正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用教案-理

1、正弦型函數(shù)yAsin(x)的圖象及應(yīng)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，重點(diǎn)掌握正弦型函數(shù)yAsin(x)的圖象的“五點(diǎn)作圖法，圖象的三種變換方法，以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題根底梳理1用五點(diǎn)法畫(huà)yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示xx02yAsin(x)0A0A02函數(shù)ysin x的圖象變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟3當(dāng)函數(shù)yAsin(x)(A0，0，x0，)表示一個(gè)振動(dòng)時(shí)，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做頻率，x叫做相位，叫做初相4圖象的對(duì)稱(chēng)性函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，具體如下：(1)函數(shù)yAsin(x)的圖象關(guān)于直線xxk(其

2、中 xkk，kZ)成軸對(duì)稱(chēng)圖形(2)函數(shù)yAsin(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(xk,0)(其中xkk，kZ)成中心對(duì)稱(chēng)圖形一種方法在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，假設(shè)最大值為M，最小值為m，那么A，k，由周期T確定，即由T求出，由特殊點(diǎn)確定一個(gè)區(qū)別由ysin x的圖象變換到y(tǒng)Asin (x)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(0)個(gè)單位原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴(lài)于x加減多少值 兩個(gè)注意作正弦型函數(shù)yAsin(x)的圖象時(shí)應(yīng)注意：(1)首先要確定函數(shù)的定義域；(2)對(duì)于具有

3、周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)y2sin 的振幅、頻率和初相分別為()A2， B2，C2， D2，答案A2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)Asin(x)的局部圖象如下列圖，那么該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相分別為()AT6， BT6，CT6， DT6，解析由題圖象知T2(41)6，由圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)且A2，可得sin1，又|，得.答案C3函數(shù)ycos x(xR)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，那么g(x)的解析式應(yīng)為()Asin x Bsin x Ccos x Dcos x解析由圖象的平移得g

4、(x)cossin x.答案A4設(shè)0，函數(shù)ysin2的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，那么的最小值是()A. B. C. D3解析ysin2向右平移個(gè)單位后得到y(tǒng)1sin2sin2，又y與y1的圖象重合，那么2k(kZ)k.又0，kZ，當(dāng)k1時(shí)，取最小值為，應(yīng)選C.答案C5(2021·重慶六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)sin(x)(0)的圖象如下列圖，那么_.解析由題意設(shè)函數(shù)周期為T(mén)，那么，故T.答案考向一作函數(shù)yAsin(x)的圖象【例1】設(shè)函數(shù)f(x)cos(x)的最小正周期為，且f.(1)求和的值；(2)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在0，上的圖象審題視點(diǎn) (1)由條件可求，；(2)

5、采用“五點(diǎn)法作圖，應(yīng)注意定義域0，解(1)周期T，2，fcoscossin ，0，.(2)由(1)知f(x)cos，列表如下：2x0x0f(x)1010圖象如圖： (1)“五點(diǎn)法作圖的關(guān)鍵是正確確定五個(gè)點(diǎn)，而后列表、描點(diǎn)、連線即可(2)變換法作圖象的關(guān)鍵看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用x來(lái)確定平移單位【訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)3sin，xR.(1)畫(huà)出函數(shù)f(x)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖；(2)將函數(shù)ysin x的圖象作怎樣的變換可得到f(x)的圖象？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并用光滑曲線連接，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖(2)先把ysin x

6、的圖象向右平移個(gè)單位，然后把所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再把所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到f(x)的圖象考向二求函數(shù)yAsin(x)的解析式【例2】(2021·江蘇)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0)的局部圖象如下列圖，那么f(0)的值是_審題視點(diǎn) 由最高、最低點(diǎn)確定A，由周期確定，然后由圖象過(guò)的特殊點(diǎn)確定.解析由圖可知：A，所以T2k，2k，令k0，2，又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以2×，那么，故函數(shù)的解析式為f(x)sin，所以f(0)sin.答案 解決這類(lèi)題目一般是先根據(jù)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)確定A，h的值，函數(shù)的周期確定的值，再根據(jù)函數(shù)圖象上的

7、一個(gè)特殊點(diǎn)確定值【訓(xùn)練2】 函數(shù)yAsin(x)(A0，|，0)的圖象的一局部如下列圖(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)試寫(xiě)出f(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程解(1)觀察圖象可知：A2且點(diǎn)(0,1)在圖象上，12sin(·0)，即sin .|，.又是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且是圖象遞增穿過(guò)x軸形成的零點(diǎn)，2，2.f(x)2sin.(2)設(shè)2xB，那么函數(shù)y2sin B的對(duì)稱(chēng)軸方程為Bk，kZ，即2xk(kZ)，解上式得x(kZ)，f(x)2sin的對(duì)稱(chēng)軸方程為x(kZ)考向三函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例3】(2021·西安模擬)函數(shù)f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0,0

8、)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為M.(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x時(shí)，求f(x)的值域?qū)忣}視點(diǎn) 先由圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)確定A的值，再由相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離確定的值，最后由點(diǎn)M在圖象上求得的值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式；先由x的范圍，求得2x的范圍，再求得f(x)的值域解(1)由最低點(diǎn)為M，得A2.由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，得，即T，所以2.由點(diǎn)M在圖象上，得2sin2，即sin1.故2k，kZ，所以2k(kZ)又，所以.故f(x)的解析式為f(x)2sin.(2)因?yàn)閤，所以2x.當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最大值2；當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x

9、)取得最小值1.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2 利用三角函數(shù)圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為三角函數(shù)的個(gè)最小正周期，去求解參數(shù)的值，利用圖象的最低點(diǎn)為三角函數(shù)最值點(diǎn)，去求解參數(shù)A的值等在求函數(shù)值域時(shí)，由定義域轉(zhuǎn)化成x的范圍，即把x看作一個(gè)整體【訓(xùn)練3】 (2021·南京模擬)函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象過(guò)點(diǎn)P，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn)是Q.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間解(1)依題意得：A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又圖象過(guò)點(diǎn)P，5sin0，由可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得：kxk，kZ，故函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為

10、：(kZ)標(biāo)準(zhǔn)解答8怎樣求解三角函數(shù)的最值問(wèn)題【問(wèn)題研究】 (1)求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)熱點(diǎn)在求解中，一定要注意其定義域，否那么容易產(chǎn)生錯(cuò)誤(2)主要題型：求三角函數(shù)的值域(或最值)；根據(jù)三角函數(shù)的值域(或最值)求相關(guān)的參數(shù)；三角函數(shù)的值域(或最值)作為工具解決其他與范圍相關(guān)的問(wèn)題【解決方案】 形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)，可通過(guò)引入輔助角，將原式化為y·sin(x)c的形式后，再求值域(或最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x，將原式化為二次函數(shù)yat2btc的形式，進(jìn)而在t1,1上求值域(或最值)；形如yasin xcos xb

11、(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x±cos x，將原式化為二次函數(shù)y±a(t21)btc的形式，進(jìn)而在閉區(qū)間t，上求最值【例如】(此題總分值12分)(2021·北京)函數(shù)f(x)4cos xsin 1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值 首先化為形如yAsin(x)的形式，由T求得：由x，求得x的范圍，從而求得最值解答示范 (1)因?yàn)閒(x)4cos xsin14cos x1sin 2x2cos2x1 sin 2xcos 2x2sin，(4分)所以f(x)的最小正周期為.(6分)(2)因?yàn)閤，所以2x.(8分)于是，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最大值2；(10分)當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最小值1.(12分) 解決這類(lèi)問(wèn)題常常借助三角函數(shù)的有界性或轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)，如二次函數(shù)等來(lái)解決【試一試】 是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)ysin2xacos xa在閉區(qū)間上的最大值是1？假設(shè)存在，求出對(duì)應(yīng)的a