高考一輪復習教案函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、K08 IMB2CLogoAee高考一輪復習教案函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)的單調(diào)性與最值1.函數(shù)的單調(diào)性理解函數(shù)的單調(diào)性及其兒何意義.2.函數(shù)的最值理解函數(shù)的最大值、最小值及其兒何意義.知識點一函數(shù)的單調(diào)性1.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間刃上的任意兩個自變量的值X 八當義Ob時，都有那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增加的當彳彤時，都有g夜心,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間X上是減少的圖象描述自左向右看圖象是逐漸上升的自左向右看圖象是逐漸下降的2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間刀上是增加的或是減少的,那么稱4為單調(diào)區(qū)間.易誤提醒求

2、函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩個注意點：(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間應樹立“定義域優(yōu)先”的原則.(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應分別寫，不能用并集符號“U”聯(lián)結，也不能用“或”聯(lián)結.必記結論1.單調(diào)函數(shù)的定義有以下若干等價形式：設Xi,xzGa,那么1Of(x)在a,H上是增函數(shù)；Of(x)在a,H上是減函數(shù).2(彳一曲f3Of(x)在a,上是增函數(shù)；3Xz)f(酒)f(藥0/(AT)在a,方上是減函數(shù).2.復合函數(shù)y=Ag(x)的單調(diào)性規(guī)律是“同則增， 異則減”， 即y=f(u)與u=g(x)若具有相同的單調(diào)性，則y=Ag(x)為增函數(shù)，若具有不同的單

3、調(diào)性，則y=Ag(x)必為減函數(shù).自測練習1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+8)上單調(diào)遞減的是()A. f(x)=B.f(x)=(x-l)eC.f(x)=eD.f(x)=ln(x+l)2.函數(shù)f(x)=log5(2x+l)的單調(diào)增區(qū)間是.3.已知函數(shù)f3=在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是()A. 3,0)B.3,2C.(一 8,2D.(一 8,0)知識點二函數(shù)的最值前提設函數(shù)y=的定義域為I,如果存在實數(shù)J/滿足條件對于任意xWL都有f(x)WM存在使得f(x)=.W對于任意 Q,都有存在XoGI,使得2(版)=.妙結論0為最大值J為最小值易誤提醒在求函數(shù)的值域或最值時，易忽視定義域的限制性.必備

4、方法求函數(shù)最值的五個常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值.(4)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(5)導數(shù)法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，求出最值.自測練習4.函數(shù)/(x)=(xR)的值域是()A. (0,1)B.(0,1C.0,1)D.0,15.已知函數(shù)f(x)=*+2x(2WxW1且xWZ),則f(x)的值域是()A.0,3B.-1,3C.0,1

5、,3)D.(-1,0,3)考點一函數(shù)單調(diào)性的判斷IOSS1.下列四個函數(shù)中，在(0，+8)上為增函數(shù)的是()A.f3=3xB.f(x)=x3才C.f(x)=-D.f(x)=-|x|一.一一一一一蓊麗而鬲藪單磷麗福誰萬法_i 一“1.定義法(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷).2.導數(shù)法(基本步驟為求定義域、求導、變形、判斷).MMV.MM*.MMV.MM*.考點二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法I念熊悉窸是但求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) y=T+2|x|+1；(2) y=log(Y3.Y+2).一i 一 iii 一 iii 一 i 一鬲藪麗麗而麗親洼一 i 一 i 一 ii 一一.一.一“(1)利用

6、已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義.(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)導數(shù)法：利用導數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.-鬲藪日詼i二蟀麗狂是璃鬲藪那么麗布一7一一一-一一A.(8,0)C.0,+8)考點三函數(shù)單調(diào)性的應用I羔黑燃器函數(shù)單調(diào)性的應用比較廣泛，是每年高考的重點和熱點內(nèi)容.歸納起來，常見的命題探究角度有：1.求函數(shù)的值域或最值.2.比較兩個函數(shù)值或兩個自變量的大小.3.解函數(shù)不等式.4.求參數(shù)的取值范圍或值.探究一求函數(shù)的值域或最值1.

7、 (2015高考浙江卷)已知函數(shù)f(x)=則f(f(3)=,f(x)的最小值是.探究二比較兩個函數(shù)值或兩自變量的大小2.已知函數(shù)f(x)=logM+,若(1,2),左仁(2,+8),貝ij()A.0,f(x：)0B.f(xi)0C.f(xi)。，f(藥0D.f(x)0,f(xz)0探究三解函數(shù)不等式3. (2015西安一模)已知函數(shù)f(x)=若f(23)f(x),則實數(shù)x的取值范圍是()A. (8,1)U(2,+)B. (8,2)U(1,+)C. (-1,2)D. (-2,1)探究四利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍4. (2015-江西新余期末質(zhì)檢)已知f(x)=滿足對任意為心都有0成立，那么a的取

8、值范圍是()C.(1,2)D.(1,+8)-i函藪麗磁麗商而麗痰畫茹商藏一_i_(1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“廣符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應特別注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);需注意若函數(shù)在區(qū)間a,加上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.(4)利用單調(diào)性求最值.應先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值.昂得得菸I1.確定抽象函

9、數(shù)的單調(diào)性以及解含“廣的不等式【典例】(12分)函數(shù)f(x)對任意a,R,都有f(a+3)=f(a)+/W1,且當x0時，有f(x)L(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù);(2)若f(4)=5,解不等式f(21-1)-f(1+t)2.思路點撥(1)用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性；(2)結合題意，將含W的不等式A2t-l)-/(l+t)/(3a)的解集為()A.(2,6)B.(-1,4)1. (2015吉林二模)下列函數(shù)中,定義域是R且為增函數(shù)的是()A. y=eB.y=xC.y=lnxD.y=x2. (2015河南信陽期末調(diào)研)下列四個函數(shù):A.(0,1)U(0,1)B. (0,1)U(0,

10、1C.(0,1)C. (1,4)D.(-3,5)5. (2016-浦東一模)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1上是增函數(shù)，且函數(shù)y=在區(qū)間1上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y=f(x)是區(qū)間一I上的“緩增函數(shù)，區(qū)間叫作“緩增區(qū)間.若函數(shù)1-x+是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”1為()A.1,+8)B.0,C,0,1D.1,6.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對任意的Xi,xz0,+),有0,則/(3),/(-2),f(l)的大小關系為.7.設函數(shù)f(x)=g(x)=x(xl)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是.8. (2015長春二模)已知函數(shù)f(x)=|x+a|在(一8,-1)是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范

11、圍是.9.已知/(x)=(x尹a).(1)若a=2,試證f(x)在(一8,2)上單調(diào)遞增；(2)若a0且f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.10.已知函數(shù)g(x)=+l,W(x)=,x(一3,a,其中a為常數(shù)且a0,令函數(shù)f(x)=g(x)hx).(1)求函數(shù)f(x)的表達式，并求其定義域；(2)當？=時，求函數(shù)f(x)的值域.B組高考題型專練1. (2014高考北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()A.y=B.y=CYl)2C.y=2xD.y=(x+l)2. (2013高考安徽卷)“aWO”是“函數(shù)f(x)=|(咨一1)才|在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增”的()A

12、.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3. (2015高考福建卷)若函數(shù)f(x)=(a0,且aUl)的值域是4,+-),則實數(shù)a的取值范圍是.4. (2015高考湖北卷)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=在區(qū)間0,1的最大值記為g(a).當3=時，g(a)的值最小.1.解析：根據(jù)函數(shù)的圖象知，函數(shù)f(x)=在(0,+8)上單調(diào)遞減，故選A.答案：A2.解析:要使y=log5(2x+l)有意義，則2x+l0,即x,而y=log5U為(0,+8)上的增函數(shù)，當才一時，”=2x+1也為R上的增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案：3.解析：要使函數(shù)在R上是增函數(shù)，則有解得一3

13、WaW2,即a的取值范圍是3,2.答案：B4.解析：因為所以函數(shù)值域是(0,1,選B.答案：B5.解析： 依題意，f(2)=f(0)=0,?(1)=一1,f(l)=3,因此f(x)的值域是-1,0,3),選D.答案：D1.解析：當x0時，f(x)=3x為減函數(shù)；當才仁時，f(x)=x3才為減函數(shù)，當xU時，f(x)=x3x為增函數(shù)；當X&(0,+8)時，f(x)=為增函數(shù)；當才(0,+8)時，f(x)=|x|為減函數(shù).故選C.答案：C2.判斷函數(shù)g(x)=在(1,+8)上的單調(diào)性.2.解：法一：定義法任取心X*(l,+8),且星3，則g.xj一_(藥=一=,因為 133，所以冬一&am

14、p;0,(X1)(左一1)0,因此g(*)g(M)o,即g(&)f=0,即/(A1)0.答案：B3.解析：.當x=0時，兩個表達式對應的函數(shù)值都為零，.函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線.當xWO時，函數(shù)f3=、為增函數(shù)，當x0時，f(x)=ln(x+l)也是增函數(shù)，且當xYO,左0時，.函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù).因此，不等式f(2b)f(x)等價于2Tx,即/+x20,解得一2次1,故選D.答案：D4.解析：依題意，f(x)是在R上的增函數(shù)，于是有解得0,冬)1.(2分)根據(jù)條件等式有f(xA=f(X2X1+&)f(xi)=f.X：xj+f(%)1f(*)=f(xzxjl0,

15、./U)1,得f(a+身f(a)=f(6)1,f(211)Z(Ht)=f(t2)It(8分)/.f(211)f*(l+t)即ft2)1X2, f(L2)3.又f(2+2)=f(2)+f(2)一1=5,. f=3, f(，一2)3=f(2).(10分). f(x)是R上的增函數(shù)，. L22,.K4,故不等式的解集為(一8,4).(12分)L解析：因為定義域是R,排除C,乂是增函數(shù)，排除A、D,所以選B.答案：B2.解析：依題意，注意到y(tǒng)=3x與函數(shù)y=的值域均是R,函數(shù)/=的值域是(0,1,函數(shù)Y+2.Y-10=(A-+1)11的值域是-11,+8),因此選B.答案：B3.解析：注意到f(x)=

16、(xa)斗兄依題意得即0al,故選D.答案：D4.解析：作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減的.由4)f(3a),可得a43a,整理得a3a40,即(a+1)(a4)0,解得一1次4,所以不等式的解集為(-1,4).答案：B5.解析：因為函數(shù)f(x)=xx+的對稱軸為x=l,所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,+8)上是增函數(shù)，又當xNl時，=X1+,令g(x)=X1+(xNl),貝|J/(x)=,由g(x)W0得1WxW,即函數(shù)=X1+在區(qū)間1, 上單調(diào)遞減， 故“緩增區(qū)間”為U，.答案：D6.解析：由X”(0,+8)時，0, f(x)在(0,+8)上為減函數(shù).又f(2

17、)=f(2),12/(2)/(3).答案：/(1)/(-2)/(3)7.解析：g(x)=如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1).,/答案：0,1)、8.解析：因為函數(shù)/Xx)在(一8,a)上是單調(diào)函方7友數(shù)，所以一aN1,解得aWl.答案：(一8,19.解：證明：任設逐逐一2,則f(x、一 f3=(xi+2)(A=+2)0,彳一把0,f(xi)0時，f(x)在(一 8,a),(務+8)上是減函數(shù)，乂f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，.0E,故實數(shù)a的取值范圍為(0,1.10.解:(1)=g(x)方(x)=(+l)=,f(x)=,xe0,al(a0).(2)函數(shù)f(x)的定義域為，令+1=9,則x=(t1)2tW,fx)=F(t)=.W=時，=2,又作時，*+單調(diào)遞減，/(*)單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的值域為.1.解析：尸=(才一成僅在1，+8)上為增函數(shù)，排除B；y=2=為減函數(shù)，排除C；因為y=為減函數(shù)，t=x+l為增函數(shù)，所以y=(x+l)為減函數(shù)，排除D；=和t=x+1均為增函數(shù)，所以y=為增函數(shù)，故選A.答案：A2.解析：由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知f(x)=|(ax1)x1在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，只需f(x)的圖象在(0,+8)上與x軸無交點，即&=0或