電磁場與電磁波(第三版之)矢量分析

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.1 標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場1.4 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度1.2 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度1.3 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流 旋度旋度 1.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1.1 1.1 標(biāo)量場和矢量場標(biāo)量場和矢量場 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù), ,其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一標(biāo)量場。隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一標(biāo)量場。例如例如, ,在直角坐標(biāo)下在直角坐標(biāo)下, , 標(biāo)量場標(biāo)量場2225( , , ) (1)(2)xyzux y zxyz 如溫度場如

2、溫度場, ,電位場電位場, ,高度場等。高度場等。矢量場矢量場2232( , )1xyzx y zxyzxzx yAeee如速度場如速度場, ,電場、磁場等。電場、磁場等。 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個矢量函數(shù)矢量函數(shù), ,其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。1.2 1.2 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度一、通量一、通量 矢量場的通量 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 dsAS 定義矢量定義矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S 的面積分的面積分dSAS為為矢量

3、矢量 A A 穿過有向曲面穿過有向曲面S 的通量的通量二、散度二、散度10divlimdsAAS直角坐標(biāo)系中散度的計算公式直角坐標(biāo)系中散度的計算公式div xyzyxzAAAAA 如果包圍點如果包圍點P 的閉合面的閉合面S 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 以任意方式縮小為點以任意方式縮小為點P 時時, , 通量與通量與體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場體積之比的極限存在，定義該極限為矢量場A A 在在P 點的散度。即點的散度。即三、散度的物理意義三、散度的物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性。散度代表矢量場的通量源的分布特性。 A A = = 0 (0 (無源無源） 在矢量場中，若在矢量場中，若

4、A= 0，稱之為有源場，稱之為有源場， 稱為稱為( (通量通量) )源密度；若矢量源密度；若矢量場中處處場中處處 A=0，稱之為無源場。，稱之為無源場。 矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。 = = 0 (0 (正源正源) ) A A = = 0 (0 (負(fù)負(fù)源源) ) A A四、高斯定理四、高斯定理( (散度定理散度定理) )10divlimdSAAS0divlimdSAASn1=-n2n1n2111divdSAAS222divdSAAS)divdVAdSAS高斯定理高斯定理ddiv ddSvv ASAA 對于有限大體積對于有限大體積 ，可將其

5、按如圖可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小體積元有方式進(jìn)行分割，對每一小體積元有式中式中S為為 的外表面的外表面 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域 中場中場A與邊界與邊界S上上的場的場A之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。1.3 1.3 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流 旋度旋度一、環(huán)流一、環(huán)流定義矢量場定義矢量場A沿空間有向閉合曲線沿空間有向閉合曲線C的積分的積分 dcAl為為A的的環(huán)流環(huán)流二、旋度二、旋度1. 1. 環(huán)流密度環(huán)流密度 過點過點P 作一微小曲面作一微小曲面S,它的邊界曲線記為它的邊界曲線記為C,面的法線方與曲線繞向成右手面的法線方與曲線繞向成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)螺旋關(guān)系。當(dāng)S 收縮至收縮至P 點附近點

6、附近時時, ,存在極限存在極限0dlimcSSlSSn 環(huán)流的計算ACP 該極限值與該極限值與S 的形狀無關(guān)，但與的形狀無關(guān)，但與S的方向的方向n 有關(guān)。稱為有關(guān)。稱為矢量場矢量場 A A 在在P 點沿點沿n 方向的方向的環(huán)流密度環(huán)流密度2. 2. 旋度旋度 旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用用 表示表示rot A它與環(huán)流密度的關(guān)系為它與環(huán)流密度的關(guān)系為0dlimro tcnSeSlA在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下rotxyzxyzxyzAAA AAeee三、旋度的物理意義三、旋度的物理意義

7、矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。 點點P的旋度的大小是該點環(huán)流密度的最大值。的旋度的大小是該點環(huán)流密度的最大值。 點點P的旋度的方向是該點最大環(huán)流密度的方向。的旋度的方向是該點最大環(huán)流密度的方向。四、斯托克斯定理四、斯托克斯定理d() dc lAASd() dSl AASl0dlimro tcnSSlAe由旋度的定義由旋度的定義 對于有限大面積對于有限大面積S，可將其按如圖方可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小面積元有式進(jìn)行分割，對每一小面積元有c)() dS ASdclA斯托克斯定理斯托克斯定理11d() dc lAAS22d() dc lAAS

8、1.4 1.4 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度一、一、 方向性導(dǎo)數(shù)與梯度方向性導(dǎo)數(shù)與梯度,uxyzc等值面等值面：標(biāo)量場中量值相等的點構(gòu)成的面：標(biāo)量場中量值相等的點構(gòu)成的面。方向性導(dǎo)數(shù)方向性導(dǎo)數(shù) 考慮標(biāo)量場中兩個等值面考慮標(biāo)量場中兩個等值面,uuu 00limlimuuuuuuuPMPMl uPNleMuu ne梯度梯度 由方向性導(dǎo)數(shù)的定義可知：沿等值由方向性導(dǎo)數(shù)的定義可知：沿等值面法線面法線 的方向性導(dǎo)數(shù)最大的方向性導(dǎo)數(shù)最大。ne故故gradnuuen標(biāo)量場標(biāo)量場 在在P點的梯度是一個矢量點的梯度是一個矢量大?。鹤畲蠓较蛐詫?dǎo)數(shù)大?。鹤畲蠓较蛐詫?dǎo)數(shù)方向：最大方向性導(dǎo)數(shù)所在的方向方向：最大方向性導(dǎo)數(shù)所

9、在的方向, , ,u x y z為標(biāo)量場為標(biāo)量場 在在P點沿點沿 方向的方向的方向方向性導(dǎo)數(shù)。性導(dǎo)數(shù)。其大小與方向其大小與方向 有關(guān)有關(guān)。le, , ,u x y zle 定義標(biāo)量函數(shù)定義標(biāo)量函數(shù) 沿給定方向沿給定方向 的變化率的變化率。le( , , )u x y z可得可得gradluu elgradgradgradxyzuu exuu eyuu ez在直角坐標(biāo)系中梯度的計算公式在直角坐標(biāo)系中梯度的計算公式gradxyzuuuueeeuxyz 1.5 1.5 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度散度、旋度及及邊界條件邊界條件惟一地確定。惟一地確定。已知已知矢量矢量A