第二章極限與連續(xù)第二三節(jié)函數(shù)的極限

1、 前面討論了數(shù)列前面討論了數(shù)列xn=f (n)的極限的極限, 它是函它是函數(shù)極限中的特殊情形數(shù)極限中的特殊情形, 特殊性在于特殊性在于: n只取自只取自然數(shù)然數(shù), 且且n趨于無(wú)窮大趨于無(wú)窮大. 現(xiàn)在討論現(xiàn)在討論y=f (x)的極限的極限, 自變量自變量x大致有大致有兩種變化形式兩種變化形式. (1) x, (2) xx0 (有限數(shù)有限數(shù)). 并且并且, x不是離散變化的不是離散變化的, 而是連續(xù)變化的而是連續(xù)變化的. 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限討論f (x)=1/x在x +時(shí)的變化情況 yx0定義定義1.1. 設(shè)設(shè)f (x)在在(a, + )內(nèi)有定義內(nèi)有定義, Axfx )(lim也可

2、記為也可記為 f (x)A, (x+ )若若 0, M 0, 當(dāng)當(dāng)xM時(shí)時(shí), 相應(yīng)的函數(shù)值相應(yīng)的函數(shù)值f (x)滿滿足足 | f (x) A |0”.但是, 數(shù)列極限中n是離散變化的, 而這里x是連續(xù)變化的.Axfx )(lim則記則記若 0, M 0, 當(dāng)xM 時(shí), 有|f (x)A |0, 自然數(shù)N, 使得當(dāng)nN 時(shí), 都有|xna|,.limaxnn則記例例1. 證明, 0limxxa 其中 0a1.證證: 0 1, 要使|ax0 |=ax0, M 0, 當(dāng)xM 時(shí),有|f (x)A |0, M0, 當(dāng)當(dāng)x-M時(shí)時(shí), 相應(yīng)的函數(shù)值相應(yīng)的函數(shù)值f (x)滿足滿足 | f (x) A |0,

3、 M 0, 當(dāng)當(dāng)|x|M時(shí)時(shí), 相應(yīng)的函數(shù)值滿足相應(yīng)的函數(shù)值滿足| f (x) A | 則稱(chēng)則稱(chēng)A為為 f (x)當(dāng)當(dāng)x時(shí)的極限時(shí)的極限,記作記作 )( ,)( )(lim xAxfAxfx或或由定義由定義1, 2可知可知axfxfaxfxxx)(lim)(lim )(lim，和和作作直直線線 AyAy, ,MM 則則總總有有一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間在在此此區(qū)區(qū)間間之之外外，.)(之之間間的的圖圖形形位位于于這這兩兩條條直直線線函函數(shù)數(shù)xfy AM M0yx A A幾何意義幾何意義例例2 用定義證明用定義證明212limxxx，即可，即可因此取因此取只需只需成立，成立，要使要使 1X,1xx12x12

4、x2)x( f, 0 若當(dāng)若當(dāng)x x0時(shí)時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x)A, 則則稱(chēng)稱(chēng)A是是f (x)當(dāng)當(dāng)x x0時(shí)的極限時(shí)的極限, f (x)A可用可用| f (x) A | 刻劃刻劃,如何用精確的數(shù)學(xué)如何用精確的數(shù)學(xué)而而x x0則則可用可用 |x x0 |0, 0, 當(dāng)當(dāng)0|x x0| 時(shí)時(shí),相應(yīng)的函相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)值f (x)滿足滿足 | f (x) A |0”,將將“ nN ” 換成換成“ 0|x x0|0, 自然數(shù)自然數(shù)N, 使得使得當(dāng)當(dāng)nN 時(shí)時(shí), , 都有都有|xn a|0, 0, 當(dāng)當(dāng)0|x x0| 時(shí)時(shí), | f (x) A | , 則記則記Axfxx )(lim0.l

5、imaxnn則記而現(xiàn)在而現(xiàn)在 x x0, “ 0|x x0|N” 表示了表示了n充分大這一意思充分大這一意思. 1）2）即使函數(shù) f(x)在x0點(diǎn)無(wú)定義，仍可考慮)(lim0 xfxx的存在問(wèn)題:3） 00 xx意味;0 xx 如果函數(shù) f( x) 在 x0 有定義，4）由定義知：；為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù))(lim00 xccxx ?)(lim0 xfxx是否必存在極限注意注意xx0 意為從 x0 兩側(cè)無(wú)限接近x0；?)()(lim00 xfxfxx 是否必有00limxxxx 的的某某去去心心鄰鄰域域，都都能能定定出出0 x例 證明3)12(2)( xxf. 2)12(lim2/1 xx，對(duì)對(duì)

6、任任意意給給定定的的0 在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形函函數(shù)數(shù))(xfy AyAy和和位位于于以以直直線線.為為邊邊的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)證,2) 12( x欲使,2/12 x只要幾何意義幾何意義22 x任意給定 0, 因?yàn)槔?證明. 2) 12(lim2/ 1 xx所所以以. 4lim22 xx22lim4.xx ,2 故故可可取取,2)( xf必必有有, 31 x不不妨妨設(shè)設(shè),5 故故可可取取( )4,f x 必必有有對(duì)于任意給定的正數(shù)， 252)2( xxx因?yàn)?42 x所以要使,25 x只要4)( xf42 x,2/10 x當(dāng)當(dāng)證時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 20 x .2/1,2/1, 12121

7、4)(2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)無(wú)無(wú)定定義義時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxxfyx012xx xyyy=f (x)x11/221214lim22/1 xxx例例4. 證明 證證: 0,|12|21214|2)(|2 xxxxf因因要使要使|f (x)2| , 只須只須| 2x 1| . 21214lim21 xxx(本例說(shuō)明f (x)在x0無(wú)定義, 但其極限可能存在)取取 = .則當(dāng)則當(dāng)0|2x 1| 時(shí)時(shí), 有有|f (x)2|0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時(shí), 有 | f (x) a |0,|2sin22sin2cos2|sinsin| 00000 xxxxxxxxxx因要使|sinx sinx0| , 只須|x x0

8、|0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時(shí), 有 | f (x) a |0, 0. 當(dāng)當(dāng)0 xx0 (或或0 x0 x ) 時(shí)，有時(shí)，有|)(|axf則稱(chēng)則稱(chēng)a為為f (x)當(dāng)當(dāng)xx0的右極限的右極限(或左極限或左極限), 記作記作)( ,)( )(lim00 xxaxfaxfxx，也可記作)( ,)( )(lim00 xxaxfaxfxx，也可記作或左、右極限左、右極限例：例：設(shè)f (x) = 1 ,當(dāng)x0時(shí), x,當(dāng)x0時(shí),).(lim0 xfx討論解：解： f (x)是一個(gè)分段函數(shù)，x=0是這個(gè)分段函數(shù)的分段點(diǎn). 由于當(dāng)x0, 0, 當(dāng)0|xx0| 時(shí), | f (x) a |0, 0. 當(dāng)0 x

9、x0 (或0 x0 x 0時(shí),).(lim0 xfx討論解：解： f (x)是一個(gè)分段函數(shù)，x=0是這個(gè)分段函數(shù)的分段點(diǎn). 由于當(dāng)x0時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x) =-x.)(lim 0 xfx故由于當(dāng)x0時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x) = x.)(lim 0 xfx 故0)(lim 1.0 xfx由定理對(duì)一個(gè)分段函數(shù)來(lái)說(shuō)，其分段點(diǎn)處的極限要分左、右極限討論.0lim0 xx0 例例6：設(shè) f (x) = x ,當(dāng)x0時(shí),sinx, 當(dāng)x0時(shí),).(lim0 xfx討論解：解： f (x)是一個(gè)分段函數(shù)，x=0是這個(gè)分段函數(shù)的分段點(diǎn). 由于當(dāng)x0時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x) =x.)(lim 0

10、 xfx故由于當(dāng)x0時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x) = sinx.)(lim 0 xfx 故0)(lim 1.0 xfx由定理對(duì)一個(gè)分段函數(shù)來(lái)說(shuō)，其分段點(diǎn)處的極限要分左、右極限討論.0lim0 xxxxsinlim0 00sin例例7：設(shè) f (x) = x ,當(dāng)x0時(shí),cos x, 當(dāng)x0時(shí),).(lim0 xfx討論)(lim 0 xfx而)(lim 0 xfx 解：解：左、右極限存在, 但不相等,.)(lim 0不存在故xfxxx0lim= 0 xxcoslim0 10cos以后, 常用下列記號(hào)表示函數(shù)的左, 右極限)(lim)0( ),(lim)0(0000 xfxfxfxfxxxx 看

11、圖x0+cosxxyx01yy.)(lim)(0存在，則極限唯一若xfxxx)0(0,)(lim)( 0aaaxfxx或若保號(hào)性定理時(shí)，當(dāng)則 |00oxx, 0),0(0,)(limaaaxfx則或若)0)(0)(|xfxfXx或時(shí)，有當(dāng)定理2.定理3.) 0)( 0)(xfxf或有.)(lim),0)(0)( )(0存在且或若xfxfxfxxx).0)(lim(0)(lim )()(00 xfxfxxxxxx或則. 0)(lim0)(0 xfxfxx，也只能推出即使: :注意注意0|1lim01 0 x|x|xx，但如推論:定義5: 若存在x0的某去心鄰域 (x0)，使得f (x)在 (x0)內(nèi)有界，則稱(chēng)f (x)是x xo時(shí)的有界量.若 0，使得f (x)在(, X)(X, +) 內(nèi)有界, 則稱(chēng)f (x)是x時(shí)的有界量.比如y=x2在定義域(, +) 內(nèi)是無(wú)界的, 但在 x=0的某個(gè)小鄰域內(nèi)是有界的. 因此, y=x2是x0時(shí)的有界量.y=x20 xyM).(01從函數(shù)圖形上可看出時(shí)的有界量不是 xxy0yxxy1.)(時(shí)的有界量或x0)()(,)(lim若0 xxxfxfxxx是則存在比如: y=sinx在(,+)內(nèi)有界，是x時(shí)的有界量. 但.sinlim不存在xx定理4.定理4的逆命題不成立.cosl