平面向量基本定理及經(jīng)典例題

1、.教學(xué)目標(biāo):了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)概念，會(huì)用坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算，掌握向量坐標(biāo)形式的平行的條件；教學(xué)重點(diǎn)：用向量的坐標(biāo)表示向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算和平行.二. 課前預(yù)習(xí)若a/b,則x的值為()V2C、&D()rr(B)a(2,3),b(3,2)rr(D)a(3,2),b(6,4)3.已知點(diǎn)A(2,4),B(3,1),C(3,4),且CM3CA,CN2CB,則MN4.已知點(diǎn)A(1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為三. 知識(shí)歸納uruu1.平面向量基本定理：如果e,e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)量，那么對(duì)丁這一平面rrirururuu內(nèi)的任意向量a,有且

2、只有一對(duì)實(shí)效1,2,使a傳2e2成立。其中,巳叫做這一平面的_組即對(duì)基底的要求是向量L2.坐標(biāo)表示法：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作基底，則對(duì)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使axiyj、就把叫做向量a的坐標(biāo)，記作o3.向量的坐標(biāo)計(jì)算：O(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),則向量OA的坐標(biāo)為OA=點(diǎn)P、P2的坐標(biāo)分別為(x,y)，P2(x2,V2)，則向量PF2的坐標(biāo)為pE=即平面內(nèi)任一向量的坐標(biāo)等丁表示它的有向線段的點(diǎn)坐標(biāo)減去點(diǎn)坐標(biāo).平面向量基本定理1.已知a=(x,2),b=(1,x)A、J2B、2.下列各組向量，共線的是rr(A)a(2,3

3、),b(4,6)rr4.線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：A(xi,y)，B(X2,y2)線段中點(diǎn)為M則有：OM=M點(diǎn)的坐標(biāo)為:5.兩個(gè)向量平行的充要條件是：向量形式：a/b(b0)；坐標(biāo)形式：a/b(b0).-e一一a6-a=(x,y),劉a.與a共線的單位向重是：ea四. 例題分析：例1.(1)、已知M(2,7)、N(10,-2)，點(diǎn)P是線段M啟的點(diǎn)，且PN=2PM，貝UP點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(14,16)(B)(22,11)(C)(6,1)(。(2,4)、已知兩點(diǎn)A(4,1),B(7,-3),則與向量AB同向的單位向量是()(A)34(B)24(C)43(D)4255555555rr一.r,r、若a=(2,

4、3),b=(4,7),則a在b萬向上的投影為。rrrrrrrr一rr例2.(1)已知向重a(1,2),b(x,1),ua2b,v2ab,且u/v，求頭數(shù)x的值。(2)已知向量a=(也,1),b=(0,-1),c=(k,M)。若a-2b與c共線，貝Uk=v_v例3.已知a(1,0),b(2,1),(1)求|a3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向?uuur一例4.如圖，平行四邊形ABCLfr,E,F分別是BC,DC的中點(diǎn)，G為交點(diǎn)，若ABa,ADrb,rruur(1)試以a,b為基底表小DE、BF；(2)求證：A、GC二點(diǎn)共線。例5.如圖，平行四邊形ABC呻，

5、BE=1BABF=1BD求證:45三點(diǎn)共線。(利用向量證明)E,F,C五. 課后作業(yè):1.a(3,sin2r1一rr),b(cos,一)且a/b,則銳角3(A)30(B)60o(C)45(D)752.平面內(nèi)有三點(diǎn)A(0,3),B(3,3),C(x,1),且AB/BC,貝Ux的值是(A)1(B)5(C)1(D)53.如果e1,7是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列命題中正確的是(urinr(A)若實(shí)數(shù)1,2使偈2620,M120ruruu(B)空間任一向量a可以表示為ag2巳，這里i,2是實(shí)數(shù)iruu(C)對(duì)實(shí)數(shù)1,2,向量1I262不一定在平面內(nèi)4.下列各組向量中： 61(1,2)62(5,7

6、)甘(3,5)62(6,10)61(2,3)其中能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()5.若A(-1,-2),B(4,8),且AC3CB,則C點(diǎn)坐標(biāo)為;6.已知a(3,2),b(2,1),若a也ab平行，則入=；rrr.7.已知向量a(1,2),b與a萬向相反，且|b|2|a|,那么向量b的坐標(biāo)是8.已知a(5,4),b(3,2)，則與2旨3b平行的單位向量的坐標(biāo)為二一一一rrr,、irrrrrrir9.已知a(3,1),b(1,2),c(1,7)，求pabc，并以a,b為基底來表小p。Hr一史址10.向量OA(k,12),OB(4,5),OC(10,k),當(dāng)k為何值時(shí)，A,B,C二點(diǎn)

7、共線？平面向雖的數(shù)雖積一、教學(xué)目標(biāo)：掌握平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)，掌握兩向量火角及兩向量垂直的充要條件和向量數(shù)量積的簡單運(yùn)用.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用r(D)對(duì)平面內(nèi)任一向重a,使airuu1612僉的頭數(shù)i,2有無數(shù)對(duì)A.B.C.D.1362偵，W)二、課前預(yù)習(xí)：rrrrr1.已知向量a(3,4),b(2,1),如果向量axb與b垂直，則x的值為(223(A)T(C)2(D)252.下列命題正確的是uuuuuurABBA0；ruuuiruuu0AB0；ABuuurACuurBC；uuir0AB0rr3.平面向量a,b中,rr已知a(4,3),|b|1,r5，則向量brr4.已知向量a

8、,b的萬向相同，且|a|3,|b|7,rr則|2ab|5.已知向量a和b的火角是120,且|a|2,|b|5，貝U(2ab)a=三、知識(shí)歸納1.平面向量的數(shù)量積:(1)定義：a(a0,b,為a與b的火角，0)；特例:0-a0,a2=aa=|a|2；rra cosbrrcos叫做向量a在b方向上rba方向上的注:acos(2).坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1,y1),b=(x2,2.兩個(gè)向量的火角與長度已知向量a=(x1,y),b=(x2,y2)(1)兩個(gè)向量a與b的火角：向量形式:坐標(biāo)形式:注:coscos,cos20;即ab0,cos20,即ab00.即ab020,即同向時(shí)，abab；，即反向時(shí)，a

9、bab(2)向量a的長度|a|2=a2=aa=.(ab)2.ab2abcos其中Pi=(xi,y)，P2=(X2,y2).3.向量的平行、垂直如果，兩個(gè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)那么,(2)兩個(gè)向量垂直的充要條件是：向量形式:坐標(biāo)形式:四：例題分析:例1.已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1,(1)求證：(ab)c;(2)若|kab|1(k例2.已知：a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2).其中a=(x,y)；兩點(diǎn)間的距離公式：|P1P2|=(1)兩個(gè)向量平行的充要條件是：向量形式:ab(b0)坐標(biāo)形式:a/b(b0)它們相互之間的火角均為120,R),求k的取

10、值范圍.(A)1(B)5(C)1(D)5(1)若|c|245，且c/a，求c的坐標(biāo)；5(2)右|b|=,且a2b與2ab垂直，求a與b的火角.例3.1.若向量a,b,c滿足a/b且aLc,則c?(a2b)A.4B.3C.2D.02.已知單位向量,e2的火角為60,則蹈巳uuuuuur3.在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB3，BD1,則ABAD04.已知向量a，b滿足(ab)(ab)，且a1,b2,則a與b的火角為.uuuvuuuvuLuruuvlin/【w5.在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)BC2BD，CA3CE,則ADBE例4.(1)已知由向量AB=(3,2),AC=(1,k)確定的Z

11、XAB0直角三角形，求k的值。(2)設(shè)OA=(3,1),OB=(1,2),OCOB,BC/OA,試求滿足OD+OA=OC的OD的坐標(biāo)(。為原點(diǎn))。五.課后作業(yè):(A)1(B)5(C)1(D)51.平面內(nèi)有三點(diǎn)A(0,3),B(3,3),C(x,1),且AB/BC,則x的值是(b|=2,a與b的火角為60,則a+b在a上的投影為一，r2.已知arr3,則a與b的火角是(A、150、120、60、303.已知向量(cos75,sin75),(cos15,sin15)，那么|ab|的值是()4.已知向量(A)4.2,05.在ABC中,(A)?2(B)(cos,sin),向量bAB6.在ABC中,若A

12、BA、6.，一r7.已知向重a平面上有三個(gè)點(diǎn)r8.已知|a|=1,(B)AC4,4、.2(D)1(V3,I)則濱b|的最大值，最小值分別是(C)16,0(D)4,00,ABC的面積是15,若|AB|4(B)3(明_5(D)-63,AC4,-0BAC60，則BAAC、-65，貝UBAC、-4rr.(1,2),b與a方向相反，且|b|2|a|,那么向量b的坐標(biāo)是A(1,3),B(2,2),C(7,x),若B=90，則x=+b與2ab互相垂直，貝Ub與a的火角=一，r9.已知ar(5,4),br(3,2),則與2a3b平行的單位向量的坐標(biāo)為一，一r10.(1)已知向重ar(6,2)與b(3,k)的火角是鈍角，則k的取值范圍是r已知向量ar(6,2)與b(3,k)的火角大丁90,則k的取值范圍是11.(1)已知向量rra(3,4),b(2,1)，則a在b上的投影為已知|a|=|12.設(shè)O,A,B,C為平面上四個(gè)點(diǎn)，OAa,OBb,OCc，且abc0,abbc=ca1,則|a|b|c|=、疙,(1)若