,7(I)處的切線方程為x+y3=0,(i)求/'(x)在區(qū)間-2,4上的最大值；(ii)求函數(shù)G(x)=/'(x)+(m+2)x+mex(meR)的單調(diào)區(qū)間5,函數(shù)f(x)=hx+-.x(I)當avO時,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間;3(II)假設函數(shù)f(X)在1,e上的最小值是-,求a的值.26 .函數(shù)/(x)=+ax2+(1-Z?2)x,m,a.beR3(1)求函數(shù)/(x)的導函數(shù)(x

3、)；(2)當機=1時,假設函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù),求z=+8的最小值；(3)當.=1/=加時,函數(shù)/(X)在(2,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求？的取值范圍.7 .函數(shù)/(X)=px-2Inx.X0(1)假設=2,求曲線/(x)在點(1J)處的切線；(2) .假設函數(shù)/")在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)的取值范圍：(3)設函數(shù)g(x)=,假設在l,e上至少存在一點七,使得/(x0)>g(x.)成立,求實數(shù)的取X值范圍.8 .設函數(shù)f(x)=p(x-)-2Inx,g(x)=x2.x(D假設直線/與函數(shù)/(x),g(x)的圖象都相切,且與函數(shù)/3)的圖象相切于點(1,0),求實數(shù)

4、的值；(II)假設/*)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)p的取值范圍.9 .函數(shù)=-2x,g(x)=log.>0,且.工1),其中.為常數(shù),如果(x)=/(x)+g(x)2在其定義域上是增函數(shù),且"(X)存在零點(/(X)為人(幻的導函數(shù)).(I)求a的值；(II)設A(mtB(nyg(n)(m<n)是函數(shù)y=g(x)的圖象上兩點,g'C%)=必q一處也(g'(x)為g(x)的導函數(shù)),證實：in<x0<n.n-m10 .設函數(shù)/(x)=x2niInx,h(x)=x2-x+a«(I)當a=0時,/(x)N/?(x)在(1,+oo)上恒成

5、立,求實數(shù)m的取值范圍；(II)當m=2時,假設函數(shù)攵(x)=/(x)-(x)在1,3上恰有兩個不同零點,求實數(shù)a的取值范圍；(III)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)/1)和函數(shù)力(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？假設存在,求出m的值,假設不存在,說明理由.11 .己知函數(shù)f(x)=(x2-3%+3)/定義域為-2用«>2),為(2)=?,/«)=幾(1)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)/(工)在-2,“上為單調(diào)函數(shù)：(II)求證：n>m；(HI)求證：對于任意的,>一2,總存在t(-2,f),滿足當亙=2.一1)2,并確定這樣的乙的個數(shù).12 .函數(shù)/(幻=-“

6、Inx在(1.2是增函數(shù),8(%)=x-a>/7在(0,1)為減函數(shù).(1)求/(%)、g(x)的表達式;(2)求證：當x0時,方程/(x)=g(x)+2有唯一解;(3)當>-1時,假設,.)之2法在x£(0,l內(nèi)恒成立,求力的取值范圍.13 .函數(shù)/'=0,且/'x2.在R上恒成立.1求的值;2假設x=一x+一解不等為"x+/?xo；4243是否存在實數(shù)出使函數(shù)gx=/0-氏在區(qū)間,?+2上有最小值一5?假設存在,請求出實數(shù)m的值；假設不存在,請說明理由.14 .函數(shù)/xXY+a+x+i,aeR.I討論函數(shù)/x的單調(diào)區(qū)間；II設函數(shù)/X在區(qū)間內(nèi)

7、是減函數(shù),求的取值范圍.15 ,設函數(shù)/x=g±-lnx+lnx+l.1+xI求fx的單調(diào)區(qū)間和極值；II是否存在實數(shù)a,使得關于x的不等式的解集為0,+8?假設存在,求a的取值范圍；假設不存在,試說明理由.1,解：(I)當=1時,f(x)=x-nx9得/*)=1一,2分x令ra)>o,即i>o,解得x>i,所以函數(shù)f(x)在a,+8)上為增函數(shù),X據(jù)此,函數(shù)/(外在Be?上為增函數(shù),4分而/(e)=e1,f(e2)=e22,所以函數(shù)/(x)在e©上的值域為6歸26分(II)由/0)=1+3令/0)=0,得1+2=0,即x=.,XX當xe(0)時,/(x)

8、vO,函數(shù)f(x)在(0,-)上單調(diào)遞減：當x(-a,+oo)時,fx)>0,函數(shù)/(幻在(“,+8)上單調(diào)遞增：7分假設IKaKe,即一eKaK1,易得函數(shù)/(x)在上為增函數(shù),此時,/(幻曲=/(/),要使/(x)Ke-l對xee,6恒成立,只需f(ebAe-l即可,所以有+24«.一1,即心上2而Y+e-1-(e-3e+l)<0,即士匚1<一-所以此時無解8分222假設ev-ave"即一e>a>-e2,易知函數(shù)/")在e,-a上為減函數(shù),在-d上為增函數(shù),要使.f(x)4e-l對xee,6恒成立,只需<a<-1/-c

9、2+e-l,a<2-e2+e-l/八-e2+e+lnrn-e2+e-l/、e2+e-l八陽2-e2+e-l1A/k由-(-1)=<0和一(-b)=>0得一丁.10分22222假設-4次.即易得函數(shù)/*)在上/上為減函數(shù),此時,/(幻皿=/,要使/(x)Ve-l對xee,e恒成立,只需/(e)We-l即可,所以有e+aKe-l,即又由于所以aV-e?12分綜合上述,實數(shù)a的取值范圍是(ho,Y：e-11匕分2.解：(I)函數(shù)/(x)的定義域為xlx>0,fx)=-+-L.2分又曲線y=/(x)在點(1,7(1)處的切線與直線x+2y=0垂直,所以r(1)=.+1=2.即=

10、14分(II)由于/(X)=竺三!,當.之.時,對于X£(0,+oo),茍"(x)>0在定義域上恒成立,廠即/(X)在(0,口)上是增函數(shù).當.V.時,由:(x)=0,得x=-,e(O,+S).當x£(0>0J(x)單調(diào)遞增；aa當X£(_L,+s)時(x)<0,/U)單調(diào)遞減.8分a(III)當o=l時,f(xl)=ln(x-1)-e2,+s),令g(x)=In(x-l)-2x+5.x-x-2=(2x-l)(x-2)(1)2-10分當x>20寸,g攵(x)<0送(外在(2,y)單調(diào)遞減.又g(2)=0,所以g(x)時,g(

11、x)<0.即In(x-l)!一2x+5<0.x-1故當4=1,且xN2時,/(工一1)«2工一5成立.13分3解：(I)/x)=3x2-12ox+9«2=3(x-a)(x-3«)<0(1)當4=3.,即4=0時,/,(x)=3x2>0,不成立.(2)當.>3,即avO時,單調(diào)減區(qū)間為(3.,.).(3)當.<3.,即.>0時,單調(diào)減區(qū)間為(d3.)-5分(II)/V)=3/-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a),/(X)在(0m)上遞增,在(4,3.)上遞減,在(3,一)上送增.(1)當時,函數(shù)/*)在0,3上遞增,

12、所以函數(shù)/(x)在0,3上的最大值是f(3),假設對Vxw0,3有/0)«4恒成立,需要有解得.(2)當l<av3時,有“<343,此時函數(shù)/(x)在0,.上遞增,在3上遞減,所以函數(shù)f(x)在0,3上的最大值是/,假設對Vxe0,3有/(*)«4恒成立,需要有<解得4=1.(3)當4V1時,有3>3,此時函數(shù)/(x)在團,30上遞減,在3d3上遞增,所以函數(shù)/(幻在0,3上的最大值是f(a)或者是/(3).由/3)/(3)=5一3>(4.-3),時,f(a)<f(3),假設對Vxw0,3有/(x)K4恒成立,7.44,嚇3八3解得.1一

13、差,二0<a<-,94、43時,/(«)>/(3),假設對Txw0,3有/(x)K4恒成立,14分7"32/3需要有,3解得£(),綜上所述,ue1,1.二<.<1,49U4.解：(1)fx)=x2-2ax+a2.x=l是極值點:/'(I)=0,即a?-2a=0/.x=0或23分(2)在x+y3=0上./(1)=2.(1,2)在y=/'(x)上：.2=-a+a2-+bQ又廣(1)=攵=-1.1-2"+/一=一1."-2.+1=0.=1/=一./a)=#-x2+|,/v)=a-2-2x.84(i)由尸

14、(幻=0可知4.和42是/的極值點,:/(0)=J(2)=J(-2)=-4J(4)=8,./(%)在區(qū)間-2,4上的最大值為8.8分(ii)G(x)=(x2+mx+m)exGf(x)=(2x+m)ex-ex(x2+nix+m)=+(2-m)x令G'(x)=0,得x=0,x=2-?當?=2時,Gx)<0,此時G(x)在(s,+s)單調(diào)遞減當相>2時:X(-8,2,m)2m(2m,0)0(0,+8)G'(A-)0+0G(x)減.黨減當時G(x)在(一8,2,m)i(0,+°0)單調(diào)遞減,在(2m,0)單調(diào)遞增.當2V2時：X(8,0)0(.,2-m)2m(2m

15、+8)G'(A-)0+0G(x)減.黨減此時G(%)在(一8,0),(2hk+8)單調(diào)遞減,在(0,2m)單調(diào)遞增,綜上所述：當m=2時,G(x)在(-8,+oo)單調(diào)遞減：m>2時,G(%)在(-8,2m)»(0,+°0)單調(diào)遞減,在(2m,0)單調(diào)遞增；rm<2時,G(x)在(-8,0),(2m,+°0)單調(diào)遞減,在(0,2m)單調(diào)遞增.5 .解：函數(shù)/(x)=lnx+1的定義域為(0,+s)x3分心)_二=工A廠廠(1) V0,.-./'(a)>0.故函數(shù)在其定義域(0,+S)上是單調(diào)遞增的.5分(II)在1,e上,發(fā)如下情

16、況討論：當a<l時,函數(shù)/")單調(diào)遞增,其息小值為l)=avl,3這與函數(shù)在1,e上的最小值是二相矛盾；6分23當a=l時,函數(shù)/(x)在(l,e單調(diào)遞增,其最小值為/=1,同樣與最小值是二相矛盾；7分2當l<c/<e時,函數(shù)/(x)在卜".上有/'(x)0,單調(diào)遞減,在(,“上有/'a)>0,單調(diào)遞增,所以,函數(shù)/(X)滿足最小值為/3)=lna+l3由In.+1=二,得.=五,9分2當a=e時,函數(shù)/(x)在l,e)上有尸")<0,單調(diào)遞減,其最小值為f(e)=2,3還與最小值是二相矛盾；10分2當a>e時,

17、顯然函數(shù)/")在l,e上單調(diào)遞減,其最小值為/(e)=1+->2,e仍與最小值是二相矛盾：12分2綜上所述,a的值為J7.13分6 .(I)解：fr(x)=mx2+lax+(1-Z?2).3分(II)由于函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),所以/f(x)>0在R上恒成立,那么有VCCSfj=4/一4(1一2)K0,即/+<1.設?一(6為參數(shù),0rK1).b=rsin那么Z=.+人=r(cos+sin8)=V2rsin(+)4當sin2+巳)=-1,且=1時,z.=a+b取得最小值一V2.4(可用圓面的幾何意義解得Z=4+的最小值一72)8分(III)當?>0時fm)

18、=nix2+2x1是開口向上的拋物線,顯然廣«在(2,+8)上存在子區(qū)間使得廣*)>0,所以m的取值范圍是(0,+8).當機=0時,顯然成立.當?<0時,/'(?)=a2+2工一1是開口向下的拋物線,要使/'(x)在(2,+8)上存在子區(qū)間m<0->2,mm或,m<0,-<2,m"2)>0.1313解得一L«?<0,或二加一上,所以機的取值范圍是(一二,0).24243那么m的取值范圍是(一一,+8)13分42227.解：(1)當=2時,函數(shù)/(x)=2x21nx,/(l)=2-2-21nl=0/&#

19、39;(x)=2+二一xrx曲線/(X)在點(1J(1)處的切線的斜率為廣=2+22=2.1分從而曲線/a)在點(1J)處的切線方程為y-0=2(x1),即y=2x-2(2) f(x)=p+4-=.3分廠Xx令人")=/-2工+,要使/(x)在定義域(0,8)內(nèi)是增函數(shù)只需(x)20在(0,+8)內(nèi)恒成立4分由題意>0M(x)=px2-2x+p的圖象為開口向上的拋物線,對稱軸方程為x=-e(0,+s),P/(X)mE=,只需一,NO,即時,/2«>0,/)>0PP./(%)在NO,+8)內(nèi)為增函數(shù),正實數(shù)的取值范圍是6分(3) ,g(X)=在上是減函數(shù),二

20、X=4,時,g(X)mm=2；X=1時,8*濡=2.,X即g(x)e2,2e1分當<0時,/7(x)=pY2x+p其圖象為開口向下的拋物線,對稱軸x=,在y車的左側,P且人(0)<0,所以/(X)在/£1,6內(nèi)是減函數(shù).當=0時,在力")=-2工由于*010,2x所以h(x)<0,廣(x)=三<0.此時,/(X)在xehe內(nèi)是減函數(shù),廠故當<0時,/(%)在xel,e上單調(diào)遞減=/(幻皿、=/(1)=0<2,不合題意；當,0<<1時,由xel,eox-NO所以f(x)=/?(x-)-21nx<x"-21nx.X

21、XX又由(2)知當=1時,/(x)在xel,e上是增函數(shù),xL_21nxe121ne=e12v2,不合題意：11分xee當N1時,由(2)知/(x)在xwl,e上是增函數(shù),7(1)=0<2又g(x)在xwl,e上是減函數(shù),故只需小)皿>gCjyi而(e)=P(eT)-2h)C2即P(e-)-2ne>2,解得所以實數(shù)P的取值范圍是(一.+S)013分6一一18 .解：(I)方法一：2分設直線并設/與g(x)=x2相切于點M(工0,%)3分,*g'(x)=2x,2/=2(p-1)二%=-1,%=(p-1產(chǎn)代入直線/的方程,解得p=l或p=36分方法二：將直線方程/代入y=

22、/得2(_1)*-i)=o.=4(-1)?_8(-1)=0解得p=l或p=3.6分要使/(x)為單調(diào)增函數(shù),須/3二.在(0,+s)恒成立,2x2即至巨在(0,fs)恒成立,即P二二7在(0,48)恒成立,JT4-1X2又所以當21時,/(x)在(0,2)為單調(diào)增函數(shù)；9分x+X要使/(X)為單調(diào)減函數(shù),須/'3工0在(0,2)恒成立,2x2即/兄亡芻門中2：在(0,+8)恒成立,即/?_：Y缶(0,TYQ)恒成立,X+1,1X又一、0,所以當WO時,/(x)在(0,«冷)為單調(diào)減函數(shù)11分X+X綜上,假設/(x)在(0,T6)為單調(diào)函數(shù),那么的取值范圍為之1或WO12分所以

23、"(k)=x2+xna9 .解：(I)=x2-2x+lognx(x>0).2由于(x)在(0,+s)上是增函數(shù).所以工一2+.在(0,一)上恒成立1分xIna當x>0時,x2+!NOo-2x>i-.Wx2-2x=(xl)2-1在(0,)上的最小值是1.xlnahia于是一1NJ_,即14_L.(X)可見.>1(假設0v.I,那么_Lo.這與_Lzi矛盾)InaInaInaliia從而由(X)式即得InaWL4分riQ-、-1x2na-2xna+,小同時,hx)=x-2+=(x>0)xlnaxIna由人'(x)存在(正)零點知=(2Ina)4In&

24、gt;0,解得Ina,或Ina40(由于a>1,Ina>0,這是不可能的).由得In«=1.此時,(幻存在正零點x=1,故4=e即為所求6分注：沒有提到(驗證)lna=l時,"(x)存在正零點x=L不扣分.(II)由,g(x)=-X°)=L于是_L=g5)-g(?),x°=Z7分X.x0n-mInn-Inm以下證實?<“一".()Inn-Inm()等價于mhinmnm-n+m<08分構造函數(shù)r(x)=xIn-xInx-"+x(0<x<"),那么rx)=In-hix,當xe(0,)時,(不)

25、>0,所以“工)在(0,上為增函數(shù).因此當機v時,“加)v«)=0,即mnninInmn+m<0.從而x0>m得到證實.11分同理可證只一綜上,2<x0<n12分Inn-Inm注：沒有“綜上等字眼的結論,扣1分.10.解：(【)由a=0,/(x)Ng(x)可得即?1分nx記8=_匚,那么/(x)Ng(x)在(1,+8)上恒成立等價于機夕(XL.求得少(外=絲二12分Inxln'x當xe(l,e)時；°'(x)v0；當xe(e,)時,(px)>03分故(p(x)在x=e處取得極小值,也是最小值,即°(x)min=9

26、(e)=e,故?<e.4分(II)函數(shù)k(x)=/(x)/?")在1,3上恰有兩個不同的零點等價于方程x-21nx=a,在1,3上恰有2兩個相異實根.5分令g(x)=x21nx,那么屋*)=1二6分x當xel,2)時,g'(x)v0,當xe(2,3時,g'(a)>0/.g<x)在1,2上是單調(diào)遞減函數(shù),在(2,3上是單調(diào)遞增函數(shù).故g(x)mE=g(2)=221n2-8分又g(1)=1,g(3)=3-21n3Vg(1)>g(3),工只需g(2)<a<g(3),故a的取值范圍是(2-21n2,3-2M3)9分(HI)存在n】=L,使得

27、函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性.2/V)min=2.y-=2V-/?/,函數(shù)f(X)的定義域為(0,+oo).10分XX假設"TO,那么/(x)'N.,函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,不合題意：11分假設"7>0,由f(x)'>0可得2x2-m>0,解得x>患或x<-患(舍去)故"?>0時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(g,+00)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,患)12分而h(X)在(0,+00)上的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(L,+00)22故只需聘=；,解之得13分即當m=L時,

28、函數(shù)f(X)和函數(shù)h(x)在其公共定義域上具有相同的單調(diào)性.一74分.211.W：(I)由于(")=(/-3工+3)"+(2工-3),=x(x-l)"1分由/"00=工>1或"0；由廣(外0=0工<1,所以f(%)在(7,0),(L*O)上遞增,在(0,1)上遞減3分欲/“)在-2用上為單調(diào)函數(shù),那么-2<Y04分(II)證：由于/")在(yo,0),(L+oo)上遞增,在(0,1)上遞減,所以/1)在=1處取得極小值e1Q乂/.(-2)=<e,所以幻在-2,yo上的最小值沏.(-2)e從而當f>一淵J(

29、-2)</'(f),即v7分(III)證：由于=所以上叱=4-1)2,即為Y；/=3(/一1)2,e'°e'°3397令g(X)=/7一二1)2,從而問題轉(zhuǎn)化為證實方程8二/一工一二(1)2=0在(-2")上有解,并討論解的個數(shù)9分2?21由于g(2)=6二(,_1)2=_二(,+2)«_4)送(/)=(_1)_三("1)2=_«+2)("1),所以當/>4或一2v/v時,g(-2)g(t)<0,所以g(x)=0在(一2,/)上有解,且只有一解11分2當1vf<如寸,g(-2)

30、>0且g(f)>0,但由于g(0)=-一1尸v0,所以g(x)=.在(-2,1)上有解,且有兩解當t=1時,g(x)=/一x=0=x=OsJcx=1,所以g(x)=.在(一2")上有且只有一解:當f=41時,g(x)=x?-x-6=0=x=-2或=3,所以g(x)=O在(-2,4)上也只有一解13分綜上所述,對于任意的"-2,總存在x°e(-2,)滿足4二)?,e03且當,之4或-2<Y1時,有唯一的與適合題意；12.解：(1),")=2八一;依題意/'(x)>0,xe(l,2,即a<2,e(l,2.X,上式恒成立,

31、a«21分又g'(x)=1-',依題意g'(x)<O.x£(O.l),即a>2>x,xe(0.1).:上式恒成立,a>2.2分2y/x由得a=2.3分f(x)=x2-2In羽g(x)=x-2yx.4分(2)由(1)可知,方程/(x)=g(x)+2,即一一21nx-x+25/7-2=0.91設h(x)=x2-2nx-x+2yfx-2,那么"(x)=2x二一1+.xJx令'(x)>0,并由x0,得(«-1)(24/+2刀+4+2)>0,解知工>1.5分令1(X)<0,由x>

32、0,解得0<xvl.6分列表分析：X(0,1)1(1,+8)hx)01心)遞減0遞增可知h(x)在x=1處有一個最小值0,7分當x>OlLv*1時,h(x)>0,:.力(x)=0在(0,+00)上只有一個解.即當x>0時,方程f(x)=g(x)+2有唯一解.8分、122(3)設*(x)=/一21nx2/次+=那么9(x)=2x-二一處一二v0,9分rXX：.叭訃在(0,1為減函數(shù)/.奴x)1nm=(l)=l-2Z?+l>0又b>l11分所以：-1441為所求范圍.12分13 .解：(1)./(0)=0,/'(幻=./一工+6'%'(1

33、)=0,有.+.=,22/r(x)>0在/?上恒成立即./一Lx+c20恒成立即4/2_Lx+,一20恒成立222顯然a=.時,上式不能恒成立aW0,函數(shù)/"(X)=/一x+1-a是二次函數(shù)22由于對一切X£凡都有了'W工.,于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得a>0,即<214_1vrr2164>0,(a-)2<04解得(2) va=c=.：.=x2-X+-.,二由/'(x)+"(x)v°,即一x4L+<.4424即x2-(b+1)%+-<0,即(x-b)(x-l)<0222當b>1時,解集為(：向,當bvJ時解集為(6,；),當/2=:時,解集為夕.乙乙乙乙乙(3) ；“=c=J,/./'(%)=LX2_LX+L：.g(x)=f'(x)-m.x=；/-(；+m)x+；.該函數(shù)圖象開口向上,且對稱軸為x=2"?+l.假設存在實數(shù)m使函數(shù)g(x)=f,(x)-mx=x2一(!+"7)工+區(qū)間2.7+2上有最小值一5424當m<-1時2+1