高考數(shù)學專題《數(shù)列》超經(jīng)典

1、高考復習序列-高中數(shù)學數(shù)列一、數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系 （注：該公式對任意數(shù)列都適用） （注：該公式對任意數(shù)列都適用） （注：該公式對任意數(shù)列都適用）sn+1-sn-1=an+1+an （注：該公式對任意數(shù)列都適用）二、等差與等比數(shù)列的基本知識1、等差數(shù)列1 通項公式與公差：定義式：一般式：推廣形式： ； 前項和與通項的關(guān)系： 前n項和公式：.前n項和公式的一般式： 應用：若已知，即可判斷為某個等差數(shù)列的前n項和，并可求出首項及公差的值。與的關(guān)系：（注：該公式對任意數(shù)列都適用）例：等差數(shù)列， （直接利用通項公式作差求解） 常用性質(zhì)：若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等差中項，則有

2、2n、m、p成等差數(shù)列；等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如，）仍是等差數(shù)列；為公差為d等差數(shù)列，為其前n項和，則，也成等差數(shù)列,A、 構(gòu)成的新數(shù)列公差為D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；B、 對于任意已知Sm，Sn，等差數(shù)列 公差，即也構(gòu)成一個公差為等差數(shù)列。若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則偶奇； ；若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則奇偶；。 例：已知等差數(shù)列，其中 解析：法一，用等差數(shù)列求和公式 求出法二，成等差數(shù)列，設(shè)公差為D，則：法三, 63. 等比數(shù)列的通項公式： 一般形式：；推廣形式：，其前n項的和公式為：，或.數(shù)列為等比數(shù)列 常用性質(zhì)： 若m+n=p+q ，則有 ；特別

3、地：若的等比中項，則有 n、m、p成等比數(shù)列; 等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列”（如，）仍是等比數(shù)列；為等比數(shù)列，為其前n項和，則，也成等比數(shù)列（僅當當或者且不是偶數(shù)時候成立）；設(shè)等比數(shù)列的前項積為，則，成等比數(shù)列 為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列. 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列.判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：是等差數(shù)列中項法：是等差數(shù)列一般通項公式法：是等差數(shù)列一般前項和公式法：是等差數(shù)列判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：（1）定義法：為等比數(shù)列；（2）中項法：為等比數(shù)列； （3）通項公式法：為等比數(shù)列； （4）前項和法：為等比數(shù)列。

4、為等比數(shù)列。數(shù)列最值的求解（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（）；或者求出中的正、負分界項，即：若已知，則最值時的值（）可如下確定或。 例1：等差數(shù)列中，則前 項的和最大。【解析】：例2設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知 求出公差的范圍， 指出中哪一個值最大，并說明理由。【解析】： 由，可知，n=12是前n項和正負分界項，故所以，最大變式：若等差數(shù)列的首項為為31，從第16項開始小于1 ，則此數(shù)列公差d的取值范圍是 解析：，但要注意此時還要一個隱含條件，聯(lián)立不等式組求解。3、若數(shù)列的前n項和，則 ，數(shù)值最小項是第 項?！窘馕?/p>

5、】：法一（導數(shù)法）：根據(jù)等差數(shù)列前n項和的標準形式，可知該數(shù)列為等差數(shù)列，令,取得最小值，其中，可見當n=3時取得最小。法二（列舉法）：對于可用列舉法，分別求出n=1、2時的的值，再進行比較發(fā)現(xiàn)。4、已知數(shù)列， 【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令法二（列舉法）：實在沒招時使用該法。5、 已知等差數(shù)列的前n項和 ?！窘馕觥浚?、數(shù)列通項公式的求法：類型1：等差數(shù)列型思路：把原遞推式轉(zhuǎn)化為，再使用累加法（逐差相加法）求解。例，已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為變式： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解： 兩邊除以，得，則，此時，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差

6、數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為評注：本題前的系數(shù)不一致，不能直接使用前述方法，解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進而求出數(shù)列的通項公式。類型2：等比數(shù)列型把原遞推式轉(zhuǎn)化為，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。例 （2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則；故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而求出，從而可得當?shù)谋磉_式，最后再求出數(shù)列的通項公式。類型4：待定系數(shù)法處理 或型數(shù)列把原遞推式轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化思路：例，數(shù)列解：令，所

7、以即是公比為2的等比數(shù)列， =（），或令，是公比為2的等比數(shù)列，所以，變式1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。思路：等式兩邊同時除于；原遞推式變成令，評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，最后再求出數(shù)列的通項公式。變式2：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。思路：將原遞推式兩邊倒數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為變式3：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。思路：將原遞推式兩邊求對數(shù)后換元，再轉(zhuǎn)化為變式4：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。思路：換元，則，再代入原遞推式，再轉(zhuǎn)化為類型5 已知遞推式 求這種類型一般利用導出，消去，得到與的遞推式，再利用前面的方法求解出（知識遷移：）例，已知數(shù)列前n項和，求：（1），（2

8、）通項。解：（1）（2）由上式：，令，即有，而，所以，2，公差為2,的等差數(shù)列，類型6：求用作商法：數(shù)列求和的常用方法然數(shù)和公式： ； ；一、利用等差等比數(shù)列的求和公式求和 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：例1 已知，求的前n項和.解：由，由等比數(shù)列求和公式得 1（利用等比數(shù)列求和公式） 例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得 ， 當 ，即n8時，二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題可知，的

9、通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè). 得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例4 求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè) - 三、反序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個. 例5 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得. 又因為 ，+得 89 S44.5題1 已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得： 所以.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，

10、也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例5 求數(shù)列的前n項和：，解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得 當a1時， 時，五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4） 例6 求數(shù)列的前n項和.解：設(shè) 則 例7 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.解： 數(shù)列bn的前n項和 六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn. 例8 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2&#