九年級(jí)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)初步的有關(guān)知識(shí)

1、初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)初步的有關(guān)知識(shí)一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)初步的有關(guān)知識(shí)知識(shí)要點(diǎn) 平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等都是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本統(tǒng)計(jì)量。其中平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)是從不同角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)；方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來衡量一組數(shù)據(jù)相對(duì)它們的平均數(shù)的離散程度的大小。（一）平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù) 1. 總體、個(gè)體、樣本和樣本容量。 總體是考察對(duì)象的全體，總體中的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體。從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。 2. 平均數(shù)。 3. 中位數(shù)、眾數(shù)。 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)，（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)

2、）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。 4. 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛。（二）方差和標(biāo)準(zhǔn)差 1. 方差： （1）定義：樣本中各數(shù)據(jù)和樣本平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做該樣本的方差。 （2）方差的計(jì)算公式： （3）方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式： （4）數(shù)據(jù)的規(guī)律變化對(duì)平均數(shù)、方差的影響。 2. 標(biāo)準(zhǔn)差： 樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差 3. 樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的特征數(shù)，樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)方差越大，表明樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大，也就是說穩(wěn)定性越差。（三）頻率分布： 1. 頻率分布： 頻率

3、分布反映的是樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小，從而估計(jì)總體的分布規(guī)律。 2. 獲得一組數(shù)據(jù)頻率分布的一般步驟： （1）計(jì)算最大值和最小值的差。 （2）決定組距和組數(shù)。 （3）決定分點(diǎn)。 （4）列頻率分布表。 （5）畫頻率分布直方圖。 3. 有關(guān)的名詞： 在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；每一小組的頻數(shù)和數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率。 在頻率分布直方圖里： 例1. 為了考察北京市初中畢業(yè)升學(xué)數(shù)學(xué)考試的情況，從十二萬五千考生中抽取了1200名考生的成績(jī)，在下列說法中正確的是（ ） A. 十二萬五千名考生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的總和是總體 B. 每個(gè)考生考試成績(jī)是個(gè)體 C. 1200名

4、考生是樣本 D. 1200名考生的成績(jī)是樣本容量 分析：本題主要考查對(duì)四個(gè)基本概念的理解，這里的考察對(duì)象是考生的“數(shù)學(xué)成績(jī)”，而不是“學(xué)生”。因此，十二萬五千名考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)是總體，每個(gè)考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)是個(gè)體。1200名考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)是總體的一個(gè)樣本，1200是樣本容量，故選B。 例2. 為制定本市初中一、二、三年級(jí)學(xué)生校服的生產(chǎn)計(jì)劃，有關(guān)部門準(zhǔn)備對(duì)180名初中男生的身高作調(diào)查，現(xiàn)有三種調(diào)查方案： A. 測(cè)量少年體校中180名男子籃球、排球隊(duì)員的身高 B. 查閱有關(guān)外地180名男生身高的統(tǒng)計(jì)資料 C. 在本市的市區(qū)和郊縣各任選一所完全中學(xué)、兩所初級(jí)中學(xué)，在這幾所學(xué)校有關(guān)年級(jí)的（1）班

5、中，用抽簽的方法分別選出10名男生，然后測(cè)量他們的身高 為了達(dá)到估計(jì)本市初中這三個(gè)年級(jí)男生身高分布的目的，你認(rèn)為采用上述哪一種調(diào)查方案比較合理，為什么？ 分析：本題要求從所給的三種調(diào)查方案中選出合理的方案并闡釋理由，這需要領(lǐng)悟統(tǒng)計(jì)的基本思想，才能做出正確選擇及合理說明。 解：方案C比較合理，因?yàn)榉桨窩采用了隨機(jī)抽樣的方法，隨機(jī)抽樣比較具有代表性，符合用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想。 例3. 求下列各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。 （1）0.1，0.3，0.6，0.2，0.4 （2）39，29，31，36，38，37 （3）3.7，3.5，3.5，3.6，3.5，3.7，3.7 分析：（1）中有五個(gè)數(shù)據(jù)，大小比較分

6、散，宜用定義法。 （2）中的六個(gè)數(shù)據(jù)，都比較接近35，可用新數(shù)據(jù)法。 （3）中一些數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)多次，可選擇加權(quán)平均數(shù)公式來求。 解： （2）取35，用原數(shù)據(jù)分別減去35，得到新數(shù)據(jù)是： 4，6，4，1，3，2 （3）數(shù)據(jù)中3.7出現(xiàn)3次，3.5出現(xiàn)3次，3.6出現(xiàn)1次 例4. 某公司欲聘請(qǐng)一位員工，三位應(yīng)聘者A、B、C的原始評(píng)分如下表 如果按五項(xiàng)原始評(píng)分的平均數(shù)評(píng)分，誰將被聘用？如果按儀表、工作經(jīng)驗(yàn)、電腦操作、社交能力、工作效率的原始評(píng)分分別占10%、15%、20%、25%、30%綜合評(píng)分，誰將被聘用？ 解：人A最高，將被錄用。 （2）按第二種方法綜合評(píng)分，得3.8，3.65，4.05，故應(yīng)聘

7、人C得分最高，將被錄用。 注：按原始評(píng)分的平均數(shù)評(píng)分，突出了“工作經(jīng)驗(yàn)”和“電腦操作”，按后一項(xiàng)方法綜合評(píng)分突出“社交能力”和“工作效率”，各有所長(zhǎng)。 例5. 一家鞋店在一段時(shí)間里銷售了某種女鞋20雙，其中各種尺碼的鞋的銷售量如表所示： 指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)。 分析：數(shù)據(jù)頻數(shù)最高的數(shù)就是眾數(shù)，由于20是偶數(shù)，所以排在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)。 解：這組數(shù)據(jù)中，30、21出現(xiàn)的頻數(shù)都是5，最多，因此眾數(shù)是30，21，將 注：1. 一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)。 2. 本題求中位數(shù)，在排列數(shù)據(jù)時(shí)，易犯如下錯(cuò)誤： 排列數(shù)據(jù)20，21，23，25，28，30 例6. 有14個(gè)數(shù)據(jù)，由小到

8、大排列，其平均數(shù)為34，現(xiàn)在有一位同學(xué)求得這組數(shù)據(jù)前8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為32，后8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為36，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。 分析：這一組數(shù)據(jù)共有14個(gè)數(shù)，且排列順序是由小到大排列的，那么中位數(shù)應(yīng)該是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，只需求出最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)或它們的和即可。 解：設(shè)這組數(shù)據(jù)前6個(gè)數(shù)據(jù)的和為x，中間兩數(shù)據(jù)的和為y，后6個(gè)數(shù)據(jù)的和為z，由題意，得： ，得 68 最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為34，故這14個(gè)數(shù)的中位數(shù)是34。 例7. 如圖所示，是一塊銳角三角形余料，邊120毫米，高80毫米，要把它加工成一個(gè)矩形零件，使矩形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，設(shè)該矩形的長(zhǎng)毫米，寬毫米。 （1）求y和x之間的

9、函數(shù)關(guān)系式。 （2）當(dāng)x和y分別取什么值時(shí)，矩形的面積最大？最大面積為多少？ （3）當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，它的長(zhǎng)和寬是關(guān)于t的一元二次方程個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)，試求a和b的值。 分析：本題綜合性強(qiáng)，內(nèi)容涉及幾何、函數(shù)、方程、統(tǒng)計(jì)知識(shí)。 解：（1）由題意知， （2）設(shè)矩形的面積為S 故當(dāng)40毫米，60毫米時(shí)，矩形面積最大，最大面積為2400平方毫米。 a，10，12，13，b眾數(shù)為10 10或10 當(dāng)10時(shí)，同理可得15。 例8. 從甲、乙兩種農(nóng)作物中各抽取10株苗，分別測(cè)得它們的苗高如下（單位：）： 甲：9，10，11，12，7，13，10，8，12，8； 乙：8，13，12，11，10，12，

10、7，7，9，11。 問：（1）哪種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得比較高？ （2）哪種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得比較整齊？ 分析：比較兩種農(nóng)作物苗高的平均數(shù)可得出哪種農(nóng)作物長(zhǎng)得高，計(jì)算出兩種農(nóng)作物苗高的方差，通過比較可得出哪種農(nóng)作物長(zhǎng)得比較整齊。 解： 兩種農(nóng)作物的苗平均高度相同。 甲種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得比較整齊。 答：甲、乙兩種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得一般高，甲種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得比較整齊。 例9. 一組數(shù)據(jù)1，2，3，x，1，2，3，其中x是小于10的正整數(shù)，且數(shù)據(jù)的方差是整數(shù)，求該數(shù)據(jù)的方差。 分析：本組數(shù)據(jù)中有未知數(shù)據(jù)，要求方差，必須先求出未知數(shù)據(jù)，而建立方差和未知數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。 解： 又x是小于10的正整數(shù)，S2

11、是整數(shù) 7 例10. 在對(duì)某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析中，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)如圖所示（分?jǐn)?shù)取正整數(shù)，滿分為100分），請(qǐng)觀察圖形，并回答下列問題： （1）該班有名學(xué)生； （2）69.579.5這一組的頻數(shù)是，頻率是； （3）請(qǐng)估算該班這次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)。 分析：圖表反映了每一分?jǐn)?shù)段所對(duì)應(yīng)的人數(shù)，這是理解圖表語(yǔ)言的關(guān)鍵。 解：（1）該班人數(shù)為：6+8+10+18+16+2=60（人） 該班這次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)約為71分。 1. 一組數(shù)據(jù)2，4，6，a，b的平均數(shù)為10， （1）求a，b的平均數(shù)。 （2）求4a+7，410的平均數(shù)。 2. 有10個(gè)樣本數(shù)據(jù)，2出現(xiàn)過4次，2.5出現(xiàn)過4次，3出現(xiàn)過

12、2次，求樣本平均數(shù)和方差。 3. 已知數(shù)據(jù)a，a，b，c，d，b，c，c，且滿足a<b<c<d，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。 4. 已知一組數(shù)據(jù)的方差為S2，將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都乘以R，證明所得的一組新數(shù)的方差是R2S2。 5. 已知一組數(shù)據(jù)4，8，x，5，9的平均數(shù)為y，且x、y是方程Z210Z240的兩根，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)。 6. 某班有48名學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，此班學(xué)生中最高得分100分，最低得分51分，分?jǐn)?shù)只取整數(shù)，統(tǒng)計(jì)其成績(jī)，繪制出頻率分布直方圖如圖，圖中從左到右的小長(zhǎng)方形的高度比是1：3：6：4：2，求分?jǐn)?shù)在70.5到80.5之間的人數(shù)。 7. 一次科技知識(shí)競(jìng)賽，兩組學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表： 已經(jīng)算得兩個(gè)組的人均分都是80分，請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組這次競(jìng)賽中成績(jī)誰優(yōu)誰劣，并說明理由。參考答案 1. （1）19（2）84.5 2. 3. 眾數(shù)c；中位數(shù)；平均數(shù)。 5. 解：x、y是方程的兩根。 又當(dāng)6時(shí)，數(shù)據(jù)4，8，x，5，9的平均數(shù)不可能為4，故舍去。 原數(shù)據(jù)為4，8，4，5，9 眾數(shù)為4，中位數(shù)為5，平均數(shù)為6。 6. 18人 7. 解：（1）從眾數(shù)看，甲為90分，乙為70分，甲組成績(jī)較好