定積分的換元法

1、定積分的換元法定積分的換元法和分部積分法和分部積分法 換元公式換元公式 分部積分公式分部積分公式 小結(jié)小結(jié)1/24根據(jù)根據(jù)微積分基本公式微積分基本公式定積分法，定積分法，不定積分法不定積分法且使用方法與相應(yīng)的不定積分法類似。且使用方法與相應(yīng)的不定積分法類似。2/25一、換元公式一、換元公式, 1 ,baCf ）設(shè)設(shè)（ dxxxf)()( )1(則則有有, 2 ,1 C ）（. ,) , ( , 3ba 上上單單調(diào)調(diào)且且在在）（ )()( xdxf )()()()( duufxu baduuf )(或或 abduuf ; )( batxdxxf)( )( )2( )()(11 )()(batdt

2、f 或或 )()(dtttf . )()(dtttf定理定理3/25證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，);()()( aFbFdxxfba 則則),()( tFt 令令dtdxdxdFt )( 則則)()(txf ),()(ttf )()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù). )()( FF )()(aFbF badxxf)(或或)()(bFaF abdxxf.)(證證畢畢4/25注意注意:（2）不引入新的變量記號(hào)，積分限不變；引入新的不引入新的變量記號(hào)，積分限不變；引入新的變量記號(hào)，積分限跟著變變量記號(hào)，積分限跟著變。例例1 1 20

3、5sincos xdxxxu cos 1066u .61 015duu 205sincos xdxx或或?yàn)闉榉e積分分變變量量以以xcos 205coscos xxd206|cos61 x .61 （1）換元前后換元前后，上限對(duì)上限上限對(duì)上限、下限對(duì)下限下限對(duì)下限；5/25例例2 2 053sinsindxxx 023sincosdxxx變變形形去去絕絕對(duì)對(duì)值值 223sincosdxxx 2023sinsin xdx湊湊分分 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 2023sincos dxxx6/25例例3 3 43)ln1(lneexxxdx湊湊分分 4

4、3)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 43)ln1(ln)(lneexxxd7/25例例4 4 aadxxax022)0(1去根式去根式0, ,sin2 ttax 20cossincosdtttt 20cossin)sin(cos)cos(sin21 dttttttt 20cossinln21221 tt.4 2022)sin1(sincos dttatata 20cossinsincos121dttttt8/25例例 5 5 證證明明：設(shè)設(shè))(xf在在,aa 上上連連續(xù)續(xù)， 若若)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 aaad

5、xxfdxxf0)(2)(； 若若)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 aadxxf0)(. 證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(atxdttf adxxf0)( adxxf0)( adxxf0)( adxxfxf0)()( 為為偶偶函函數(shù)數(shù)；)( ,)(20 xfdxxfa 為為奇奇函函數(shù)數(shù)。)( , 0 xf證證畢畢。9/25奇函數(shù)奇函數(shù)例例6 6 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144

6、dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積10/25例例 7 7 若若)(xf在在1 ,0上上連連續(xù)續(xù)，證證明明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由由此此計(jì)計(jì)算算 02cos1sindxxxx. 證證（1） 20)(sindxxf 0222sin dttftx 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf11/25（2） 0)(sindxxxftx 0)(sin)(dttft 0)sin()( dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sin

7、dxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 12/25* *例例8 8 計(jì)算計(jì)算解解.tan11202002 dxxIxuI 2 )(cot11022002 duu 202002cot11 duu 202002tan/111 dxx 2020022002tan1tan dxxx 2020022002tan11)1(tan dxxx.4 II 2 13/25，、設(shè)設(shè) ,1)()( baCxvxu 二、分部積分公式二、分部積分公式則則 badxxvxu )()(微微積積分分基基本本公公式式badxxvxu )()(不不定定積積分分

8、的的分分部部積積分分法法 badxxvxuxvxu )()()()( baba dxxvxuxvxu )()( )()(微積分基本公式微積分基本公式 babadxxvxuxvxu. )()( )()(得得分部積分公式分部積分公式，、設(shè)設(shè) ,1)()( baCxvxu 則則 badxxvxu )()( baxvxu)()( badxxvxu . )()(14/25 定積分的分部積分公式的用法與不定積分的分部定積分的分部積分公式的用法與不定積分的分部積分公式的用法類似積分公式的用法類似。例例9 9 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解 210arcsin xdx 210arcsinxx 210

9、21xxdx621 12 為為積積分分變變量量換換元元：以以x)1(112120221xdx 12 21021x . 12312 消反三角函數(shù)，可用分部積分法。消反三角函數(shù)，可用分部積分法。15/25另解另解 210arcsinxdx 60sin tt分分部部積積分分 60sin tdt216 60cos t . 12312 60sinarcsinsin tdttxxt則則換換元元：例例9 9 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx16/25例例1010 402cos1 xxdx半半角角公公式式 xdxtan240 分分部部積積分分 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218

10、 x.42ln8 402cos2 xxdx17/25例例1111 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 18/25例例1212 求求 2 0 2.cos xdxex 2 0 2cos xdxex 2 0 2sin xdex202 sin xex 2 0 2sin xxde 2 0 2sin2 xdxeex 2 0 2cos2 xdeex 22 0 202)cos cos(2 xxxdexee 2 0 2cos42 xdxe

11、ex).2(51cos202 exdxex解解19/25例例1313 求求及及 sin20 xdxInn解解 20 sin dxxn 20cos xdxInntx 2 02cos dttn 20cos tdtn.nnII ，又又2 0 I; 1 1 I分部積分分部積分 nI xxdnoscsin201 220101sincos cossin xxdxxnn時(shí)時(shí) 2 n020/25 2022cossin)1( xdxxnnnnnInInI)1()1(2 21 nnInnI得遞推公式得遞推公式 )( nnII為為偶偶數(shù)數(shù)；nnn ,2! !)!1( 為為奇奇數(shù)數(shù)。nnn ,! !)!1( )231

12、(4 nInnnnx2sin1 21/25* *例例1414 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因?yàn)橐驗(yàn)閠tsin沒有初等形式的原函數(shù)（沒有初等形式的原函數(shù)（積分正弦積分正弦)， 無法直接求出無法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 1 0 2)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 1 0 222 2sin 21dxxxxx 1022)(sin21xdx 102cos21x ).11(cos21 102sin221dxxx22/25三、小結(jié)三、小結(jié)1、使用定積分的換元法時(shí)要注意積分限的對(duì)、使用定積分的換元法時(shí)要注意積分限的對(duì)應(yīng)。應(yīng)。3、定積分分部積分公式的用法與不定積分分、定積分分部積分公式的用法與不定積分分部積分公式的用法類似。部積分公式的用法類似。2、不引入新的變量記號(hào)，積分限不變；引入新的變量記號(hào)，積分限跟著變。23/25*思考題思考題指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的錯(cuò)錯(cuò)誤誤，并并寫寫出出正正確確的的解解法法. 解解 令令,sectx ,