圓錐曲線的切線

1、圓錐曲線的切線問(wèn)題“方向比努力更重要 ！對(duì)于圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的考查，歷來(lái)都是比擬綜合的。這類題往往集函數(shù)、方程、向量、不等式等知識(shí)點(diǎn)于一體。 有變量多，關(guān)系復(fù)雜，運(yùn)算量大，思維量大等特點(diǎn)。雖說(shuō)“條 條大路通羅馬，但如果解題方向不對(duì)，方法笨重，不僅耗時(shí)費(fèi)力，問(wèn)題得不到解決，而且 極容易打擊自己的自信心。 所以方法的選擇尤為重要， 這就要求我們通過(guò)解一題探索出解一 類題的萬(wàn)用方法。下面通過(guò)五個(gè)題，簡(jiǎn)單介紹一下處理“過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)作圓錐曲線的兩條切線為了方便，簡(jiǎn)稱為圓錐曲線的雙切線問(wèn)題的比擬實(shí)用的兩種方法。例1、 2022廣東卷拋物線 C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F 0,C C 0至煩線l :

2、x y 2 0的距離為.設(shè)P為直線I上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線2PA, PB ,其中A,B為切點(diǎn).(I )求拋物線C的方程;(n )當(dāng)點(diǎn)P X0,y。為直線I上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程;(川)當(dāng)點(diǎn)P在直線I上移動(dòng)時(shí)，求AF BF的最小值徑：一是切線用P點(diǎn)表示，聯(lián)立切線與拋物線 方程思想；二是切線用切點(diǎn) A、B表示函數(shù)思想。再看拋物線方程很容易轉(zhuǎn)化為函數(shù)，且直線AB與切點(diǎn)A、B息息相關(guān)，所以此題用切點(diǎn)表示切線更為方便快捷!解：(1) x2 4y .2 1 2(n )拋物線C的方程為x2 4y,即y x2,求導(dǎo)得y4設(shè) A Xi,% , B X2,y2其中 y2X2-),那么切線PA,

3、PB的斜率分別為41 i、Xi , X2 ,所以切線PA的方程為y yi2 2XiX 2y 2yi o同理可得切線PB的方程為x?xXl X22yXi2y2因?yàn)榍芯€PA, PB均過(guò)點(diǎn)P Xo,yo ,所以XiXo2yo2yi0,屜Xo2yo2Xi2y2yi ,即所以 Xi, yi , X2,y2 為方程 XoX 2y° 2y所以直線AB的方程為xox 2y 2yo 0.(川)由拋物線定義可知o的兩組解AFyi 1, BFy2 i,所以AF BFyii y2 iyiy2yiy2ixox 2y 2yo o聯(lián)立方程 2,消去x整理得X2 4y由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得2yo2Xoyo

4、2o所以又點(diǎn)所以AF BFP Xo,yo2yo2Xoyi y2yiy2在直線I上，所以Xo2yo所以當(dāng)yo練習(xí)i、橢圓22xy2.2abyiy2iyo2yo2,2Xo2Xo2yo, yi y2yo2i 2yo 2yo 5 2 y°AF BF取得最小值，且最小值為i (a* b* o)的一個(gè)焦點(diǎn)為F為i,o ,2yo橢圓的短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形i求橢圓方程2Q xo,yo丨是橢圓上任一點(diǎn)，求以Q點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程3設(shè)P是直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P作橢圓的兩切線 PA PB 求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。2 2工匕143色坐143設(shè)P(4,t),切點(diǎn)A(Xi,

5、yi),B(X2, y2),那么以A、B為切點(diǎn)的橢圓的切線方程分別為： 空+紅=1,込+堂=1,又p點(diǎn)在兩切線上，所以：4343藥+址=1,坐+地=1所以直線AB的方程為：4343魚(yú)+如=1即:丄y (X 1)，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(1, o)433練習(xí)2、A B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓E焦點(diǎn)在X軸上的三點(diǎn)，點(diǎn) A是長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O,且AC BC o, BC2 AC1求橢圓E的方程2在橢圓E上是否存2 2在Q使得QB QA 2?假設(shè)存在，有幾個(gè)不必求出 Q的坐標(biāo)3、過(guò)橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn) P作圓O: x2 y2 4的兩切線，切點(diǎn)分別為 M N,假設(shè)直線MN在31 1x軸、y軸上

6、的截距分別為 m n,求證： 2 為定值。3m n分析:第(2)問(wèn)用化歸思想，解決這題的關(guān)鍵要理清 Q點(diǎn)的來(lái)源，一是來(lái)源于橢圓，二是來(lái)源2于QB2QA2?，這個(gè)式子表示的什么曲線弄清楚了，問(wèn)題就解決了。問(wèn)題實(shí)際轉(zhuǎn)化為橢圓與某曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。對(duì)于第問(wèn)，關(guān)于圓的問(wèn)題，用幾何法是往往是最簡(jiǎn)潔的。2(吟3(2)兩個(gè)法一：設(shè)P(x0,y0),M (x1,y1)> N(x2, y2),那么以M、N為切點(diǎn)的圓的切線方程分別為:4xx1 yy1= ，XX2 yy231,又P點(diǎn)在兩切線上，所以:4Wo 屮* 3必滄 y2y°法二：設(shè)P(x0, y0),由題意:44,所以直線 MN方程為：x0x

7、+ y0y 33M、N、0、P四點(diǎn)共圓，且以O(shè)P為直徑，其方程為(x-Xo)x (y yo)y 0,即：2 x2yXX。 yy。0,有M、N在圓x2XX0yy。Z令y0,那么m ;令x33x0221,所以12!3 (定值)y。443mn43y2-上，所以直線MN的方程為：30,那么門(mén)=丄,又P ( x0, y0)在橢圓上，所以:3y027 1(a b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)為C、5,0)，離心率b2 x 例2: (2022廣東卷)、橢圓C：- a1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;2假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn) P的軌跡方程分析：這題同樣是研究圓錐曲線雙切線問(wèn)題，但與

8、上面幾個(gè)題又有所不同，上面幾個(gè)題側(cè)重于兩切點(diǎn)的關(guān)系，且后續(xù)局部是研究由兩切點(diǎn)產(chǎn)生的直線問(wèn)題。而此題更側(cè)重于兩切線的關(guān)系，討論的是兩垂直切線的交點(diǎn)問(wèn)題，所以再用上面的方法就不太好操作了。我們還是順從呢？你懂的2當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)P(xo,y°)點(diǎn)的切線為y y° k xXoy yo k x聯(lián)立 22x y94X。消去4 9k218k yo kxo x 9 y°2kxo36 0判別式 =182k2yokxo36 4 9k2yo2kxo4化簡(jiǎn)得yo kxo9k22 o，即Xo9 k22x°yok2yo4依題意得k1 k2yQ 4x 9當(dāng)兩條切線的斜率

9、有一條不存在時(shí)，結(jié)合圖像得P是直線x3,x3,y2,y的四個(gè)交點(diǎn)，也滿足xo y； 13，故點(diǎn)P的軌跡方程為x2y2 132x 練習(xí)、如圖6，設(shè)點(diǎn)Fd c,o、F2c,0分別是橢圓c ：-ya Pf1 Pf2最小值為1(a的左、右焦點(diǎn)，p為橢圓c上任意一點(diǎn)，且1求橢圓C的方程；2假設(shè)動(dòng)直線l1,l2均與橢圓C相切,且I1 / l 2，試探究在1)x軸上是圖6否存在定點(diǎn)B，點(diǎn)B到l1,l2的距離之積恒為1 ?假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn) B坐標(biāo);假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：這個(gè)題第2丨問(wèn)似乎比高考題更為復(fù)雜，兩切線不是相交，而是平行，還得考慮特殊情形：重合。而且參數(shù)多，參數(shù)之間的關(guān)系不是一兩句話就能說(shuō)清

10、楚的別急，套路就是出路，選好參數(shù)，設(shè)出方程，聯(lián)立方程，尋找關(guān)系，消參按套路來(lái)，準(zhǔn)沒(méi)錯(cuò)！2解：1 y2122【當(dāng)直線l1 ,l2斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y kx m, y kx n把l1的方程代入橢圓方程得 1 2k2x2 4mkx 2m2 2 0直線 li與橢圓 C 相切，16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) 0 ,化簡(jiǎn)得m2 1 2k2 同理，n21 2k2 m2 n2，假設(shè) m n，那么 1仆12重合，不合題意， m n設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B(t,0)，點(diǎn)B到直線l1,12的距離之積為1,那么|kf | |k m| 1，即 |k2t2 m21 k21.k 1, k 1把1 2k2 m2代入并去絕對(duì)值整理，k2(t2 3) 2或者k2(t2 1