教育部課題第3課時-向量加法運算及其幾何意義

1、 教育部重點課題新教育子課題教育部重點課題新教育子課題 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何達(dá)到理想課堂的實踐在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何達(dá)到理想課堂的實踐課題：課題：向量加法運算及其幾何意義向量加法運算及其幾何意義 兩個實數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵.如果向量僅停留在概念的層面上，那是沒有多大意義的.我們希望兩個向量也能相加，拓展向量的數(shù)學(xué)意義，提升向量的理論價值，這就需要建立相關(guān)的原理和法則. 20062006年由于大陸和臺灣沒有直航，因此年由于大陸和臺灣沒有直航，因此20062006年春節(jié)探親，乘飛機(jī)要先從臺北到香港，年春節(jié)探親，乘飛機(jī)要先從臺北到香港，再從香港到上海，則飛機(jī)的位移是多少再從香港到上海，則

2、飛機(jī)的位移是多少? ?上海臺北香港abc上海 臺北 香港 CAB1 1、位移、位移ABBCAC OFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F為F1與F2的合力它們之間有什么關(guān)系探究一：向量加法的幾何運算法則探究一：向量加法的幾何運算法則 思考1：如圖，某人從點A到點B，再從點B按原方向到點C，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結(jié)論？A B CACBCAB 思考2：如圖，某人從點A到點B，再從點B按反方向到點C，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結(jié)論？ACBCABA B C 思考3：如圖，某人從點A到點B，再從點B改變方向到點C，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什

3、么結(jié)論？A BCACBCAB 上述分析表明，位移的合成可看作是向量的加法。2、力的合成F1F2FF1 + F2 = F數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運算的角度看,AC可以認(rèn)為是AB與BC的和,F可以認(rèn)為是F1與F2的和,即位移, 力的合成可看作向量的加法.ab作法（1）在平面內(nèi)任取一點O OAaAB =(2)作 ,bO Bab 作=+(3 )AB這種作法叫做向量向量加法的三角形法則加法的三角形法則,abab +已知向量 求作向量還有沒有其他的做法？向量加法的三角形法則位移的合成可以看作向量加法三角形法 則 的 物 理 模 型oabABC作法（1）在平面內(nèi)任取一點OOAa OBb =(2)作 ,O Cab

4、作=+(3 ) 還有沒有其他的做法？向量加法的平行四邊形法則這種作法叫做向量加法的平行四邊形法則力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型o已知向量a,b,分別用向量加法的三角形法則與向量加法的平行四邊形法則作出a+baboABb+aba 三角形法則物理背景：物理背景：位移位移的合成的合成作圖方法：首尾相連，由起點指向終點！首尾相連，首尾連首尾相連，首尾連平行四邊形法則ABCO物理背景：物理背景：力力的合成的合成作圖方法：將起點放在一起，所作平行 四邊形的對角線即為所求！起點相同，連對角起點相同，連對角ACa b= + AC a b= + ABC(1) 同向ab(2)反向ab00aaa

5、+=+=規(guī)定：,a bab 向向量量是是共共線線向向量量時時又又如如何何作作出出來來？當(dāng),BAC一、向量加法有三角形法則與平行四邊形法則，數(shù)學(xué)上為一、向量加法有三角形法則與平行四邊形法則，數(shù)學(xué)上為什么要這樣規(guī)定？我那樣規(guī)定不行嗎？注意什么？什么要這樣規(guī)定？我那樣規(guī)定不行嗎？注意什么？答：數(shù)學(xué)上的定義、規(guī)定不是胡來的，而是有深刻的現(xiàn)實答：數(shù)學(xué)上的定義、規(guī)定不是胡來的，而是有深刻的現(xiàn)實基礎(chǔ)。三角形法則是向量首尾相連，平行四邊形法則是起基礎(chǔ)。三角形法則是向量首尾相連，平行四邊形法則是起點重合。點重合。判斷 的大小|abab+與1 1、不共線、不共線aboABb+aba |abab+abab+| |

6、| | |a bab+ =+ 2 2、 共線共線(1)同向| | | | |a b ba+ =- 判斷 的大小|abab與+BAC(2)反向abBCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b()()abbaabcabc 數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律,即對任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量a,b的加法是否也滿足交換律與結(jié)合律? 向量加法運算及其幾何意義向量加法運算及其幾何意義的反思的反思 1、向量加法滿足交換律與結(jié)合律的證明根據(jù)什么只能根據(jù)什么？、向量加法滿足交換律與結(jié)合律的證明根據(jù)什么只能根據(jù)什么？ 答：向量加法的定義答：向量加法的定義 2、向量

7、的大小可正可負(fù)，那向量的模只能是正的或等于、向量的大小可正可負(fù)，那向量的模只能是正的或等于0，請，請問模的符號好不好？這個符號會讓你產(chǎn)生模是負(fù)的嫌疑嗎？問模的符號好不好？這個符號會讓你產(chǎn)生模是負(fù)的嫌疑嗎？ 答：符號形象生動，只要與數(shù)的絕對值聯(lián)系起來就可以理解。答：符號形象生動，只要與數(shù)的絕對值聯(lián)系起來就可以理解。 3、在書寫向量的時候記住一條，也就是符號要讓人一看就知道、在書寫向量的時候記住一條，也就是符號要讓人一看就知道是什么含義不要讓人誤會和嫌疑。舉個例子零向量的書寫。符號都是什么含義不要讓人誤會和嫌疑。舉個例子零向量的書寫。符號都是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出來的，是禁得起歷史的考驗。數(shù)學(xué)家都是天才。是

8、數(shù)學(xué)家創(chuàng)造出來的，是禁得起歷史的考驗。數(shù)學(xué)家都是天才。 4、符號表達(dá)向量的加法要知道有兩層意義在運算，一層是大小、符號表達(dá)向量的加法要知道有兩層意義在運算，一層是大小的運算，一層是方向的運算。的運算，一層是方向的運算。 5、實數(shù)滿足交換律和結(jié)合律你覺得向量滿足嗎？為什么？、實數(shù)滿足交換律和結(jié)合律你覺得向量滿足嗎？為什么？ 答：世界是和諧的，雖然有時候無奇不有。如果不滿足，世界答：世界是和諧的，雖然有時候無奇不有。如果不滿足，世界的和諧美被破壞掉，令人不舒服。的和諧美被破壞掉，令人不舒服。 6、兩向量相加如果不共線則用三角形法則或平行四邊形法則，但有種情況、兩向量相加如果不共線則用三角形法則或平

9、行四邊形法則，但有種情況要區(qū)別對待那就是共線，而共線又分成同向和反向但也是首位相連。要區(qū)別對待那就是共線，而共線又分成同向和反向但也是首位相連。根據(jù)圖示填空:(1)a+d=_(2)c+b=_ACDBOabcdDA CB DCBAEgefdcab根據(jù)圖示填空:(1)a+b=_(2)c+d=_(3)a+b+d=_(4)c+d+e=_cffg例2 長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進(jìn)行運輸.如圖所示,一艘船從長江南岸A點出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數(shù)字)(2)求船實際航行的速度

10、的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).解:(1)CAD船速B水速船實際航行速度(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數(shù)字)(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).在RtABC中,CADB=2,=5ABBC 22ACABBC 2225 = 295.45 tan,2CAB因為68CAB船實際航行速度大小約為5.4km/h,方向與水的流速間的夾角為68ABCDEFO1(2)(3)OABCDEFOA OCBC FEOA FE 例1：已知 為正六邊形的中心，作出下列向量（）;1OBOCOA）解：（;2ADFEBC）（. 03

11、FEOA）（補充練習(xí)例2: 求向量 之和. A AB B+ +D DF F+ +C CD D+ +B BC C+ +F FA A解解: : = =A AB B+ +B BC C+ +C CD D+ +D DF F+ +F FA A = =A AC C+ +C CD D+ +D DF F+ +F FA A = =A AD D+ +D DF F+ +F FA A = =A AF F+ +F FA A = = 0 0 A AB B+ +DD F F+ +C C DD+ +B B C C+ +F FA A A AB B+ +D DF F+ +C CD D+ +B BC C+ +F FA A= =0 0 )4( )3( )2( ) 1 (edcdbadcba.化簡_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA_)3(DCCABDAB.根據(jù)圖示填空abcdefgABDECcfgfAD