人教版高中數(shù)學(xué)選修（4-5）-4.1《數(shù)學(xué)歸納法》參考課件

1、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 對(duì)于一些與無(wú)限多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的命題對(duì)于一些與無(wú)限多個(gè)正整數(shù)相關(guān)的命題, ,如果不如果不易用以前學(xué)習(xí)過(guò)的方法證明易用以前學(xué)習(xí)過(guò)的方法證明, ,用數(shù)學(xué)歸納法可能會(huì)收用數(shù)學(xué)歸納法可能會(huì)收到較好的效果到較好的效果. .), 1(1x)(1 )5,(2n )(sinsinn :n2 NnxnxnNnNnnn 例例如如什么是數(shù)學(xué)歸納法什么是數(shù)學(xué)歸納法 ? ? 一般地一般地, ,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n n0 0的所有正整數(shù)的所有正整數(shù)n n都成立時(shí)都成立時(shí), ,可以用以下兩個(gè)步驟可以用以下兩個(gè)步驟: : (1) (1)證明當(dāng)證明當(dāng)n=nn

2、=n0 0時(shí)命題成立時(shí)命題成立; ; (2) (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k n=k 時(shí)命題成立時(shí)命題成立, ,證證明明n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立. . 在完成了這兩個(gè)步驟后在完成了這兩個(gè)步驟后, ,就可以斷定命題對(duì)于不就可以斷定命題對(duì)于不小于小于n n0 0的所有正整數(shù)都成立的所有正整數(shù)都成立. .這種證明方法稱為這種證明方法稱為數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法歸納法. .),(0nkNk 且且 用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí), ,要分兩個(gè)步驟要分兩個(gè)步驟, ,兩者缺一不可兩者缺一不可. . (1) (1)證明了第一步證明了第一步, ,就獲得了遞推的基礎(chǔ)就獲得了遞推的基礎(chǔ), ,但僅靠這一步還

3、不但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的正確性能說(shuō)明結(jié)論的正確性. . 在這一步中在這一步中, ,只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了了, ,沒(méi)有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立沒(méi)有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立. . (2) (2)證明了第二步證明了第二步, ,就獲得了推理的依據(jù)就獲得了推理的依據(jù). .僅有第二步而沒(méi)有僅有第二步而沒(méi)有第一步第一步, ,則失去了遞推的基礎(chǔ)則失去了遞推的基礎(chǔ); ;而只有第一步而沒(méi)有第二步而只有第一步而沒(méi)有第二步, ,就可就可能得出不正確的結(jié)論能得出不正確的結(jié)論, ,因?yàn)閱慰康谝徊揭驗(yàn)閱慰康谝徊? ,我們無(wú)法遞推下去我們無(wú)法遞推下去,

4、 ,所以所以我們無(wú)法判斷命題對(duì)我們無(wú)法判斷命題對(duì)n n0 0+1,n+1,n0 0+2,+2,是否正確是否正確. . 在第二步中在第二步中,n=k,n=k命題成立命題成立, ,可以作為條件加以運(yùn)用可以作為條件加以運(yùn)用, ,而而n=k+1n=k+1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件, ,公理公理, ,定理定理, ,定義加以證明定義加以證明. .完成一完成一, ,二步后二步后, ,最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論. ._97531_;7531_531_;31.,)12()1(531, 并并加加以以證證明明的的結(jié)結(jié)果果猜猜想想出出通通過(guò)過(guò)計(jì)計(jì)算算下下面面

5、的的式式子子nn, 5, 4 , 3, 2: 別別是是上上面面四四個(gè)個(gè)式式子子的的結(jié)結(jié)果果分分解解nnnn) 1() 12() 1(531: 由由此此猜猜想想:下面用數(shù)學(xué)歸納法證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明., 1,1)1(即即這這時(shí)時(shí)等等式式成成立立式式子子左左右右兩兩邊邊都都等等于于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)即即時(shí)時(shí)等等式式成成立立假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)1) 1() 12() 1(531,) 1()2( knkkkknkk一一. .用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題.6)(5n: 13整整除除能能夠夠被被證證明明例例 Nnn.,665,1)1(:3命題成立命題成立整除整除顯然能夠被顯然能夠被時(shí)時(shí)當(dāng)

6、當(dāng)證明證明 nnn,1.65,)1()2(3時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)整整除除能能夠夠被被即即命命題題成成立立時(shí)時(shí)假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng) knkkkkn6)1(3)5(k 55133)1(5)1(3233 kkkkkkkkk.6)(5,)2(),1(.1,6)1(5)1(,6)1(3,)1(,65333整整除除能能夠夠被被即即命命題題對(duì)對(duì)一一切切正正整整數(shù)數(shù)成成立立知知由由時(shí)時(shí)命命題題成成立立當(dāng)當(dāng)因因此此整整除除能能夠夠被被從從而而整整除除能能夠夠被被故故是是偶偶數(shù)數(shù)而而整整除除能能夠夠被被由由假假設(shè)設(shè)知知 Nnnnknkkkkkkkk 特別提示特別提示: : 數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)一湊假

7、設(shè), ,二湊結(jié)二湊結(jié)論論”, ,在證題的過(guò)程中在證題的過(guò)程中, ,歸納推理一定要起到條件的作歸納推理一定要起到條件的作用用, ,即證明即證明n=k+1n=k+1成立時(shí)必須用到歸納遞推這一條件成立時(shí)必須用到歸納遞推這一條件. .課堂練習(xí)課堂練習(xí): :322121 . aaC.1 aB.1 A.1) (,1)1(1:. 1aaaDnaaaan 左左端端計(jì)計(jì)算算所所得得的的項(xiàng)項(xiàng)為為時(shí)時(shí)在在驗(yàn)驗(yàn)證證用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明C12 . 12 . 2 . A.2) ( ,1),1,(12131211:. 21-k kkknDCBkknNnn左端增加的項(xiàng)數(shù)是左端增加的項(xiàng)數(shù)是到到第二步證明從第二步證明

8、從用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明B3.( ),2,( )2,( )A.p(n) B.p(n)C.p(n) D.p(n)1p nnknkp nnnnnn如果命題對(duì)成立 則它對(duì)亦成立又若對(duì)成立 則下列結(jié)論正確的是對(duì)所有正整數(shù) 成立對(duì)所有偶正整數(shù) 成立對(duì)所有奇正整數(shù) 成立對(duì)所有比 大的自然數(shù) 成立B4.,(),1,5,( )A.6 B.6C.4 D.4nnk kNnknnnnn某個(gè)命題與自然數(shù) 有關(guān) 若時(shí) 該命題成立 那么可推得時(shí)該命題也成立 現(xiàn)在已知當(dāng)時(shí) 該命題不成立 那么可推得當(dāng)時(shí)該命題不成立當(dāng)時(shí)該命題成立當(dāng)時(shí)該命題不成立當(dāng)時(shí)該命題成立CD.10 C.9 B.8 A.7) (,64127214

9、1211. 51起起始始值值至至少少就就應(yīng)應(yīng)取取為為成成立立式式用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明不不等等 nB題題成成立立證證明明命命為為正正奇奇數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)命命題題成成立立證證明明假假設(shè)設(shè)成成立立證證明明命命題題為為正正奇奇數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)命命題題成成立立證證明明假假設(shè)設(shè)正正確確的的證證法法是是在在第第二二步步時(shí)時(shí)整整除除能能被被是是正正奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明2, )(D.1),(12C.1, )(B.1),(A.) (,. 6 knkknknNkknknkknknNkknyxyxnnnD132. 1k12kC. 1)B.2(2k 1A.2k) (1)().12(312

10、)()2)(1(. 7 kkDkkNnnnnnnn左左端端需需增增乘乘的的代代數(shù)數(shù)式式是是到到從從用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明B )34)(1()12(2)2()12()5443()3221(:. 8222222 nnnnnnn用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.?2)()()()1()2()1()(,131211)(. 9并并證證明明結(jié)結(jié)論論的的一一切切自自然然數(shù)數(shù)成成立立對(duì)對(duì)使使等等式式是是否否存存在在設(shè)設(shè) nngnfngnfffngnnf二二. .用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題.?,)3(. 2,證證明明你你的的結(jié)結(jié)論論共共有有多多少少條條這這樣樣的的直直線線直直線線

11、過(guò)過(guò)這這些些點(diǎn)點(diǎn)中中任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)作作同同一一條條直直線線上上其其中中任任何何三三點(diǎn)點(diǎn)都都不不在在個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)平平面面上上有有例例 nNnn特別提示特別提示: : 用數(shù)學(xué)歸納法證幾何問(wèn)題用數(shù)學(xué)歸納法證幾何問(wèn)題, ,應(yīng)特別注意語(yǔ)言敘述正應(yīng)特別注意語(yǔ)言敘述正確確, ,清楚清楚, ,一定要講清從一定要講清從n=kn=k到到n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), ,新增加量是多少新增加量是多少. .一般地一般地, ,證明第二步常用的方法是加一法證明第二步常用的方法是加一法, ,即在原來(lái)的即在原來(lái)的基礎(chǔ)上基礎(chǔ)上, ,再增加一個(gè)再增加一個(gè), ,也可以從也可以從k+1k+1個(gè)中分出一個(gè)來(lái)個(gè)中分出一個(gè)來(lái), ,剩剩下的下的k

12、 k個(gè)利用假設(shè)個(gè)利用假設(shè). .504.15:?.Pn習(xí)題第 題 凸 邊形有多少條對(duì)角線 證明你的結(jié)論下面用數(shù)學(xué)歸納法證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明凸邊形的對(duì)角線條數(shù)凸邊形的對(duì)角線條數(shù)解解).3)(3(21)(: nnnnfn.,. 0)33(321)3(,3)1(命命題題成成立立而而三三角角形形沒(méi)沒(méi)有有對(duì)對(duì)角角線線時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) fn11)2(,1,1).3)(3(21)(,)2(111 kkAAkAAkkknkkkkfkknkkk增加的對(duì)角線條數(shù)為增加的對(duì)角線條數(shù)為邊形的一邊邊形的一邊原原不相鄰頂點(diǎn)連線再加上不相鄰頂點(diǎn)連線再加上與與點(diǎn)點(diǎn)增加的對(duì)角線條數(shù)是頂增加的對(duì)角線條數(shù)是頂增加了一個(gè)頂點(diǎn)增加了一個(gè)頂點(diǎn)

13、增加了一邊增加了一邊邊形的基礎(chǔ)上邊形的基礎(chǔ)上邊形是在邊形是在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)邊形的對(duì)角線的條數(shù)邊形的對(duì)角線的條數(shù)即凸即凸時(shí)命題成立時(shí)命題成立假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) .3,)2(),1(,13)1()1(21)2)(1(21 )2(211)3(21)1(2命命題題成成立立可可知知對(duì)對(duì)任任何何由由命命題題成成立立時(shí)時(shí)故故 nNnknkkkkkkkkkkf504.16:,?Pn習(xí)題第 題 平面上有 條直線 其中任意兩條都相交任意三條不共點(diǎn) 這些直線把平面分成多少個(gè)區(qū)域 證明你的結(jié)論22:( )2nnnf n解 這樣的 條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)目為下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)1,(1)2,1.nfn當(dāng)時(shí) 一條直線將平面分

14、成兩部分時(shí)命題成立22(2)(),( ),21,1,1,1.kknk kNf knkkkkkkk假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立 即有當(dāng)時(shí) 第條直線與前面 條直線有 個(gè)不同交點(diǎn)即它被前面 條直線截成段 其中每一段都把它所在的原區(qū)域一分為二 也即使原區(qū)域數(shù)目增加2222(1)( )112k34(1)(1)2 221,(1)(2),kkf kf kkkkkknkn 故當(dāng)時(shí) 命題成立由可知 對(duì)任意正整數(shù)命題成立補(bǔ)充練習(xí)：補(bǔ)充練習(xí)：.2)(:,2個(gè)個(gè)部部分分個(gè)個(gè)圓圓把把平平面面分分成成這這求求證證不不相相交交于于同同一一點(diǎn)點(diǎn)并并且且每每三三個(gè)個(gè)圓圓都都兩兩點(diǎn)點(diǎn)其其中中每每?jī)蓛蓚€(gè)個(gè)圓圓都都相相交交于于個(gè)個(gè)圓圓有有 nnnfnn命命題題成成立立時(shí)時(shí)又又個(gè)個(gè)部部分分即即一一個(gè)個(gè)圓圓把把平平面面分