2017《5年高考3年模擬》B版(浙江省專用)教學(xué)教師專用題組

1、第十三章直接證明與間接證明考點(diǎn)一直接證明與間接證明8.（2011 全國,21,12 分）已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn),F 為橢圓 C:x2+_=1 在 y 軸正半軸上的焦點(diǎn),過 F 且斜率為-經(jīng)驗證，點(diǎn) P 的坐標(biāo)匚一,-1 打滿足方程 x2+=1,故點(diǎn) P 在橢圓 C 上.（6 分）11的方程為 y=-x.由、得|1、|2的交點(diǎn)為 N -, - .（9 分） |NP|=-|x2-X1|=|AM|= |MN|=|NA|=-故 |NP|=|NA|.又 |NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以 |NA|=|NP|=|NB|=|NQ|, 由此知 A、P、B、Q 四點(diǎn)在以 N 為圓心，NA 為半徑的圓上

2、.(12 分)評析本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系、四點(diǎn)共圓和計算能力通過證明|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|得到 A、P、B Q 在同一圓上是得分關(guān)鍵正確的計算是解題的重點(diǎn)和難點(diǎn)本題屬難題一的直線 I 與 C 交于 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足 +=0.（1）證明：點(diǎn) P 在 C 上；（2）設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于點(diǎn) O 的對稱點(diǎn)為 Q,證明:A、證明（1）F（0,1）,I 的方程為 y=-_x+1,代入 x2+=1 并化簡得 4X2-2_x-仁 0.（2分）設(shè) A(X1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),貝卩 X1=,x2=-,x1+X2=一,y1+y2=-(x1+X2)+2=1,由題

3、意得 X3=-(x1+X2)=,y3=-(y1+y2)=-1.設(shè) AB 的中點(diǎn)為 M,則 M ,-,AB 的垂直平分線l2的方程為 y=x+-.|AB|=所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2)由 P1和題設(shè)知，Q（匚,1）,PQ 的垂直平分線9.(2011 陜西,21,14 分)設(shè)函數(shù) f(x)定義在(0,+R)上，f(1)=0,導(dǎo)函數(shù) f (x)= -,g(x)=f(x)+f(x).求 g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；討論 g(x)與 g -的大小關(guān)系；是否存在 XoO,使得|g(x)-g(xo)|0 成立?若存在，求出 xo的取值范圍；若不存在，請說明理由解析由題設(shè)易知 f(x)=Inx,g(x)=lnx

4、+-， g(x)= ,令 g(x)=0 得 x=1,當(dāng) x(0,1)時,g(x)0,故(1,+ 是 g(x)的單調(diào)增區(qū)間，因此,x=1 是 g(x)的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以最小值為 g(1)=1 (2) g - =-In x+x,設(shè) h(x)=g(x)-g- =2ln x-x+ 一，貝 V h(x)=- ,當(dāng) x=1 時,h(1)=0,即 g(x)=g -,當(dāng) x(0,1) U(1,+ s)時,h(x)0,h(1)=0,因此,h(x)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng) 0 xh(1)=0,即 g(x)g -;當(dāng) x1 時,h(x)h(1)=0, 即 g(x)0,使|g(x)-

5、g(x。)|0 成立,即對任意 x0,有 In xg(x0)0,使|g(x)-g(x。)|0 成立.證法二：假設(shè)存在 xo0,使|g(x)-g(x0)|0 成立.由(1)知,g(x)的最小值為 g(1)=1,又 g(x)=lnx+-ln x,而 x1 時,ln x 的值域為(0,+s), 羽 時,g(x)的值域為1,+s),從而可取一個 X11,使 g(x1)為(x0)+1,即 g(x1)-g(x0)，故|g(x1)-g(x0)|羽一,與假設(shè)矛盾.不存在 Xoo,使|g(x)-g(x0)|0 成立.評析(1)掌握對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式是解題關(guān)鍵；(2) 所比較大小的式子中，若含有不同類型的結(jié)構(gòu)，應(yīng)

6、采用構(gòu)造函數(shù)法比較大小(3) 注意反證法的應(yīng)用.考點(diǎn)二數(shù)學(xué)歸納法5.(2014 重慶,22,12 分)設(shè) ai=1,an+i= (1)若 b=1,求a2,a3及數(shù)列an的通項公式;若 b=-1，問：是否存在實數(shù) c 使得 a2nca2n+1對所有 nON*成立？證明你的結(jié)論解析(1)解法一 :a2=2,a3=+1.2 2由題設(shè)條件知(an+1-1) =(an-1) +1,從而(an-1)2是首項為 0,公差為 1 的等差數(shù)列*故(an-1) =n-1,即 an=- +1(n N).解法二:a2=2,a3=+1,可與為 a1=- +1,a2=- +1,a3=- +1.因此猜想 an=- +1.下

7、用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng) n=1 時結(jié)論顯然成立.假設(shè) n=k 時結(jié)論成立，即 ak= - +1,則ak+1=-+1=-+1 =這就是說，當(dāng) n=k+1 時結(jié)論成立.所以 an=- +1(n N).解法一：設(shè) f(x)=-1,則 an+1=f(an).令 c=f(c),即 c= -1,解得 c=-.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題a2nca2n+11.當(dāng) n=1 時,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以 a2-a31,結(jié)論成立.假設(shè) n=k 時結(jié)論成立,即 a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即 1ca2k+2a2.再由 f(x)在(-g,1上為減函數(shù)得c=f(c)f(a2k+

8、2)f(a2)=a31.故 ca2k+31,因此匕 a2(k+1)ca2(k+1)+11.這就是說，當(dāng) n=k+1 時結(jié)論成立.綜上,符合條件的 c 存在，其中一個值為 c=-.+b(n N).-+1.解法二：設(shè) f(x)=-先證:0 an1(n N).當(dāng) n=1 時,結(jié)論明顯成立 假設(shè) n=k 時結(jié)論成立,即 Ok1. 易知 f(x)在(-g ,1上為減函數(shù)，從而 0=f(1) wf(ak) (0)=一-11.即 03k+iW.這就是說，當(dāng) n=k+1 時結(jié)論成立.故成立.再證:a2na2n+i(n N).當(dāng) n=1 時,a2=f(l)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有 a2a3,即

9、 n=1 時成立.假設(shè) n=k 時,結(jié)論成立,即 a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.這就是說，當(dāng) n=k+1 時成立.所以對一切 n N 成立.由得 a2n-1,2即(a2n+1) -2a2n+2,因此 a2nf(a2n+1),即 a2n+1a2n+2,所以 a2n+1-1,解得 a2n+1f 綜上，由、知存在 c=-使 a2nc0),f(an+1)=g(an),證明：存在常數(shù) M,使得對于任意的 nCN,都有 anM.解析(1)由 h(x)=x3-x-知,x 0,+g),而 h(0)=0,且 h(1)=-10,則 x=0

10、 為 h(x)的一個零點(diǎn),且 h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn).因此 h(x)至少有兩個零點(diǎn).2 2解法一 :h(x)=3x-1- -，記0(x)=3x -1- - 一，則0(x)=6x+ - ,當(dāng) x(0,+g)時，0(x)0,因此0(x)在(0,+g)上單調(diào)遞增，則0(x)在(0,+g)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn).又因為0(1)0,0 0,則0(x)在一 內(nèi)有零點(diǎn).所以0(x)在(0,+g)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)-1,則 an+i=f(an).記此零點(diǎn)為 x1,則當(dāng) xqo,x1)時,$ (x) $ (x1)=0.所以,當(dāng) xqo,x1)時,h(x)單調(diào)遞減而 h(0)=0,則 h(x)在(0,x1內(nèi)無零

11、點(diǎn)；當(dāng) x(x1,+g)時,h(x)單調(diào)遞增，則 h(x)在(xi,+g)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)從而 h(x)在(0,+g)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn) 綜上所述,h(x)有且只有兩個零點(diǎn)2-解法二：由 h(x)=x(x -1-),2記 $ (x)=x -1-_,則 $ (x)=2x+ -_.當(dāng) x(0,+ g)時，$(x)0,從而$ (x)在(0,+g)上單調(diào)遞增，則$ (x)在(0,+g)內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)因此 h(x) 在(0,+g)內(nèi)也至多只有一個零點(diǎn)綜上所述,h(x)有且只有兩個零點(diǎn)證明：記 h(x)的正零點(diǎn)為 xo,即=xo+ (i) 當(dāng) axo時,由 a1=a,即 a1xo,而=a1+ xo+= 因此匕 a2xo.由此猜測:anxo,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1當(dāng) n=1 時,a1xo顯然成立.2假設(shè)當(dāng) n=k(k 羽)時,akxo成立，則當(dāng) n=k+1 時，由=ak+xo+= 知,ak+1xo因此,當(dāng) n=k+1 時,ak+1xo成立故對任意的 n N,anx成立(ii)當(dāng) a 汰o時，由(1)知,h(x)在(xo,+g)上單調(diào)遞增，則 h(a)緯(xo)=O,即 a 為+從而 =a1+ =a+4,即a2魚 由此猜測:an魚下面用數(shù)學(xué)歸納