等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)案例一、 教材分析“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”這節(jié)課是人教版高中數(shù)學(xué)（必修）第一冊(cè)（上）中的第三章第三節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，是上一節(jié)“等差數(shù)列”的后繼內(nèi)容。主要內(nèi)容：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及運(yùn)用。（一）地位及作用數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材。學(xué)習(xí)數(shù)列，要經(jīng)常觀察、分析、歸納、猜想，還要綜合運(yùn)用前面的知識(shí)解決數(shù)列中的一些問(wèn)題，這些都有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。（二）教學(xué)目標(biāo)根據(jù)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”這一節(jié)的教學(xué)大綱及它在高中數(shù)學(xué)中的

2、地位和作用，確定了如下教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能： 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法和公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用。 通過(guò)對(duì)公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。2、過(guò)程與方法：經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。3、情感、態(tài)度價(jià)值觀： 公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學(xué)生受到辯證唯物主義思想的熏陶。 通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，令人著迷的歷史素材和數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感。（

3、三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式；依據(jù)：公式是解題的工具。難點(diǎn)：獲得推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的思路及公式的靈活運(yùn)用。依據(jù)：公式探究過(guò)程中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，由于學(xué)生認(rèn)識(shí)水平的限制，第一次接觸到這些公式，往往意識(shí)不到其作用，即使教師給予揭示，學(xué)生也多半拿著公式而無(wú)用武之地，因此我把它作為這一節(jié)的難點(diǎn)。二、學(xué)生情況本屆學(xué)生是實(shí)行課程改革后升入高一年，課堂比較活躍，樂(lè)于表現(xiàn)自已，表達(dá)能力強(qiáng)。本節(jié)是學(xué)生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的，但初中是新課程下的實(shí)驗(yàn)教材，現(xiàn)高一年是舊教材，存在知識(shí)脫節(jié)，學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力比較低。三、教法根據(jù)以上對(duì)教材和

4、學(xué)生的分析，并針對(duì)學(xué)校實(shí)際情況，采用啟發(fā)引導(dǎo)式及多媒體輔助教學(xué)方法。由于教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問(wèn)題情景-建立模型-求解-解釋-應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的親身動(dòng)手探求、體驗(yàn)，獲得不僅是知識(shí)，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識(shí)的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、形象、鮮明地得到展示。四、學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生自主探索，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生合作、探究，交流。理論依據(jù)：建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)的建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)

5、生熟悉的背景相聯(lián)系。在教學(xué)中，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中，經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生在觀察、操作、歸納、思考、探索、交流、反思參與的活動(dòng)中學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，發(fā)展能力。 五、教學(xué)活動(dòng)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)1內(nèi)容學(xué)生活動(dòng)教師活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入新課泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。 傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見(jiàn)課件），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？感受情景，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知

6、識(shí).引導(dǎo)學(xué)生觀賞課件該素材源于歷史，富人文氣息。圖中算數(shù)，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，起到承上啟下的作用，探討高斯算法。環(huán)節(jié)1：落實(shí)了情感、態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)。教學(xué)環(huán)節(jié)2內(nèi)容學(xué)生活動(dòng)教師活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題化歸：即求 =？（高斯10歲時(shí)的算法）.敘述高斯解法.展示幻燈，提問(wèn).關(guān)注學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)是影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要因素之一，數(shù)學(xué)史的引入更能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的熱情.探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？即求 =？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了：方法1：原式= .方法2：原式= .方法3：原式= 方法4：原式 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：高斯“首尾配對(duì)” 的算法還得分“奇、偶”個(gè)項(xiàng)的情況求和。進(jìn)而教師提出質(zhì)疑：有

7、無(wú)更簡(jiǎn)單的方法？ 啟發(fā)1： ，即先求 ，是否更方便？啟發(fā)2：情景提示，借助幾何圖形之直觀性，引導(dǎo)學(xué)生使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。獨(dú)立思考，小組討論交流.教師到各小組指導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生五花八門(mén)的解法，給予鼓勵(lì)與肯定.小小的變化,深藏著教師的大企劃:借此引入種種求和方法,以此為鋪墊.層層遞進(jìn)的二個(gè)啟發(fā),視學(xué)生具體情況而定,實(shí)際情景的提供,喚醒了學(xué)生記憶深處的東西,并為“倒序相加求和法“的出現(xiàn)提供了一個(gè)直接的模型。問(wèn)題2：如何求等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ？公式1： 嘗試推導(dǎo).引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列的性質(zhì).獲得“倒序相加求和法”的思路。問(wèn)題3：是否可以用基本量 來(lái)表示 ？生1

8、：把 代入公式1： 公式2： 生2： 公式2： 進(jìn)一步推導(dǎo)展示如左的兩種解法，并給予鼓勵(lì)。進(jìn)一步得到公式2.環(huán)節(jié)2：突出過(guò)程與方法目標(biāo)。教學(xué)環(huán)節(jié)3內(nèi)容學(xué)生活動(dòng)教師活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖公式的應(yīng)用“順”用公式例1：某長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員7天里每天的訓(xùn)練量（單位：m）是7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500. 這位長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員天共跑了多少米？針對(duì)學(xué)生對(duì)公式基本量的意義認(rèn)識(shí)不足，又設(shè)計(jì)了：例2：求 解法1： （錯(cuò)解）解法2： 通過(guò)這樣的糾錯(cuò)教學(xué)，把學(xué)生隱蔽的思維障礙挖掘出來(lái)，比直接講授效果好得多.獨(dú)立思考，小組討論，探究解法.辨析、反省，總結(jié).教師巡視，從中選擇兩組具有代表性的解法，請(qǐng)兩

9、位同學(xué)用實(shí)物投影儀展示他們的解法并讓他們?cè)谝慌灾v解.教師巡視，從中選擇兩組具有代表性的解法.讓學(xué)生熟悉公式的要素與結(jié)構(gòu).加深學(xué)生對(duì)公式的基本量意義的認(rèn)識(shí).例1,例2:落實(shí)了知識(shí)與技能目標(biāo).“變”用公式例3:“今有女子善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞增，初日織五尺，計(jì)織三十日，共織九匹三丈，問(wèn)日增幾何？”（一匹為四丈，九匹三丈為390尺） 例3:已知 ，求 。注：讓學(xué)生選做，關(guān)注全體學(xué)生?！袄?”比較難，但可轉(zhuǎn)化為“例3”。學(xué)生練習(xí)，探究交流先用投影儀展示學(xué)生的解法，然后師生共同完成解答.“變”用公式可以培養(yǎng)學(xué)生思維的高度靈活性.例3:深化知識(shí)與技能目標(biāo).“活”用公式例4：等差數(shù)列 中，已知 求 變

10、式拓展：等差數(shù)列 中，已知 求 .學(xué)生練習(xí)，探究交流.先用投影儀展示學(xué)生的解法，然后師生共同完成解答.讓學(xué)生掌握“知三求二”的思路. 例4:拓展了知識(shí)與技能目標(biāo).教學(xué)環(huán)節(jié)4內(nèi)容學(xué)生活動(dòng)教師活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖反思?xì)w納總結(jié)從本課的學(xué)習(xí)中你從中有何收獲？如何得出等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式？應(yīng)用公式要注意什么問(wèn)題？學(xué)生反思教師引導(dǎo)學(xué)生反思,后自己反思與總結(jié).學(xué)生的回答不盡統(tǒng)一,但能體現(xiàn)出學(xué)生的個(gè)性發(fā)展,符合新課標(biāo)以學(xué)生為主體、注重學(xué)生個(gè)性發(fā)展的思想.六、作業(yè)布置必做題：課本第118頁(yè)，習(xí)題3.3第2、3、4題選做題： 已知函數(shù) ,則 _.設(shè)計(jì)意圖：必做題是讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)，熟練公式的應(yīng)用。根據(jù)班級(jí)的特點(diǎn)，為了促進(jìn)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，我設(shè)計(jì)了選做題，達(dá)到分層教學(xué)的目的，同時(shí)又關(guān)注學(xué)習(xí)基礎(chǔ)比較差的學(xué)生。七、教學(xué)設(shè)計(jì)反思：1本節(jié)課如果直接介紹“倒序相加求和法”，無(wú)疑就像波利亞所說(shuō)的“帽子里跳出來(lái)的兔子”。所以在教學(xué)中，我采用創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景,以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、層層鋪墊，從特殊到