線性代數(shù)(Beta)

1、理論根底層次表述備注矩陣分類定義由m×n個元素排成m行n列的矩形元素表稱為m×n階維矩陣；矩陣用大寫字母A、B記之。m×n的矩陣也可以記為Am×n；元素用aij，對應的矩陣為aijm×n或A=aij元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣；元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣行數(shù)和列數(shù)都為n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。從左上到右下的對角線稱為主對角線，其經(jīng)過的元素稱為主對角元；從右上到左下的對角線稱為副對角線。主對角線以上全為零的方陣稱為下三角陣；以下全零為上三角陣。既是上三角陣又是下三角陣的方陣稱為對角陣。即對角元以外的元素必須為零。記為=diag1,2,n?？梢?/p>

2、把i作為特征值主對角元相同的對角陣為數(shù)量陣或標量陣。當主對角元都為1時那么為單位陣，記為I或E。只有一行的矩陣稱為行矩陣，也稱行向量；只有一列的矩陣稱為列矩陣，也稱列向量。由n個未知數(shù)組成含有m個非齊次線性方程的方程組的系數(shù)矩陣尾列添加對應方程的常數(shù)值那么構成增廣矩陣，并記A=Am×nb。元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O。只有同維的零矩陣才相等矩陣運算定義給定兩個同維m×n矩陣A、B，當他們對應位置的元素都相等時，這兩個矩陣相等，記為A=B。定義數(shù)與矩陣A=aijm×n的乘積記為A或A，規(guī)定A=A=aijm×n且有0A=O和1A=A。兩者合稱線性運算；

3、用等值的數(shù)量陣替代，結(jié)果一樣性質(zhì)A=A+A=A+A定義兩個同維m×n矩陣A、B的和記為A+B，規(guī)定A+B=aij+bijm×n；同理可得差A-B。性質(zhì)A+B=B+AA+B+C=B+A+CA+B=A+B定義設A=aijm×s對B=bijm×s的左乘為C=AB，其中C=cijm×n且cij=k=1saikbkj即相乘的兩矩陣相鄰的維數(shù)相同并在結(jié)果中去掉合并。右乘記為AB，同理。一般左右乘不等，假設相等那么說A、B可交換；只有當矩陣可逆時才能用“除法，即等式的消去律，且只有這個時候才能說明乘積為零矩陣的矩陣有零矩陣性質(zhì)ABC=ABCAB=AB=ABA

4、B+C=AB+AC，B+CA=BA+CAImAm×n=Am×n=Am×nIn定義矩陣的k次冪記為Ak=AAAk個。只有在兩者可交換時才有：ABk=AkBk性質(zhì)AkAl=Ak+lAkl=Akl定義將矩陣的行和列對應互換，得到轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT。即沿“主對角線翻轉(zhuǎn)性質(zhì)ATT=AA+BT=AT+BTAT=ATABT=BTAT如果AT=A那么稱A為對稱矩陣；如果AT=-A那么稱為A反對稱矩陣；對分塊矩陣同理定義對給定矩陣A假設存在B，滿足AB=BA=I，那么稱A可逆。假設A為方陣，只需滿足AB=I或BA=I即可。并稱B為A的逆矩陣，記為A-1。反之亦成立。假設有線性方程x

5、=By，解出x的過程為逆線性變換，記為x=By性質(zhì)可逆矩陣A的逆矩陣唯一?？赡婢仃嘇假設有AB=I，那么必有BA=I。假設A可逆那么A-1也可逆，且A-1-1=A。假設A可逆那么A也可逆，且A-1=1A-1。假設A、B同階可逆那么AB也可逆，且AB-1=B-1A-1。假設A可逆那么AT也可逆，且AT-1=A-1T。變換處理定義假設A的分塊矩陣在主對角線以外都是零子塊，且主對角子塊都為方陣，那么稱A為分塊對角矩陣。該性質(zhì)對不分塊的對角矩陣也有效：即元素都變?yōu)榈箶?shù)；假設為反對角陣那么為倒數(shù)的逆序。性質(zhì)假設A=A1A2As那么A-1=A1-1A2-1As-1；假設B=A1A2As那么A-1=As-1

6、A2-1A1-1；定義以下三類為初等行r、列變換c。對調(diào)任意行或列記為rij或cij將非零常數(shù)乘到某行或列記為ri或ci將i行或列的倍加到j行或列上記為rijk或cijk它們統(tǒng)稱初等變換也稱作同解變換。如果A經(jīng)過有限次初等變換得到B，那么稱A與B等價，記為AB。兩個實對稱方陣相似那么他們一定等價性質(zhì)反身性：AA對稱性：假設AB那么BA傳遞性：假設AB，BC那么AC定義對單位矩陣I僅施以一次初等變換后得到的矩陣稱為相應的初等矩陣。記為Rij=Cij、Ri=Ci、Rijk=Cjik注意第三種等效行列變換的下標交換定理對Am×n做一次初等行或列變換，等與左乘或右乘相應的初等矩陣。性質(zhì)Rij

7、-1=Rij，Ri-1=Ri1，Rij-1k=Rij-kCij-1=Cij，Ci-1=Ci1，Cij-1k=Cij-k定理對任意矩陣必可經(jīng)過有限次初等變換變成一下的標準型。N=IrOOO并規(guī)定r=0時I0為零矩陣。和二次型矩陣的標準型含義不同定理方陣A可逆的充要條件是A可表示為有限個初等矩陣的乘積。AIrIA-1；ABrIA-1BAx=b的解為：x=A-1b推論AB的從要條件是存在兩個可逆矩陣P、Q使得PAQ=B。方陣A可逆的充要條件是：A可僅通過有限次行初等變換后化為單位陣，即ArI。對單純列變換也可。行列式定義對任意方陣A用記號A表示與其相聯(lián)系的一個數(shù)，稱為行列式，也記為detA。盡可能地

8、選擇“0多的行或列依次展開直到為二階矩陣時交叉相乘之差主對角線減副對角線定義行列式中劃去其中給定元素aij所在行列的所有元素，剩余的元素組成的行列式稱為原行列式關于aij的余子式，記為Mij；又稱-1i+jMij為代數(shù)余子式，記為Aij。定理對n階行列式，可以按第i行展開，即有A=aij=k=1naikAik也可以按第j列展開得類似結(jié)果。性質(zhì)AT=A如果行列式有兩行列相同那么值為零12+3=123+13假設ArijB那么B=-A；假設AriB那么B=A；假設ArijkB那么B=A；列變換也同理。推論如果行列式有一行列全為零的元素那么值為零；如果行列式有兩行列對應成比例那么值為零；kAn=knA

9、性質(zhì)j=1naijAkj=A，i=k0，ik即不對項展開為0；按列展開也同理性質(zhì)假設L=AOCB，且A、B為方陣那么L=AB。同理對U=ACOB也成立。推論假設有同階方陣A、B，那么有AB=AB。行列式與線性方程定理設A為n階矩陣，那么AijT稱為伴隨矩陣，記為A*或adjA。且有AA*=A*A=AI。定理A可逆的充要條件是A0，且此時有A-1=1AA*。推論An*=An-1定理假設A可逆，那么線性方程Ax=b組有唯一解，其中xj=AjAAj為用b代替A中的第j列得到的行列式。推論對于方陣型齊次線性方程組Ax=0當系數(shù)行列式A0時它只有一個零解即齊次線性方程組的平凡解。方陣型齊次線性方程組Ax

10、=0有非零解，那么系數(shù)行列式A=0。其實這兩個條件是充分必要的矩陣的秩定義任取矩陣A中的k行和k列，那么交接處的元素按照原來的次序組成的k階行列式稱為A的k階子式。rAT=rA；rAminm,n假設rA=n那么為滿秩陣非退化陣，否那么為退化陣降秩陣定義假設矩陣A中存在r非零階子式，但任何r+1階子式都為零，那么稱r為A的秩。記為rankA，簡記為rA。并規(guī)定零矩陣的秩為零。定義行階梯形矩陣：第k+1行的首非零元前的零元大于第k行的這種零元個數(shù)k=1,2,m-1；如果某行沒有非零元，那么其下所有行的元素都是零。假設行階梯矩陣的非零行的首非零元均為1，且首非零元1所在列的其他元素都是零，那么稱其為

11、行最簡形矩陣。定理任一矩陣必可通過有限次初等行變換而化成行階梯形矩陣。定理假設AB，那么rA=rB。推論設Am×n且P、Q分別是m階、n階滿秩陣，那么必有rPA=rAQ=rPAQ=rA。假設Am×n的標準型分解為A=PNQ=PIrOOOQ那么必有rA=r。線性方程組定理n元齊次線性方程組Am×nx=0有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣的秩rA<n，且其通解式中帶有n-rA個任意參數(shù)對應自由未知量。定理對于n元非齊次線性方程組Am×nx=b：假設rA=rA=n，那么方程組有唯一解；假設rA=rA<n，那么方程組有無限多個解，且其通解式中帶有n-rA

12、個任意參數(shù)；假設rA<rA，那么方程組無解。推論對矩陣方程AX=B，它有解的充要條件是rA=rAB。向量組的相關性定義同維數(shù)的列向量或行向量所組成的集合叫做向量組，每個向量記為j。定義設有向量組1，2，n和任意實數(shù)k1，k2，kn那么稱k11+k22+knn為該向量組的線性組合。假設有向量b=k11+k22+knn那么稱向量b能由該向量組線性表示線性表出。定理向量b能由向量組1，2，n線性表示的充要條件是A=1,2,n的秩等于A=1,2,nb的秩即對應的非齊次線性方程組有解。定義給定向量組1，2，n，假設存在不全為零的數(shù)k1，k2，kn，使k11+k22+knn=0，那么稱改向量組是線性

13、相關的；反之那么是線性無關的。定理向量組1，2，n線性相關的充要條件是矩陣A=1,2,n的秩小于向量個數(shù)等于那么為線性無關。推論n個n維向量1，2，n線性相關的充要條件是1,2,n=0；反之那么線性無關。性質(zhì)任何含有零向量的向量組必線性相關。任何n個m維向量組1，2，n，當n>m時，此向量組必線性相關。假設向量組1，2，n線性相關，那么1，2，n，m必線性相關。即增加向量不影響向量組的相關性。設j=a1j,a2j,arjT，j=a1j,a2j,arj,ar+1,jT(j=1,2,n)：假設1，2，n線性無關，那么1，2，n也線性無關。即增加向量的維數(shù)不影響向量組的無關性。定理向量組1，2

14、，n( n2)線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可由其余n-1個向量線性表示。不一定是每一個向量都能定理向量組1，2，n線性無關但向量組1，2，n，b線性相關的充要條件是向量b能被向量組1，2，n唯一線性表示。向量組的秩定義設有一向量組并能選出r個向量滿足1，2，r線性無關，且任意r+1個向量如果有的話都線性相關，那么稱1，2，r是原向量組的一個最大無關組極大無關組，r為原向量組的秩。定理矩陣的秩既等于它的列向量組的秩列秩，也等于它行向量組的秩行秩。定義假設向量組：b1，b2，bn中的每一個向量都能被向量組：1，2，n線性表示，那么稱向量組能由向量組線性表示。假設兩者能相互線性表示，那么稱

15、兩向量組等價。性質(zhì)向量組的最大無關組和向量組本身等價。向量組的任兩個最大無關組等價。定理設向量組能由向量組線性表示，那么向量組的秩不大于向量組的秩。推論等價的向量組的秩相等。設向量組是向量組的局部組，假設向量組線性無關，且向量組能由向量組線性表示，那么向量組是向量組的一個最大無關組。該推論為最大無關組的等價定義向量組能由向量組線性表示，且中向量個數(shù)大于中向量個數(shù)，那么向量組必線性相關。定理rkA=rArA+BrA+rBrABminrA,rBrA+B-nrABrA*=n, rA=n1,rA=n-10,rAn-2矩陣相加和相乘應滿足加法和乘法對維數(shù)的要求；中間三式常聯(lián)立以確定等式成立向量空間定義n

16、維向量的非空集合V對于加法及數(shù)乘兩種運算即線性運算封閉，那么就稱集合V為向量空間。封閉即：假設aV,bV,R，那么a+bV且aV。一般地，由向量組1，2，m所生成的向量空間為V=x=11+22+mm1,2,mR記為span1，2，m。定義設有向量空間V1及V2，假設V1V2，就稱V1是V2的子空間。定義給定向量空間V的一組線性無關向量1，2，r，假設滿足V中任一向量都可由1，2，r線性表示，那么向量組1，2，r就稱為V的一個基，其中的每一個向量都稱為基向量，式中的系數(shù)那么為向量在這個基下的坐標，稱基向量的個數(shù)r為向量空間V的維數(shù)，記為dimV=r，并稱V為r維向量空間。線性方程組的解性質(zhì)設1，

17、2，t為Ax=0的解，那么c11，c22，ctt仍為Ax=0的解。定理設齊次方程組Ax=0有n個未知量，且rA=r<n，那么Ax=0的解空間維數(shù)dimNA=n-r。性質(zhì)設1，2，t為Ax=b的解，令=c11+c22+ctt，當c1+c2+ct=0時，為Ax=0的解；當c1+c2+ct=1時，為Ax=b的解。性質(zhì)設為Ax=0的解，為Ax=b的解，那么x=+仍為Ax=b的解。向量的內(nèi)積定義設有n維向量x=x1,x2,xnT，y=y1,y2,ynT，稱x,y=x1y1+x2y2+xnyn為向量與的內(nèi)積。當x0，y0時，稱=cos-1x,yxy,0,為n維向量的x與y的夾角。當x,y=0時，x與

18、y的夾角為2，稱x與y正交或垂直，記為xy。零向量與任何向量正交。性質(zhì)xTy=x,y=y,x=yTxx,y=x,yx+y,z=x,z+y,z定義令x=x,x=x12+x22+xn2，稱為n維向量x的長度或范數(shù)。稱滿足=1的n維向量為單位向量；對n維非零向量，稱向量=為的標準化向量，這個過程成為向量的標準化或單位化。性質(zhì)非負性：當x0時，x>0；當且僅當x=0時，x=0齊次性：x=x三角不等式：x+y<x+y施瓦茨不等式：x,y2x,xy,y定理假設n維向量1，2，r是一組練練正教的非零向量，那么1，2，r必線性無關。定義設n維向量組1，2，r是向量空間VVRn的一個基，假設1，2，

19、r兩兩正交，且都是單位向量，那么稱1，2，r為V的一個標準正交基。ei是單位矩陣的第i列，那么稱e1，e2，en為Rn的自然基。定理施密特正交法詳見“計算規(guī)那么定義如果n階矩陣A滿足ATA=I即A-1=AT，那么稱A為正交矩陣。定理方陣A為正交矩陣的充要條件是A的向量組是標準正交向量組。性質(zhì)正交矩陣的行列式為±1設P為正交矩陣，y=Px稱為正交變換，使變換前后的向量長度不變。正交矩陣的轉(zhuǎn)置仍是正交矩陣正交矩陣的逆仍是正交矩陣兩個正交矩陣的乘積仍是正交矩陣特征值定義設A是n階方陣，假設存在數(shù)和n維非零向量x，使得Ax=x成立，那么稱數(shù)時矩陣A的特征值；非零列向量x為矩陣A對應于的特征向

20、量。性質(zhì)假設n階矩陣A=aij有特征值1，2，n，那么必有i=1ni=Ai=1ni=trA性質(zhì)設方陣A有特征值及對應的特征向量x，那么A2有特征值2，對應的特征向量仍為x，反之未必成立。推廣設方陣A有特征值及對應的特征向量x，那么A的多項式A=a0I+a1A+amAm有特征值=a0+a1+amm，對應的特征向量仍為x。性質(zhì)方陣A與方陣AT有相同特征值，但特征向量未必一樣。性質(zhì)可逆方陣A有特征值，對應特征向量x的充要條件是A-1有特征值1，對應的特征向量為x。推論可逆方陣A有特征值，對應特征向量x的充要條件是A*有特征值A，對應的特征向量為x。性質(zhì)設1，2，m是方陣A的m個互不相同的特征值，x1

21、，x2，xm是分別與1，2，m對應的特征向量，那么x1，x2，xm線性無關。相似矩陣定義對n階矩陣A，B，假設存在n階可逆矩陣P，使得成立B=P-1AP那么稱A與B相似，或稱A相似于B。并稱P為相似變換矩陣。相似矩陣具有相同的跡和相同的行列式。性質(zhì)反身性：A與A相似。對稱性：假設A與B相似，那么B與A相似。傳遞性：假設A與B相似，B與C相似，那么A與C相似。假設A與B相似，那么AT與BT、Am與Bmm為任一正整數(shù)相似。假設可逆陣A與B相似，那么A-1也B-1相似。假設A與B相似，那么A與B的特征多項式相同，從而有相同的特征值。定義如果矩陣A相似于一個對角陣，那么稱矩陣A可對角化。即方陣特征值相

22、同也不一定不能對角化定理n階方陣A可對角化的充要條件是A有n個線性無關的特征向量。推論如果n階方陣A的n個特征值互不相同，那么A必可對角化。設n階方陣A有m個互不相同的特征值1，2，m，其幾何重數(shù)分別為r1，r2，rm，且r1+r2+=n，即對ri應重特征值i有ri個線性無關的特征向量，那么A可對角化。n階方陣A可對角化的充要條件為其每一特征值的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)。定理對A的每個特征值0，必有10m0。實對稱矩陣性質(zhì)n階實對稱矩陣A的特征值全是實數(shù)。設1，2是實對稱矩陣A的兩個不同特征值，x1，x2是對應的特征向量，那么x1與x2正交。n階實對稱矩陣A的每一特征值，都有代數(shù)重數(shù)，等于幾何重數(shù)

23、，即m=即可對角化。二次型定義稱含n個變量的二次函數(shù)fx1,x2,xn=a11x12+2a12x1x2+2a1nx1xn+a22x22+2a2nx2xn+annxn2為n元二次型，簡稱二次型。當aij為實數(shù)時，稱f為實二次型；為復數(shù)時稱之為復二次型。只含有平方項的二次型為標準形二次型，簡稱標準形。定義對n階方陣A和B，假設存在n階可逆矩陣P，使B=PTAP成立，那么稱A與B合同。定理任一個二次型fx=xTAx均可經(jīng)過一個正交變換x=Qy，使得二次型化成標準型f=yTy。定理慣性定理：設二次型，的秩為r，經(jīng)過兩個可逆線性變換x=Py,x=Qz分別化二次型為標準形f=t1y12+t2y22+try

24、r2 ti0,f=k1z12+k2z22+krzr2 ki0,那么t1，t2，tr中正數(shù)的個數(shù)與k1，k2，kr中正數(shù)的個數(shù)相等。這里，正數(shù)個數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù)，負數(shù)個數(shù)為負慣性指數(shù)，非零系數(shù)個數(shù)秩，分別記為，r。正定矩陣定義設f=xTAx為n元實二次型，假設對任意一組不全為零的實數(shù)x1，x1，xn或x=x1,x2,xnT0，總有f>0，那么稱其為正定二次型，對應的實對稱矩陣為正定矩陣，記為A>0；f<0，那么稱其為負定二次型，對應的實對稱矩陣為正定矩陣，記為A<0；f0，那么稱其為半正定二次型，對應的實對稱矩陣為正定矩陣，記為A0；f0，那么稱其為半負定二次型，

25、對應的實對稱矩陣為正定矩陣，記為A>0；f可正、可負，稱二次型f為不定型。定理n個變量的實二次型f=xTAx為正定的充要條件是其正慣性指數(shù)等于變量個數(shù)n。推論n階實對稱矩陣A正定的充要條件是矩陣A具有n個正的特征值。定理設實二次型f=xTAx，那么以下四條正定的結(jié)論等價：對任意的n維非零向量x，都有f=xTAx>0；二次型f的實對稱矩陣的特征值全為正數(shù)；存在可逆矩陣P，使得A=PTP；實二次型f=xT-Ax為負定二次型。定理n階實對稱矩陣A為正定的充要條件是A的各階順序主子式皆為整數(shù)，即D1>0,D2>0,Dn>0其中Dk=a11a12a1ka21a22a2kak1ak2akk k=1,2,n推論n階實對稱矩陣A為負定的充要條件是-1kDk>0 k=1,2,n 其中Dk是A的k階順序主子式。計算規(guī)那么范德蒙德行列式Vn=111x1x2xnx12x22xn2x1n-1x2n-1xnn-1=1j<inxi-xj施密特正交法設1，2，r是定義了內(nèi)積的向量空間V的一個基。假設令1=12=2-1,21,11r=r-j=1r-1j,rj,jj那么1，2，r就為V的正交基。假設進一步對i=1,2，r，令i=ii那么1，2，r就是V的一個標準正交基。常見方法求矩陣的逆定義法抽象矩陣兩