2018年考研數(shù)學模擬試題數(shù)學一附答案

1、2018年考研數(shù)學模擬試題(數(shù)學一)參考答案一、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個選項中，只有項符合題目要求，把所選項的字母填在題后的括號內(nèi))1.設(shè)f(x)在Sf內(nèi)是可導的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()(A)sinf(x)(B)J0sintf(t)dt(C)J0f(sint)dt(D)Josint+f(t)dt1ex2.設(shè)f(x)=11,1ex.xu0.則x=0是f(x)的().x=0,(A)可去間斷點(B)跳躍間斷點(C)第二類間斷點(D)連續(xù)點3.若函數(shù)f(x)與g(x)在(*,F)內(nèi)可導，且f(x)g(x),則必有().(A)f(-x)g(-x)(B)f

2、(x)：二g(x)(C)limx冏f(x)：lg(x)(D)0f(t)dt。0g(t)dt4.已知級數(shù)CO1-1)n1n-1COan和Za2n分別收斂于n1a,b,則級數(shù)oo工an()n1(A)不一定收斂(B)必收斂，和為2ab(C)必收斂，和為a-2b(D)必收斂，和為a2b5 .設(shè)矩陣A與B(A)3(B)4(C)5(D)6-10相似，則r(A)+r(A2E)=().16 .設(shè)3階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對應(yīng)的特征向量依次為。192P3，令P=(3,：1,221)則PAP=().(A)00(B)00),求球體的質(zhì)量M及球體繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量I,.18 .(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f

3、(x)在2,4上連續(xù)，在(2,4曲可導，且4f(2)=(x1)2f(x)dx,證明：存在3(2,4),使得(2)=21(11.1-19 .(本題滿分10分)(數(shù)學一)證明：在右半平面xA0上，曲線積分j(x+4y)dy4(xy)dx與路徑無關(guān)，并Lx4y求一個二元函數(shù)u=u(x,y),使得小山/年xe-yf(x,y)=0,0:x:y,其它.20 .(本題滿分11分)設(shè)二維隨機向量(X,Y)聯(lián)合概率密度為求條件概率密度fY|X(yx)；z=x+y概率密度.21 .(本題滿分11分)設(shè)Xi,|I,Xn是取自總體X一個簡單隨機樣本，X的概率密度為-xf(x)=x0,x0,求未知參數(shù)日的矩估計量；求未

4、知參數(shù)日的最大似然估計量.TT-T-T22 .(11分)已知兩個向量組%=(1,2,3)，口2=(1,0,1)與3=(-1,2,t),與=(4,1,5).t為何值時，兩個向量組等價？兩個向量組等價時，求出它們之間的線性表示式.23 .(11分)已知二維向量”不是二階方陣A的特征向量證明a,Aa線性無關(guān);若A2。十Aa6a=0,求A的全部特征值，并判斷A能否與對角矩陣相似參考答案一、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個選項中，只有項符合題目要求，把所選項的字母填在題后的括號內(nèi))1 .設(shè)f(x)在3f內(nèi)是可導的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()(A)sinf(x)(B)

5、|osintf(t)dt(C)f(sint)dt(D)sint+f(t)dt解選才iB.由題設(shè)知,xsint,f(t)為偶函數(shù)，故jsint,f(t)dt為奇函數(shù).1e2 .設(shè)f(x)=11-e1，1xk.x=0.一1 則x=0是f(x)的().xx=0,(A)可去間斷點(B)跳躍間斷點(C)第二類間斷點(D)連續(xù)點解選才BB.limf(x)x)0-=lim11exx)0-1 -e1一1，exlimf(x)=lim=一1,故x=0是f(x)的x-0,x-01-ex跳躍間斷點.3.若函數(shù)f(x)與g(x)在(-,依)內(nèi)可導，且f(x)g(x),則必有().(A) f(-x)g(-x)(B) f(

6、x)g(x)(C)limf(x)limg(x)(D)f(t)dtfg(t)dtx闕)x的-0-0解選才iC.由函數(shù)f(x)與g(x)在(-,+=c)內(nèi)可導知，f(x)與g(x)在(*,g)內(nèi)連續(xù)，limf(x)=f(x),limg(x)=g(x0),而f(5)g(x0),故limf(x)x0oO5.已知級數(shù)、(-1廣ann3oO和a2n分別收斂于n1a,b,則級數(shù)an()nd(A)不一定收斂(B)必收斂，和為2ab(C)必收斂，和為a-2b(D)必收斂，和為a2b解選才iD.由級數(shù)Z(1)nan收斂知，場an=0,n1n00Onan的前n項和分別為sn.Sn.ffn,則limSn=a,limS

7、=b,/nnnrnJ02k=&a2III.a2k=(al_a2a3-a4HIa2k1一a2k)2(a2a4IIIa2k)=s2k2sk,故lim02kk；二八kim(s2k2Sk)=a2b,pm-二2k1=心(:2ka2k1)=a2b,oO所以liman=a+2b,級數(shù)an收斂，和為a+2b.n二nW10-1”5 .設(shè)矩陣A與B020相似，則r(A)+r(A2E)=()101J(A)3(B)4(C)5(D)6解選才iA.矩陣A與B相似，則A2E與B2E相似，故r(A)r(A-2E)=r(B)r(B-2E)=21=3.6 .設(shè)3階方陣A的特征值是1,2,3,它們所對應(yīng)的特征向量依次為巴，口2P3

8、,令1P=(33,%，22)則PAP=(),9(A)00010(B)04,001002,000)120(D)03004009,300、解因為3a3P12a2分別為A的對應(yīng)特征值3,1,2的特征向量，故P“AP=0100027 .設(shè)隨機變量X服從-1,1上的均勻分布，則X與Y=e(A)不相關(guān)(B)相關(guān)(C)獨立(D)相關(guān)且不獨立解運AA.經(jīng)計算得，Cov(X,Y)=Cov(X,e*)=E(Xe?)EXEe招=0,PXY=0.8 .設(shè)X1,|,Xn是取自正態(tài)總體N(0,1)一個簡單隨機樣本，則下列結(jié)論中錯誤的是()(A)氏XN(0,1)(B)(n-1)S2nX?2(n-1)(C)-t(n-1)(D

9、)tF(1,n)SX：i1n解選才iD.由一個正態(tài)總體的抽樣分布知A,B,C都正確，X1272(1),Xi272(n),i1但是它們不獨立，不能推出1巴F(1,n).X：i1二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上)9 .設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導數(shù)，且f(x,2x-3x4xfx(1,3)=2,則fy(1,3一.解答案為一1.方程f(x,2x23x+4)=x兩邊對x求導，得fx(x,2x2-3x+4)+fy(x,2x2-3x+4)4x-3)=1,令x=1,得fx(1,3)+fy(1,3)=1,故fy(1,3)=-1.10 .微分方程y+(e1)y=1的通解為c

10、工解答案為y=e(1+Ce).-(e-x.1)dx(e-x.1)dxy=eedxC4x=eex(e*e*dxC)4.x.x=eex(eC)=ex(1Cee).oO11 .設(shè)x2=ancosnx,貝Ua2=n02-二-a2cos2xdx=112 .設(shè)S為錐面z=，x2+y2(0WzWl)外側(cè)，則JJydydz=解答案為0.S關(guān)于yoz面反向?qū)ΨQ，y關(guān)于x為偶函數(shù)，故JJydydz=0.S13 .設(shè)A為n階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1,則齊次方程組Ax=0的通解為.解答案為k(1,1,|,1)T,k為任意常數(shù).由題設(shè)知，r(A)=1,r(A)=n1,nr(A)=1且AA=AE=O,故A的列向量(1

11、,1|0,1)T是Ax=0的基礎(chǔ)解系.14 .設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N(0,1),則Pna(,XY0之=.一3.解答案為一.Pmax(X,Y)20=1Pmax(X,Y)0=1_PX0）的各點密度與坐標原點到該點的距離成反比（比例系數(shù)k0）,求球體的質(zhì)量M及球體繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量Iz.解由題設(shè)知，球體建上任一點的密度P(x,y,z)=,x2y2z2k球體的質(zhì)重M-(x,y,z)dV=dV-.x2y2z22二2acosk2.4.2=di2d-rsindr=一二ka.-0-00r3i/22、轉(zhuǎn)動慣量Iz=m(x2+y2)P(x,y,z)dV=用手2y)2dV-.x2y2z22二

12、-0d2d12acos、,.&kr3sin3:dr016,4ka3518.（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f（x）在2,4上連續(xù)，在（2,4曲可導，且f(2)=/(x1)2f(x)dx,證明：存在Uw(2,4),使得1)=2.-31證令F(x)=(x1)2f(x),貝UF(x)=2(x1)f(x)十(x1)2f(x),由積分中值定理知，存在cW3,4,使得_4f(2)=!(x-1)2f(x)dx=(c-1)2f(c),即F(2)=F(c),3由羅爾定理知，存在C(C匚)(使得F仁30即24一f優(yōu))+_=,1啊fYhfl)。19.(本題滿分10分)(數(shù)學一)證明：在右半平面xA0上，曲線積分f(x+4y

13、)dy+(xy)dx與路徑無關(guān)，并lx24y2求一個二元函數(shù)u=u(x,y),使得du=(x4y)dy(x-y)dx22x4y,Q=x-yx4y2-2x4y2一222Qx4y-2x(x4y)4y-8xy-x-222-222:x(x24y2)2(x24y2)2史-(x2+4y2)-8y(x-y)4y2-8xy-x2Z一(x24y2)2-(x24y2)2在右半平面xo上，的=濟，故曲線積分f(x+4y)dy+(2/24y-y)dx與路徑無關(guān)22x二yLx4y解所求函數(shù)u=Ly)(x，4y)dy，(7y)dx,a。x4y取積分路徑為(1,0)到(x,0),再到(x,y)的折線段，則x1ydx1x0(

14、x4y)dy-22x4y,J2y1=lnxarctan一2x2yln(x2+4y2)01 2y122、=arctanln(x4y).2 x220.(本題滿分11分)xe-y0:二x:y設(shè)二維隨機向量(X,Y)聯(lián)合概率密度為f(x,y)=0xy0,其它.求條件概率密度fY|X(yx)；z=X十丫概率密度.解畫出聯(lián)合概率密度的非零區(qū)域*0,x0時，F(xiàn)Z(z)=PZEz=pX+YEz=fff(x,y)dxdyxy-z-zx02dx、xedy=02dx.z_xzxedyx(e*-e*dx。為/”-1.。2*0,z0fZ(z)=F(z)=z4e：z021.(本題滿分11分)設(shè)Xi,川，Xn是取自總體X一個簡單隨機樣本,X的概率密度為-Qf(x)=xln工0,x0,0二，二1,x1-2：-2,23.(11分)已知二維向量支不是二階方陣A的特征向量.證明0a線性無關(guān);若A*2a+Aa-6=0,求A的全部特征值，并判斷A能否與對角矩陣相似.證設(shè)k0+k2A口=0,則k2=0,否則A=員口，a是的A特征向量，與題設(shè)矛k2