序列的收斂性與子序列的收斂性

1、序列的收斂性與子序列的收斂性摘要：本文研究序列的收斂性與子序列的收斂性之間的關(guān)系情況，分析和推導(dǎo)Bolzano-Welerstrass定理和一些結(jié)論，得出序列和子序列的收斂的幾種判定方法并應(yīng)用于控制收斂定理的一個(gè)重要推廣，這對(duì)于我們進(jìn)一步了解序列與子序列之間的關(guān)系有著一定的意義。關(guān)鍵詞：序列；子序列；收斂；極限1引言在數(shù)學(xué)分析里，對(duì)于序列的研究主要是極限問(wèn)題，但沒(méi)有較系統(tǒng)地討論序列的收斂性與子序列的收斂性的關(guān)系；本文主要分析序列與子序列之間的關(guān)系，從中得出一些定理和結(jié)論，這對(duì)于我們對(duì)序列收斂性判定和研究序列與子序列間的關(guān)系具有很大的幫助。2序列和子序列的定義及其相互關(guān)系2.1序列和子序列的定義

2、定義：若函數(shù)f的定義域?yàn)檎麄€(gè)全體正整數(shù)集合N+，則稱f:N+TR或f(n)nWN+為序列。因?yàn)檎麛?shù)集合N+的元素可按照由大到小的順序排列，故序列f(n)也可以寫為1,a2,a3,a4,n,a,或者簡(jiǎn)單地記為4,其中an稱為該序列的通項(xiàng)。序列可分為有界序列，無(wú)界序列，單調(diào)序列，常序列或周期序列等。從序列an中將其項(xiàng)抽出無(wú)窮多項(xiàng)來(lái)，按照它們?cè)谠瓉?lái)序列中的順序排成一列：an,an,，an,又得一個(gè)新n17n2nk7的序列。為),稱為原來(lái)序列的子序列。易見(jiàn)anj中的第k項(xiàng)是an中的第nk項(xiàng)，所以總有、Ak,事實(shí)上為本身也是Gn的一個(gè)子序列，且是一個(gè)最大的子序列(nk=k時(shí))。2.2序列與子序列之間的

3、若干關(guān)系定理1(Bolzano-Welerstrass):若序列an有界，則必存在收斂子序列ank,若序列an無(wú)界，則必存在子序列ank,使ankT8(或ankT-8).證明：(1)不妨設(shè)an中有無(wú)限多個(gè)不同的項(xiàng)，否則結(jié)論顯然成立.用有限覆蓋定理(見(jiàn)注釋)來(lái)證明結(jié)論.設(shè)序列an為一有界序列，則存在m,M,使m_an_Mn=1,2,下面先證明在m,M中存在一點(diǎn)c,使該點(diǎn)任一鄰域內(nèi)有an中的無(wú)窮多項(xiàng).用反證法，若此斷言不成立，則對(duì)任意awmM都存在一鄰域(a-篦田+露)，露o0在此鄰域內(nèi)它有小中的有限項(xiàng)，A=(a-需且十瓦),awh,MD構(gòu)成Im,M】的一開(kāi)區(qū)間覆蓋.由有限覆蓋定理，存在有限子覆蓋

4、，即存在aj1j=1,2，k),使k1m,M1a；-、a*,a；、a*jmjjk依反證假設(shè)，U(a*-6a*,a；)中至多含有小的有限項(xiàng)與j1jjm<a-M好2)矛盾.據(jù)以上證明，存在anw(c-1,c+1),又在1c-1,c+1中，存在一項(xiàng)a%使出>»,否則與c的任何鄰域中有4的無(wú)窮項(xiàng)矛盾，同樣我們可以在1c-1,c+1中找到一項(xiàng)an,使n3>n2A在c-1,c+1中找到一項(xiàng)an使333.kkk、下、4A，最終得到一個(gè)序列心為滿足：(i)、熊是4的子序列(ii)1ank一C<k于是，由（i）和（ii）知，ank是an的收斂子序列.（2）另外對(duì)于無(wú)界序列4,則

5、可以利用序列無(wú)界定義，類似（1）后面一部分可以證明出存在子序列；an.nk例1：對(duì)于有界序列（-1，它存在子序列（-if收斂于1,當(dāng)kT.例2:對(duì)于無(wú)界序列；n）,它的一切子序列都發(fā)散到二.以上是關(guān)于序列與其子序列在序列有界和無(wú)界的情況下進(jìn)行的關(guān)系探討，進(jìn)一步對(duì)于單調(diào)有界序列分析，我們有如下定理：定理2：若%為單調(diào)有界序列，就為4的一個(gè)子序列，且有kTa,（kts）則有anTa（nT心）.證明：由于an是單調(diào)有界序列，可根據(jù)序列單調(diào)有界定理（見(jiàn)注釋）知道，an收斂，而liman存在，現(xiàn)假設(shè)記為b,即m4=b,由定義，對(duì)寸©>0,3N1,n：nj使當(dāng)nAN1時(shí)候，有zan-b&l

6、t;2由于Qk是Ln）的子序列，且ankTa（kT8）,故對(duì)上述s>0,3N2>0,使當(dāng)nk>k>N2時(shí)，就有Zank-a一k2又取N=maxN1,N2,當(dāng)k>N時(shí)，就有nk>N2,于是有：zank-b<2由ba=b-annkzz+ank-a<b-ank+anka=ank_b'+ank_a+_=s122即有a=b成立，所以liman=a成立.x例3設(shè)序列.=2+J2+J2+二十整,azJ為4的一個(gè)子序列且有a2kt2,(kTi),則有an?2(njs).3序列與子序列的三個(gè)定理定理3:序列4收斂于a的充要條件是它的任何子序列4也都收斂于同

7、一個(gè)極限a.證明：依題意，設(shè)lim%=a,改拆為%的一個(gè)子序列，于是對(duì)于任給的n,二/k/s>0,存在N,使得n>N當(dāng)時(shí)就有xn-a<&,因?yàn)閎n1是xn的子序列，故有nk'k,所以當(dāng)k>N時(shí)，nk>N,從而有：Xnk-a<8按照序列極限定義知nm，Xn=a,即%)收斂且與4的極限相同.反之若序列凡的任一子序列都收斂，且有相同的極限a,因?yàn)?本身為自己的一個(gè)子序列，所以有l(wèi)imXn=a.n_：-.：定理4：序列QJ收斂的充要條件是奇子序列a2k,與偶子序列a2k都收斂，且它們的極限相等.證明：根據(jù)定理3,序列an的奇子序列a2k,與偶子序列a

8、2kL且它們的極限相等.設(shè)!ima2k=ima2k=a.根據(jù)序列極限的定義，即kk_但k1wN,V2k-1Ak1,有a2ka<z.V®>0j_尸2wN,V2kAk2，有a2k-a<®.劫=maxk1,k2).于是，Vn>N,有an-a<"即"man=a.(證畢)定理5:若序列4收斂于a的充要條件是4的任一子序列晨-中必有子序列“,使得xnkta(kts).證明：由定理3我們可以知道：若序歹I4收斂于a，則它的任何子序列xnk也都收斂于同一個(gè)極限a,由題意必要性得證.已知序列4的任一子序列xn中必有子序列5，使得XnkTa(k

9、Tg),則由定理3有Xnkta(kT6).用反證法，假設(shè)limXn¥a則必然存在/A0,對(duì)于任意自然數(shù)N,都有X二0n>0時(shí)，有Xno-a|>&0當(dāng)N=1時(shí)，ni>1,使瓜a|之®0當(dāng)N=r時(shí)，有ran2,使Xn2-a之劭當(dāng)N時(shí)，有1>，使Xnk-a之加由此可以得到%的一個(gè)子序列Xn,它的每一項(xiàng)Xn都滿足Xn-a之加，nknkk故&nk)不收斂于a,且Xnk中不存在收斂于a的子序列，這與已知矛盾，因此limXn=a成立。n_4序列與子序列定理的應(yīng)用定理3的應(yīng)用利用定理3,可以用來(lái)判定一個(gè)序列不收斂的情況.即若對(duì)一個(gè)序列4,可以找到兩個(gè)

10、不可能有相同極限的子序列4和匕則有小必發(fā)散。nknk例4證明(sinn發(fā)散。證明：因下述兩區(qū)間長(zhǎng)度均大于1,故必存在自然數(shù)nk和nk滿足：'3；l"nkwi2kn+,2kn+,nkw(2k+1再，(2k+2JnIL44-''“"'2-'顯然叫<n2b，及n<n2c，且sinnk至匚，sinnk<0,因此，sinnJ和2sinn；是兩個(gè)不可能有相同極限的子序列，這證明了sinn發(fā)散.定理5的應(yīng)用應(yīng)用定理5,可以判斷一個(gè)序列收斂。例5(控制收斂定理的推廣)設(shè)X為一隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(X),又設(shè)隨機(jī)變量序列fn(xj

11、!滿足fn(xj<g(x),n>1,g(x)dF(x)<8且fn(x)Jf(x),則有Rlimfn(xJdF(x)=Jf(x)dF(x)成立.n：RR引理1：設(shè)(fn)及f均為實(shí)值可測(cè)函數(shù)，且fn-Af,(nT8)則存在子序列(L),使fnk一絲Tf,(nT9).引理2(控制收斂定理):設(shè)X為一隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(x),若隨機(jī)變量序列fn(x)滿足以下成立：fn(x，Wg(x),n>1,g(x)dF(x)<8,且3)一事f(x),則有RlimJfn(x)dF(x)=ff(x)dF(x).(見(jiàn)注釋)n-RR證明：由fn(x)-Jf(x)知，對(duì)fn的任一子序列fn均有fn'(x)-p)f)x.由引理1,必存在fn'的子序列fnj,使得fnk(x)aeTf(x).于是用引理2就有l(wèi)im.fnkxdFx=fxdFx.kl_kRR由于子序列fn的任意性，上式說(shuō)明：序列“fn(x)dRx>的任一子序列.Rf1fn(x)dF(x”均收斂于ff(x)dF(x),故由定理5知：.RRnim.fnxdFX=fxdFx.'-RR證畢.參考文獻(xiàn)：李成章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析（