第十三章靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)

1、第十三章靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)BoAPrArCrB圖13.1131一帶電量為q，半徑為rA的金屬球A，與一原先不帶電、內(nèi)外半徑分別為rB和rC的金屬球殼B同心放置，如圖所示，則圖中P點的電場強度如何？若用導(dǎo)線將A和B連接起來，則A球的電勢為多少？（設(shè)無窮遠處電勢為零）解答過P點作一個同心球面作為高斯面，盡管金屬球殼內(nèi)側(cè)會感應(yīng)出異種，但是高斯面內(nèi)只有電荷q根據(jù)高斯定理可得E4r2 = q/0，可得P點的電場強度為當金屬球殼內(nèi)側(cè)會感應(yīng)出異種電荷-q時，外側(cè)將出現(xiàn)同種電荷q用導(dǎo)線將A和B連接起來后，正負電荷將中和A球是一個等勢體，其電勢等于球心的電勢A球的電勢是球殼外側(cè)的電荷產(chǎn)生的，這些電荷到球心的

2、距離都是rc，所以A球的電勢為132 同軸電纜是由半徑為R1的導(dǎo)體圓柱和半徑為R2的同軸薄圓筒構(gòu)成的，其間充滿了相對介電常 DS1S2S0rR2R1rl數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，設(shè)沿軸線單位長度上導(dǎo)線的圓筒的帶電量分別為+和-，則通過介質(zhì)內(nèi)長為l，半徑為r的同軸封閉圓柱面的電位移通量為多少？圓柱面上任一點的場強為多少？解答介質(zhì)中的電場強度和電位移是軸對稱分布的在內(nèi)外半徑之間作一個半徑為r、長為l的圓柱形高斯面，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理，通過圓柱面的電位移通過等于該面包含的自由電荷，即d= q = l設(shè)高斯面的側(cè)面為S0，上下兩底面分別為S1和S2通過高斯面的電位移通量為，可得電位移為D = /2r，其方

3、向垂直中心軸向外電場強度為E = D/0r = /20rr，方向也垂直中心軸向外133金屬球殼原來帶有電量Q，殼內(nèi)外半徑分別為a、b，殼內(nèi)距球心 qobar圖13.3為r處有一點電荷q，求球心o的電勢為多少？解答點電荷q在內(nèi)殼上感應(yīng)出負電荷-q，不論電荷如何分布，距離球心都為a外殼上就有電荷q+Q，距離球為b球心的電勢是所有電荷產(chǎn)生的電勢疊加，大小為134三塊平行金屬板A、B和C，面積都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板帶有正電荷q = 310-8C，忽略邊緣效應(yīng)求qABC圖13.4（1）B、C板上的電荷為多少？（2）A板電勢為多少

4、？解答(1)設(shè)A的左右兩面的電荷面密度分別為1和2，所帶電量分別為q1 = 1S和q2 = 2S，在B、C板上分別感應(yīng)異號電荷-q1和-q2，由電荷守恒得方程q = q1 + q2 = 1S + 2SA、B間的場強為E1 = 1/0，A、C間的場強為E2 = 2/0設(shè)A板與B板的電勢差和A板與C板的的電勢差相等，設(shè)為U，則U = E1d1 = E2d2，即1d1 = 2d2解聯(lián)立方程和得1 = qd2/S(d1 + d2)，所以q1 = 1S = qd2/(d1+d2) = 210-8(C)；q2 = q - q1 = 110-8(C)B、C板上的電荷分別為qB= -q1 = -210-8(C

5、)；qC= -q2 = -110-8(C)(2)兩板電勢差為 U = E1d1 = 1d1/0 = qd1d2/0S(d1+d2)，由于k = 9109 = 1/40，所以0 = 10-9/36，因此 U = 144 = 452.4(V)由于B板和C板的電勢為零，所以UA = U = 452.4(V)135一無限大均勻帶電平面A，帶電量為q，在它的附近放一塊與A平行的 Pq1q2ABq圖13.5金屬導(dǎo)體板B，板B有一定的厚度，如圖所示則在板B的兩個表面1和2上的感應(yīng)電荷分別為多少？解答由于板B原來不帶電，兩邊感應(yīng)出電荷后，由電荷守恒得q1 + q2 = 0雖然兩板是無限大的，為了計算的方便，不

6、妨設(shè)它們的面積為S，則面電荷密度分別為1 = q1/S、2 = q2/S、 = q/S，它們產(chǎn)生的場強大小分別為E1 = 1/0、E2 = 2/0、E = /0在B板內(nèi)部任取一點P，其場強為零，其中1面產(chǎn)生的場強向右，2面和A板產(chǎn)生的場強向左，取向右的方向為正，可得E1 - E2 E = 0，即1 - 2 = 0，或者q1 - q2 + q = 0解得電量分別為q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2136兩平行金屬板帶有等異號電荷，若兩板的電勢差為120V，兩板間相距 2143圖13.6為1.2mm，忽略邊緣效應(yīng)，求每一個金屬板表面的電荷密度各為多少？解答由于左板接地，所以1 = 0

7、由于兩板之間的電荷相互吸引，右板右面的電荷會全部吸引到右板左面，所以4 = 0由于兩板帶等量異號的電荷，所以2 = -3兩板之間的場強為E = 3/0，而E = U/d，所以面電荷密度分別為3 = 0E = 0U/d = 8.8410-7(Cm-2)，2 = -3 = -8.8410-7(Cm-2)137一球形電容器，內(nèi)外球殼半徑分別為R1和R2，球殼與地面及其他物體相距很遠將內(nèi)球用細 oR2R1R3導(dǎo)線接地試證：球面間電容可用公式表示（提示：可看作兩個球電容器的并聯(lián)，且地球半徑RR2）證明方法一：并聯(lián)電容法在外球外面再接一個半徑為R3大外球殼，外殼也接地內(nèi)球殼和外球殼之間是一個電容器，電容為

8、外球殼和大外球殼之間也是一個電容器，電容為外球殼是一極，由于內(nèi)球殼和大外球殼都接地，共用一極，所以兩個電容并聯(lián)當R3趨于無窮大時，C2= 40R2并聯(lián)電容為方法二：電容定義法假設(shè)外殼帶正電為q，則內(nèi)殼將感應(yīng)電荷q內(nèi)球的電勢是兩個電荷產(chǎn)生的疊加的結(jié)果由于內(nèi)球接地，所以其電勢為零；由于內(nèi)球是一個等勢體，其球心的電勢為，因此感應(yīng)電荷為根據(jù)高斯定理可得兩球殼之間的場強為，負號表示場強方向由外球殼指向內(nèi)球殼取外球殼指向內(nèi)球殼的一條電力線，兩球殼之間的電勢差為球面間的電容為138球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為R1和R2，其間一半充滿相對介電常量為 oR2R1r圖13.8r的均勻電介質(zhì)，求電容C為多少？解答球

9、形電容器的電容為對于半球來說，由于相對面積減少了一半，所以電容也減少一半：當電容器中充滿介質(zhì)時，電容為：由于內(nèi)球是一極，外球是一極，所以兩個電容器并聯(lián)：139設(shè)板面積為S的平板電容器析板間有兩層介質(zhì)，介電常量分別為1和2，厚度分別為d1和d2， d212d1圖13.9求電容器的電容解答假設(shè)在兩介質(zhì)的介面插入一薄導(dǎo)體，可知兩個電容器串聯(lián)，電容分別為C1 = 1S/d1和C2 = 2S/d2總電容的倒數(shù)為，總電容為1310圓柱形電容器是由半徑為R1的導(dǎo)線和與它同軸的內(nèi)半徑為R2的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成的，其長為l，其間充滿了介電常量為的介質(zhì)設(shè)沿軸線單位長度導(dǎo)線上的電荷為，圓筒的電荷為-，略去邊緣效 DS1S

10、2S0rR2R1l應(yīng)求：（1）兩極的電勢差U；（2）介質(zhì)中的電場強度E、電位移D；（3）電容C，它是真空時電容的多少倍？解答介質(zhì)中的電場強度和電位移是軸對稱分布的在內(nèi)外半徑之間作一個半徑為r、長為l的圓柱形高斯面，側(cè)面為S0，上下兩底面分別為S1和S2通過高斯面的電位移通量為，高斯面包圍的自由電荷為q = l，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理d= q，可得電位為D = /2r，方向垂直中心軸向外電場強度為E = D/ = /2r，方向也垂直中心軸向外取一條電力線為積分路徑，電勢差為電容為在真空時的電容為，所以倍數(shù)為C/C0= /01311在半徑為R1的金屬球外還有一層半徑為R2的均勻介質(zhì)，相對介電常量為r

11、設(shè)金屬球帶電Q0，求：（1）介質(zhì)層內(nèi)、外D、E、P的分布；（2）介質(zhì)層內(nèi)、外表面的極化電荷面密度解答（1）在介質(zhì)內(nèi)，電場強度和電位移以及極化強度是球?qū)ΨQ分布的在內(nèi)外半徑之間作一個半徑為r的球形高斯面，通過高斯面的電位移通量為高斯面包圍的自由電荷為q = Q0，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理d= q，可得電位為D = Q0/4r2，方向沿著徑向用矢量表示為D = Q0r/4r3電場強度為E = D/0r = Q0r/40rr3，方向沿著徑向由于D = 0E + P，所以P = D - 0E = 在介質(zhì)之外是真空，真空可當作介電常量r = 1的介質(zhì)處理，所以D = Q0r/4r3，E = Q0r/40r3，

12、P = 0（2）在介質(zhì)層內(nèi)靠近金屬球處，自由電荷Q0產(chǎn)生的場為E0 = Q0r/40r3；極化電荷q1產(chǎn)生的場強為E = q1r/40r3；總場強為E = Q0r/40rr3由于E = E0 + E，解得極化電荷為，介質(zhì)層內(nèi)表面的極化電荷面密度為在介質(zhì)層外表面，極化電荷為，面密度為1312 兩個電容器電容之比C1:C2 = 1:2，把它們串聯(lián)后接電源上充電，它們的靜電能量之比為多少？如果把它們并聯(lián)后接到電源上充電，它們的靜電能之比又是多少？解答兩個電容器串聯(lián)后充電，每個電容器帶電量是相同的，根據(jù)靜電能量公式W = Q2/2C，得靜電能之比為W1:W2 = C2:C1 = 2:1兩個電容器并聯(lián)后

13、充電，每個電容器兩端的電壓是相同的，根據(jù)靜電能量公式W = CU2/2，得靜電能之比為W1:W2 = C1:C2 = 1:21313一平行板電容器板面積為S，板間距離為d，接在電源上維持其電壓為U將一塊厚度為d相對介電常量為r的均勻介電質(zhì)板插入電容器的一半空間內(nèi)，求電容器的靜電能為多少？解答平行板電容器的電容為C = 0S/d，當面積減少一半時，電容為C1 = 0S/2d；另一半插入電介質(zhì)時，電容為C2 = 0rS/2d兩個電容器并聯(lián)，總電容為C = C1 + C2 = (1 + r)0S/2d，靜電能為W = CU2/2 = (1 + r)0SU2/4d1314一平行板電容器板面積為S，板間

14、距離為d，兩板豎直放著若電容器兩板充電到電壓為U時，斷開電源，使電容器的一半浸在相對介電常量為r的液體中求：（1）電容器的電容C；（2）浸入液體后電容器的靜電能；（3）極板上的自由電荷面密度解答（1）如前所述，兩電容器并聯(lián)的電容為C = (1 + r)0S/2d（2）電容器充電前的電容為C0 = 0S/d，充電后所帶電量為Q = C0U當電容器的一半浸在介質(zhì)中后，電容雖然改變了，但是電量不變，所以靜電能為W = Q2/2C = C02U2/2C= 0SU2/(1 + r)d（3）電容器的一半浸入介質(zhì)后，真空的一半的電容為C1 = 0S/2d；介質(zhì)中的一半的電容為C2 = 0rS/2d設(shè)兩半的所

15、帶自由電荷分別為Q1和Q2，則Q1 + Q2 = Q由于C = Q/U，所以U = Q1/C1 = Q2/C2解聯(lián)立方程得，真空中一半電容器的自由電荷面密度為同理，介質(zhì)中一半電容器的自由電荷面密度為1315 平行板電容器極板面積為200cm2，板間距離為1.0mm，電容器內(nèi)有一塊1.0mm厚的玻璃板(r= 5)將電容器與300V的電源相連求：（1）維持兩極板電壓不變抽出玻璃板，電容器的能量變化為多少？（2）斷開電源維持板上電量不變，抽出玻璃板，電容器能量變化為多少？解答平行板電容器的電容為C0 = 0rS/d，靜電能為W0 = C0U2/2玻璃板抽出之后的電容為C= 0S/d（1）保持電壓不變

16、抽出玻璃板，靜電能為W= CU2/2，電能器能量變化為W = W - W0 = (C - C0)U2/2= (1 - r)0SU2/2d = -3.1810-5(J)（2）充電后所帶電量為Q = C0U，保持電量不變抽出玻璃板，靜電能為W = Q2/2C，電能器能量變化為= 1.5910-4(J)1316設(shè)圓柱形電容器的內(nèi)、外圓筒半徑分別為a、b試證明電容器能量的一半儲存在半徑的圓柱體內(nèi)解答設(shè)圓柱形電容器電荷線密度為，場強為E = /20r，能量密度為w = 0E2/2，體積元為 dV = 2rldr，能量元為 dW = wdV在半徑a到R的圓柱體儲存的能量為當R = b時，能量為；當時，能量

17、為，所以W2= W1/2，即電容器能量的一半儲存在半徑的圓柱體內(nèi)1317 兩個同軸的圓柱面，長度均為l，半徑分別為a、b，柱面之間充滿介電常量為的電介質(zhì)（忽略邊緣效應(yīng)）當這兩個導(dǎo)體帶有等量異號電荷(Q)時，求：（1）在半徑為r(a r b)、厚度為dr、長度為l的圓柱薄殼中任一點處，電場能量體密度是多少？整個薄殼層中總能量是多少？（2）電介質(zhì)中總能量是多少（由積分算出）？（3）由電容器能量公式推算出圓柱形電容器的電容公式？解答（1）圓柱形內(nèi)柱面的電荷線密度為 = Q/l，根據(jù)介質(zhì)是高斯定理，可知電位移為D = /2r = Q/2rl，場強為E = D/ = Q/2rl，能量密度為w = DE/2 = DE/2 = Q2/82r2l2薄殼的體積為dV = 2rldr，能量為 dW = wdV = Q2dr/4lr（2）電介質(zhì)中總能量為（3）由公式W = Q