2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理工類）

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題），第I卷1至2頁，第II卷3至4頁，共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿上答題無效，考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。1.設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個(gè)數(shù)是（ ）（A）3（B）4（C）5（D）62.設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項(xiàng)為（ ）（A）15x4（B）15x4（C）20i x4（D）2

2、0i x43.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（ ）（A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（D）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度4.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）（A）24（B）48（C）60（D）725.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）（ A）2018年（B）201

3、9年（C）2020年（D）2021年6.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為（ ）（A）9 （B）18 （C）20 （D）357.設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足(x1)2+(y1)22，q：實(shí)數(shù)x，y滿足則p是q的（ ）（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件8.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為（

4、 ）（A）（B）（C）（D）19.設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)=圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則PAB的面積的取值范圍是（ ）（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)10.在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足=,=-2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足=1，=，則的最大值是（ ）（A）（B）（C）（D）第II卷（非選擇題 100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.cos2sin2= .12.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是

5、 .13.已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 。14.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f（x）=，則f（-52）+ f（1）= 。15在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x，y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)“為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線定義為曲線C的“伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”關(guān)于y軸對(duì)稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是_（寫出所有真

6、命題的序列）.三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（II）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（III）若

7、該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由.17.（本小題滿分12分）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且.（I）證明：；（II）若，求.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD.E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90.（I）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中q0，.（I）若成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式

8、；(ii)設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.20.（本小題滿分13分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.（I）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；（II）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)，使得PT2=PAPB，并求的值.21.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（I）討論f(x)的單調(diào)性；（II）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+）內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。2016年普通高等

9、學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理工類）試題參考答案一、選擇題1C 2A 3D 4D 5B6B 7A 8C 9A 10B二、填空題11 12 13 142 15三、解答題16（本小題滿分12分）（）由頻率分布直方圖知，月均用水量在0,0.5)中的頻率為0.080.5=0.04，同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)中的頻率分別為0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30（）由（），100位居民每人月均用水量不低于

10、3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000（）因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880.85，而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85，所以2.5x0)則a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C代入+=中，有+=，變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在ABC中，由A+B+C=，有sin(A+B)=sin(C)=sin

11、 C，所以sin Asin B=sin C（）由已知，b2+c2a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cos A=所以sin A=由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以sin B=cos B+sin B，故tan B=418. （本小題滿分12分）（）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M（M平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形. 從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（說明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一

12、點(diǎn)）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.過點(diǎn)A作AHCE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PH.易知PA平面ABCD，從而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過A作AQPH于Q，則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.于是CDPD.從而PDA

13、是二面角P-CD-A的平面角. 所以PDA=45.由PAAB，可得PA平面ABCD.設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.作AyAD，以A為原點(diǎn)，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin= = .所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 .19.（本小題滿分12分）（）由已知， 兩式相減得到.又由得到，故對(duì)所有都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等差數(shù)列，可得，即，則，由已知,，故 .所以.（）由（）可知，.所以雙曲線的離心率 .由解得.因?yàn)?，所?于是，故.20.（本小題滿分13分）（I）由已知，則橢圓E的方程為.有方程組 得.方程的判別式為，由，得，此時(shí)方程的解為，所以橢圓E的方程為.點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）.（II）由已知可設(shè)直線 的方程為，有方程組 可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ），.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為 .由