高三圓錐曲線知識點(diǎn)總結(jié)

1、第八章?圓錐曲線?專題復(fù)習(xí)一、橢圓方程.1 .橢圓的第一定義：PF1寸PF2=2a>F1F2方程為橢圓,PFi寸PF2=2aYFiF2無軌跡,PF11PF2=2a=F1F2以F1,F2為端點(diǎn)的線段2 .橢圓的方程形式：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在X軸上：q+=iaAbM0.ii.中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上:22=1的參數(shù)方程為一N的軌跡是橢圓2a,短軸長2b.一般方程：Ax24By2=1A>0,B>0.橢圓的參數(shù)方程：xy+與abX=a8s°象限日應(yīng)是屬于0-.y=bsin62注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得Nacos8,bsineT方程的軌跡為橢圓.3.橢圓的

2、性質(zhì)：頂點(diǎn)：±a,00,1b或0,1a±b,0.軸：對稱軸：x軸,y軸；長軸長2焦點(diǎn)：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c).焦距：F1F2I=2c,c=Ja2-b2.準(zhǔn)線：x=±a-或c2y=±.離心率：e0yF.焦半徑：ca22i .設(shè)Px0,y.為橢圓、+t=1a>b>0上的一點(diǎn),FrF2為左、右焦點(diǎn),那么:abPF1=aex.,PF2=a-ex.22證實(shí)：由橢圓第二定義可知：pF1=e(x0-)=a+ex,(x0T-0),pF2=e(x0)=ex)-a(x0>-0)歸結(jié)起cc來為左加右減.22ii .設(shè)P(x0,y

3、76;)為橢圓將十'=1(a>bA0)上的一點(diǎn),F1,F2為上、下焦點(diǎn),那么：baPF1=a+ey°,PF2=a_ey0通徑：垂直于x軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通徑:,2bb、,b、d；坐標(biāo)：(c,一),(-c,)aaa22；4.共離心率的橢圓系的方程：橢圓2+¥=1(a標(biāo)b標(biāo)0)的離心率是e=(c=va2-b2),方abace=*我們稱此方程為共離心率的a/F1PF2=e,那么APFFz的面積為22程與+J=tt是大于0的參數(shù),aAbA0的離心率也是ab橢圓系方程.225.假設(shè)P是橢圓：三十%=1上的點(diǎn)土了2為焦點(diǎn),假設(shè)a2b2b2tan2用余弦定理與PF1|PF2

4、=2a可得.假設(shè)是雙曲線,那么面積為b2cot|.二、雙曲線方程.1 .雙曲線的第一定義:|PFi_PFz|=2at：FiF2方程為雙曲線|PFi_PF21=2aAF1F2無軌跡|PFi-PF2|=2a=FiF2以Fi,F2的一個(gè)端點(diǎn)的一條射線2 .雙曲線的方程：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程22AxCy=i(AC0).2222二一與一i(a,b-0),冬ui(a,b-0).abab般方程：3.雙曲線的性質(zhì)：i.焦點(diǎn)在x軸上：2方程：x±_y=o或1aba2a2頂點(diǎn)：(a,0),(-a,0)焦點(diǎn)：(c,0),(-c,0)傕線萬程x=±漸近線c2一、=0ii.焦點(diǎn)在y軸上：頂點(diǎn)：(0,T),

5、(0,a).焦點(diǎn)：(0,c),(0,Y).準(zhǔn)b2222n線方程：y=±J漸近線方程：Y±2=0或4一二=0,參數(shù)方程：,"a咒或caba2b2y=btanH廣x=btan0J.、y=asec9軸x,y為對稱軸,實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b,焦距2c.離心率e=-.準(zhǔn)線距旦ac(兩準(zhǔn)線的距離)；參數(shù)關(guān)系c2=a2叱2,e=c.焦半徑公式：對于雙曲線a22方程=iabFi,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn))“長加短減原那么:MFi=ex0a構(gòu)成滿足MFi-MF2=2aMF2vex.wMFi=-ex0-a,八,.i0(與橢圓焦半徑不同,橢圓焦半MF2=

6、-ex0a4.等軸雙曲線：雙曲線x2y2=±a2稱為等軸雙曲線,其漸近線方程為y=±x,離心率e=VL5.共軻雙曲線：以雙曲線的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線,叫做雙曲線的共2222軻雙曲線.-4=%與士=-九互為共軻雙曲線,它們具有共同的漸近線：abab22xy一-二0.ab24=0如果雙曲線的b22226 .共漸近線的雙曲線系方程：0、=乳人#0的漸近線方程為與2yb2aba漸近線為x土上=0時(shí),它的雙曲線方程可設(shè)為ab11例如：右雙曲線一條漸近線為y且過PO,-,求雙曲線的萬程?2122解：令雙曲線的方程為：L_y2=M九#0,代入3,二得二匕=1.42827 .直線

7、與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線,2條與漸近線平行的直線,合計(jì)2條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上,1條切線,2條與漸近線平行的直線,合計(jì)區(qū)域：2條切線,2條與漸近線平行的直線,合計(jì)4條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn),1條切線,1條與漸近線平行的直線,合計(jì)2條;區(qū)域：即過原點(diǎn),無切線,無與漸近線平行的直線注意：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn),可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.假設(shè)直線與雙曲線一支有交點(diǎn),交點(diǎn)為二個(gè)時(shí),求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號22假設(shè)P在雙曲線=1,那么常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m與n,那么P到兩準(zhǔn)a2b2PF1線的距離比為m:n.

8、簡證：匕=e=md2PF2n：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程.設(shè)p>0,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：2-y=2px2-y=2pxx2=2py2.x=-2py圖形x七焦點(diǎn)準(zhǔn)線F(-,0)2x=2F(p,0)2px=2F(0,-)2pyp范圍x>0,yRx<0,y£RxWR,y>0xR,y<0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e=1焦點(diǎn)1PF|=：%1|pf|吟Hx1IlPFl+y1lPFl="巾1注意：ay24by+c=x頂點(diǎn)(4ac-b-b-).4a2ay2=2px(p00)那么焦點(diǎn)半徑|pf=P2+-;x=

9、2py(p=0)那么焦點(diǎn)半徑為PF=y+g通徑為2p,這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的y2=2px(或x2=2py)的參數(shù)方程為3-,2x=2pty=2ptdx=2pt2y=2pt關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：設(shè)AB為過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)的弦,A(xi,yi)、B(x2,y2),直線AB的傾斜角為0,那么：X1x2=y1y2=p2;|AB|=以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為sin190°；+|FA|FB|P四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.1.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)當(dāng)0FeF時(shí),軌跡為橢圓；F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)e=1時(shí)

10、,當(dāng)e>1時(shí),軌跡為拋物線;軌跡為雙曲線;當(dāng)e=0時(shí),軌跡為圓(e=£,當(dāng)c=0,a=b時(shí)).a2 .圓錐曲線方程具有對稱性于原點(diǎn)對稱的.由于具有對稱性,所以欲證.例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)AB=CD,即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.3 .當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確,而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),可設(shè)方程為22xy,八十=1(m>0,mnn>0且n),這樣可以防止討論和繁雜的運(yùn)算,橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程均可用簡單形式mx+ny2=1(mg0)來表示,所不同的是：假設(shè)方程表示橢圓,那么要求m>0,n>0且n;假設(shè)方程表示雙曲線,那么要求mn

11、<0利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),應(yīng)注意此方法的合理使用,以防止討論.4.雙曲線是具有漸近線的曲線,復(fù)習(xí)中要注意以下兩個(gè)問題：(1)雙曲線方程,求它的漸近線方程,將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2x2a4=1中的常b222xy數(shù)1換成0,即得-=0,然后分解因式即可得到其漸近線方程ab7=0;假設(shè)ab求中央不在原點(diǎn),對稱軸平行于坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程,只需將雙曲線方程別配方,然后將常數(shù)“1換成“0,再分解因式,那么可得漸近線方程,例如雙曲線x,y分2_2V232=0,即y±3(x+2),因此,如果雙曲線的方(x+2)彳=1的漸近線方程為(x+2)3程已經(jīng)確定,那么它的漸近線方程也就確定了.

12、2求漸近線的雙曲線方程,漸近線方程為ax±by=0時(shí),可設(shè)雙曲線方程為2222ax-by=九九#0,再利用其他條件確定九的值,求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法,如果已知雙曲線的漸近線,雙曲線方程卻不是惟一確定的.5、在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的坐標(biāo)系時(shí),以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系,這樣不僅具有對稱性,而且曲線過原點(diǎn),方程不含常數(shù)項(xiàng),形式更為簡單,便于應(yīng)用.五.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系：相交,相切,相離.1 .直線/與圓錐曲線C位置關(guān)系的判斷：判斷直線j與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí),將直線,的方程代入曲線C的方程,消去y也可消去x得一個(gè)關(guān)于變量x或y的一元二次方程ax2+bx

13、+c=0.當(dāng)aw0時(shí),假設(shè)A>0,那么/與C相交；假設(shè)A=0,那么,與C相切；假設(shè)A<0,那么有1與C相離.當(dāng)a=0時(shí),即得到一個(gè)一次方程,假設(shè)方程有解,那么直線1與C相交,此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)假設(shè)C為雙曲線,那么1平行于雙曲線的漸近線；假設(shè)C為拋物線,那么1平行于拋物線的對稱軸.注意：當(dāng)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線和雙曲線、拋物線可能相切,也可能相交.2 .直線被圓錐曲線截得的弦長公式：斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AR設(shè)的,見,8孫刈,那么弦長公式：7-.Jmab當(dāng)tMU時(shí),弦長公式還可以寫成：X工注意：利用這個(gè)公式求弦長時(shí),應(yīng)注意應(yīng)用韋達(dá)定理.六.求曲線的方程.1

14、 .坐標(biāo)法的定義：用曲線在直角坐標(biāo)系中,用坐標(biāo)表示點(diǎn),把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡,上點(diǎn)的坐標(biāo)x,y所滿足的方程危切二.表示曲線,通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這就是坐標(biāo)法.2 .坐標(biāo)法求曲線方程的步驟：建系一設(shè)點(diǎn)一點(diǎn)滿足的幾何條件坐標(biāo)化一整理化簡成最簡形式一證實(shí)可省略,但必須刪去增加的或者補(bǔ)上喪失的解3 .求軌跡方程的常用方法：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法等.七.規(guī)律方法指導(dǎo).1.三種圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)的比照橢圓雙曲線拋物線定義1.到兩定點(diǎn)Fi、F2的距離之和為定值2a2a>|F后|的點(diǎn)的軌跡1.到兩定點(diǎn)Fi、F2的距離之差的絕對值的為定值2a

15、0<2a<IF1F2I的點(diǎn)的軌跡2.與定點(diǎn)和定直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡0vev12.與定點(diǎn)和定直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡e>1與定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡圖形43X1Zbi0OXk/4弋方程標(biāo)準(zhǔn)方程=>0)?y3F-二1八.淮>0aby2=2/參數(shù)方程參數(shù)8為離心角x-cjsec8參數(shù)g為離心角x=2聲4一物t為參數(shù)范圍1件,yeRA>0中央原點(diǎn)O(0,0)原點(diǎn)O(0,0)頂點(diǎn)(a,0)(a,0),(a,0),(a,0)(0,0)(0,b),(0,b)對稱軸x軸,y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸,y軸；實(shí)軸長2a,虛軸長2bx軸焦點(diǎn)Fi(

16、c,0),F2(c,0)Fi(c,0),F2(c,0)百.ol焦距2c(c-J必2c(c=+/)離心率=(0<e<1)a>1)a'e=1準(zhǔn)線且cK二±一一匕2漸近線hy=±xa2 .有關(guān)圓錐曲線綜合題類型：(1)求圓錐曲線方程一般求曲線類型的曲線方程問題,可采用“先定形,后定式,再定量的步驟：定形一一指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對稱軸的位置,如果位置不確定時(shí),考慮是否多解.此時(shí)注意數(shù)形結(jié)合,在圖形上標(biāo)出條件,檢查軸上的點(diǎn)、垂直于軸的直線的位置是否準(zhǔn)確等.定式一一根據(jù)“形設(shè)方程的形式,注意曲線系方程的應(yīng)用,如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí),可設(shè)方程

17、為mX+ny2=1(m>0,n>0).定量一一由題設(shè)中的條件找到“式中特定系數(shù)的等量關(guān)系,通過解方程得到量的大小.此處注意n個(gè)未知數(shù),列夠n個(gè)獨(dú)立的方程,并注意“點(diǎn)在線上條件及韋達(dá)定理的使用.注意：求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn),主要考查學(xué)生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維水平,解決好這類問題,除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外,命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題,解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法(2)求取值范圍或最值函數(shù)方法-將待求范圍參數(shù)表示為另一個(gè)變量的函數(shù),注意求函數(shù)的定義域.

18、方程與不等式組-n個(gè)未知數(shù),列夠n個(gè)獨(dú)立方程或不等式,注意歸納總結(jié)列不等式的方法：利用幾何性質(zhì)求參數(shù)范圍；利用不等式性質(zhì)(結(jié)合幾何性質(zhì))求參數(shù)范同.3 .解析幾何問題中,解決運(yùn)算問題的幾點(diǎn)舉措：解析幾何圖形結(jié)構(gòu)、問題結(jié)構(gòu)多,且易于發(fā)散,一旦形成為圖形或知識點(diǎn)的綜合,往往最具運(yùn)算量、最為繁難復(fù)雜.因此,有時(shí)即便是明確了解法甚至較細(xì)的步驟,解題過程當(dāng)中也常常被卡住,算不到底、算不出正確結(jié)果也是常有的事.因此,如何解決運(yùn)算量問題,對于解題成功與否至關(guān)重要.解決運(yùn)算問題,可以有以下舉措：1不斷提升運(yùn)算和恒等變形水平.注意培養(yǎng)觀察問題、分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的水平,防止思維定勢,提升思維靈活性；具體審題中多收集些信息,綜觀全局,權(quán)衡利弊,再決定解題策略；增強(qiáng)練習(xí)運(yùn)算根本功,不斷提升恒等變形的水平.2善于運(yùn)用平面幾何性質(zhì)來解題問題.解題處理方式不同,可能繁簡大相徑庭,假設(shè)考慮問題的幾何特征,充分利用圖形幾何性質(zhì),對于解決運(yùn)算量會大有裨益,這一點(diǎn)對于圓錐曲線綜合題的處理很重要.3注意解析法與各種數(shù)學(xué)方法結(jié)合.當(dāng)所求點(diǎn)的坐標(biāo)直接解決有困難時(shí),往往引進(jìn)參數(shù)或參數(shù)方程起到解決問題的橋梁作用,引進(jìn)適宜的參數(shù),進(jìn)行設(shè)而不求的計(jì)算方式,在解析幾何中是普遍的,但應(yīng)注意不斷積累消參經(jīng)驗(yàn)；相應(yīng)元替換法也是常用的策略八.二次曲線