第2章測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理

1、第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理第第2 2章章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理2.1 2.1 測(cè)量誤差的基本概念測(cè)量誤差的基本概念2.2 2.2 測(cè)量不確定度及測(cè)量結(jié)果的表征測(cè)量不確定度及測(cè)量結(jié)果的表征2.3 2.3 加權(quán)平均與回歸分析加權(quán)平均與回歸分析小小 結(jié)結(jié)習(xí)習(xí) 題題 二二第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2.1 2.1 測(cè)量誤差的基本概念測(cè)量誤差的基本概念 一、與誤差有關(guān)的基本概念一、與誤差有關(guān)的基本概念 1 1真值真值 一個(gè)物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的一個(gè)物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的客客觀大小或真實(shí)數(shù)值觀大小或真實(shí)數(shù)值稱作它的真值。要想得稱作它的真值。要想得到真值，必須利用理想

2、的量具或測(cè)量?jī)x器到真值，必須利用理想的量具或測(cè)量?jī)x器進(jìn)行無(wú)誤差的測(cè)量。由此可推斷，進(jìn)行無(wú)誤差的測(cè)量。由此可推斷，物理量物理量的真值實(shí)際上是無(wú)法測(cè)得的的真值實(shí)際上是無(wú)法測(cè)得的。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 這首先因?yàn)檫@首先因?yàn)?，“理想”量具或測(cè)量?jī)x器即測(cè)量過程的參考比較標(biāo)準(zhǔn)（或叫計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)）只是一個(gè)純理論值。例如電流的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)安培電流的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)安培，按國(guó)際計(jì)量委員會(huì)和第九屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)的決議，定義為“安培是一恒定電流，若保持在安培是一恒定電流，若保持在處于真空中相距處于真空中相距l(xiāng) l米的兩根無(wú)限長(zhǎng)而圓截面可忽略的平行米的兩根無(wú)限長(zhǎng)而圓截面可忽略的平行直導(dǎo)線內(nèi)，則此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力為每米長(zhǎng)度上

3、等于直導(dǎo)線內(nèi)，則此兩導(dǎo)線之間產(chǎn)生的力為每米長(zhǎng)度上等于2 2l0l0-7-7牛頓牛頓”，顯然這樣的電流計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)理想的而實(shí)際上無(wú)法實(shí)現(xiàn)的理論值。因而，某電流的真值我們無(wú)法實(shí)際測(cè)得，因?yàn)闆]有符合定義的可供實(shí)際使用的測(cè)量參考標(biāo)準(zhǔn)，盡管隨著科技水平的提高，可供實(shí)際使用的測(cè)量參考標(biāo)準(zhǔn)可以愈來(lái)愈逼近理想的理論定義值。 其次其次，在測(cè)量過程中由于各種主觀、客觀因素的影響，做到無(wú)誤差的測(cè)量也是不可能的。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理2 2指定值（約定真值）指定值（約定真值）: :一般就用來(lái)代替真值 由于絕對(duì)真值是不可知的絕對(duì)真值是不可知的，所以一般由國(guó)家由國(guó)家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)），設(shè)

4、立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)），以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計(jì)量單位的指定值的指定值。如指定國(guó)家計(jì)量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1kg；指定國(guó)家天文臺(tái)保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫-l33原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射的9 192 63l 770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1s（秒）等。國(guó)際間通過互相比對(duì)保持一定程度的一致。國(guó)際間通過互相比對(duì)保持一定程度的一致。 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3 3實(shí)際值實(shí)際值 實(shí)際測(cè)量中，不可能都直接與國(guó)家基準(zhǔn)相比對(duì)，國(guó)實(shí)際測(cè)量中，不可能都直接與國(guó)家基準(zhǔn)相比對(duì)，國(guó)家通過一系列的各級(jí)實(shí)

5、物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成家通過一系列的各級(jí)實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)量值傳遞網(wǎng)，把國(guó)家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級(jí)比較傳遞到日常把國(guó)家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級(jí)比較傳遞到日常工作儀器或量具上去。工作儀器或量具上去。在每一級(jí)的比較中，都在每一級(jí)的比較中，都以上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)以上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無(wú)誤的值，通常稱為實(shí)際值，也叫作相對(duì)真作準(zhǔn)確無(wú)誤的值，通常稱為實(shí)際值，也叫作相對(duì)真值值，比如如果更高一級(jí)測(cè)量器具的誤差為本級(jí)測(cè)量，比如如果更高一級(jí)測(cè)量器具的誤差為本級(jí)測(cè)量器具誤差的器具誤差的1/31/3到到 l/l0l/l0，就可以認(rèn)為更高一級(jí)測(cè)量，就可以認(rèn)為更高一級(jí)測(cè)量器具的測(cè)得值（示值）為真值。器具的測(cè)

6、得值（示值）為真值。在本課程后面的敘述中，不再對(duì)實(shí)際值和真值加以在本課程后面的敘述中，不再對(duì)實(shí)際值和真值加以區(qū)別。區(qū)別。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 4.4.標(biāo)稱值標(biāo)稱值: :測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的lkg，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來(lái)的電動(dòng)勢(shì)1.018 6V，標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)發(fā)生器度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率100kHz等。由于制造和測(cè)量精度不夠以及環(huán)境等因素的影響，標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值值。為此，在標(biāo)出測(cè)量器具的標(biāo)稱值時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)

7、量結(jié)果處理 5 5示值示值: :由測(cè)量器具指示的被測(cè)量量值，也稱測(cè)量器具的測(cè)得值或測(cè)量值，它包括數(shù)值和單位。指針式模擬表，其讀數(shù)和示值的關(guān)系。指針式模擬表，其讀數(shù)和示值的關(guān)系。如：以如：以l00l00分度表示分度表示50mA50mA的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上的電流表，當(dāng)指針指在刻度盤上5050分分度時(shí)，讀數(shù)是度時(shí)，讀數(shù)是5050，而示值是，而示值是25mA25mA。為便于核查測(cè)量結(jié)果，在記錄測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)，一般應(yīng)記錄儀表量程、讀數(shù)和示值（當(dāng)然還要記載測(cè)量方法，連接圖，測(cè)量環(huán)境，測(cè)量用儀器及編號(hào)及測(cè)量者姓名、測(cè)量日期）。數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是統(tǒng)一的。第

8、2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 6 6測(cè)量誤差：測(cè)量誤差：測(cè)量?jī)x器儀表的測(cè)得值與被測(cè)量真測(cè)量?jī)x器儀表的測(cè)得值與被測(cè)量真值之間的差異值之間的差異 在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量器具不準(zhǔn)確，測(cè)量手段不完善，在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量器具不準(zhǔn)確，測(cè)量手段不完善，環(huán)境影響，測(cè)量操作不熟練及工作疏忽等因素，都會(huì)導(dǎo)致環(huán)境影響，測(cè)量操作不熟練及工作疏忽等因素，都會(huì)導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值不同。測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值不同。 測(cè)量誤差的存在具有必然性和普遍性測(cè)量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。和可能，將其限制在一定范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。人們

9、進(jìn)行測(cè)量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的人們進(jìn)行測(cè)量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的測(cè)量結(jié)果，如果測(cè)量誤差超出一定限度，測(cè)量工作及由測(cè)測(cè)量結(jié)果，如果測(cè)量誤差超出一定限度，測(cè)量工作及由測(cè)量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。在科學(xué)研究及現(xiàn)代生量結(jié)果所得出的結(jié)論就失去了意義。在科學(xué)研究及現(xiàn)代生產(chǎn)中，錯(cuò)誤的測(cè)量結(jié)果有時(shí)還會(huì)使研究工作誤入歧途甚至產(chǎn)中，錯(cuò)誤的測(cè)量結(jié)果有時(shí)還會(huì)使研究工作誤入歧途甚至帶來(lái)災(zāi)難性后果。因此，人們不得不帶來(lái)災(zāi)難性后果。因此，人們不得不認(rèn)真對(duì)待測(cè)量誤差，認(rèn)真對(duì)待測(cè)量誤差，研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及研究誤差產(chǎn)生的原因，誤差的性質(zhì)，減小誤差的方法以及對(duì)測(cè)

10、量結(jié)果的處理對(duì)測(cè)量結(jié)果的處理等。等。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 7單次測(cè)量和多次測(cè)量單次（一次）測(cè)量：?jiǎn)未危ㄒ淮危y(cè)量：是用測(cè)量?jī)x器對(duì)待測(cè)量進(jìn)行一次測(cè)量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進(jìn)行一次測(cè)量。在測(cè)量精度要求不高的場(chǎng)合，可以只進(jìn)行單次測(cè)量。單次測(cè)量不能反映測(cè)量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個(gè)量的大致概念和規(guī)律。 多次測(cè)量：多次測(cè)量：是用測(cè)量?jī)x器對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量的過程。依靠多次測(cè)量可以觀察測(cè)量結(jié)果一致性的好壞即精密度。通常要求較高的精密測(cè)量都須進(jìn)行多次測(cè)量，如儀表的比對(duì)校準(zhǔn)等。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理8等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量 等精度測(cè)量：等精度測(cè)量：在保持測(cè)

11、量條件不變的情況下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次測(cè)量過程。 測(cè)量條件一般包括所有對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素，如測(cè)量中使用的儀器、方法、測(cè)量環(huán)境，操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。 等精度測(cè)量的測(cè)量結(jié)果具有同樣的可靠性。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理非等精度測(cè)量（不等精度測(cè)量）：非等精度測(cè)量（不等精度測(cè)量）：在同一被測(cè)量在同一被測(cè)量的多次重復(fù)測(cè)量中，的多次重復(fù)測(cè)量中，不是所有測(cè)量條件都維持不不是所有測(cè)量條件都維持不變變（如改變了測(cè)量方法，或更換了測(cè)量?jī)x器，改（如改變了測(cè)量方法，或更換了測(cè)量?jī)x器，改變了連接方式，測(cè)量環(huán)境發(fā)生了變化，前后不是變了連接方式，測(cè)量環(huán)境發(fā)生了變化，前后不是一個(gè)操作者，或同一操

12、作者按不同的過程進(jìn)行操一個(gè)操作者，或同一操作者按不同的過程進(jìn)行操作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心作，或操作過程中由于疲勞等原因而影響了細(xì)心專致程度等）。專致程度等）。 等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量在實(shí)踐中都存在，等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量在實(shí)踐中都存在，相比較而言，等精度測(cè)量意義更為普遍，有時(shí)為相比較而言，等精度測(cè)量意義更為普遍，有時(shí)為了驗(yàn)證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測(cè)量方法、檢了驗(yàn)證某些結(jié)果或結(jié)論，研究新的測(cè)量方法、檢定不同的測(cè)量?jī)x器時(shí)也要進(jìn)行非等精度測(cè)量。定不同的測(cè)量?jī)x器時(shí)也要進(jìn)行非等精度測(cè)量。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 二、誤差的表示方法二、誤差的表示方法 1絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 絕對(duì)

13、誤差定義為絕對(duì)誤差定義為 0Axx(2-1a) 式中x為絕對(duì)誤差為絕對(duì)誤差，x為測(cè)得值為測(cè)得值， A0為被測(cè)為被測(cè)量真值量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無(wú)法得到，所以用實(shí)際值實(shí)際值x0代替代替A0 ，因而絕對(duì)誤差更有實(shí)際意義的定義是：0 xxx(2-1b)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 對(duì)于絕對(duì)誤差，應(yīng)注意下面幾個(gè)特點(diǎn)： 絕對(duì)誤差是有單位的量，其單位與測(cè)得值和實(shí)際值相同。 絕對(duì)誤差是有符號(hào)的量，其符號(hào)表示出測(cè)量值與實(shí)際值的大小關(guān)系，若測(cè)得值較實(shí)際值大，則絕對(duì)誤差為正值，反之為負(fù)值。 測(cè)得值與被測(cè)量實(shí)際值間的偏離程度和方向通過絕對(duì)誤差來(lái)體現(xiàn)。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 對(duì)于信號(hào)源、穩(wěn)壓電源等

14、供給量?jī)x器，絕對(duì)于信號(hào)源、穩(wěn)壓電源等供給量?jī)x器，絕對(duì)誤差定義為：對(duì)誤差定義為：Axx 式中式中A為實(shí)際值，為實(shí)際值，x為供給量的指示值（標(biāo)為供給量的指示值（標(biāo)稱值）。如果沒有特殊說明，本書涉及的絕對(duì)誤稱值）。如果沒有特殊說明，本書涉及的絕對(duì)誤差，按式（差，按式（2-1）定義計(jì)算。）定義計(jì)算。 與絕對(duì)誤差絕對(duì)值相等但符號(hào)相反的值稱與絕對(duì)誤差絕對(duì)值相等但符號(hào)相反的值稱為為修正值修正值，一般用符號(hào)，一般用符號(hào)c表示：表示：xxxc0第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 【例例】由某電流表測(cè)得的電流示值為由某電流表測(cè)得的電流示值為0.83 mA，查，查該電流表檢定證書，得知該電流表在該電流表檢定證書，得知該

15、電流表在0.8mA及其及其附近的修正值為附近的修正值為-0.02mA，那么被測(cè)電流的實(shí)際，那么被測(cè)電流的實(shí)際值為：值為：Axxcxx81.0)02.0(83.00 智能儀器智能儀器的優(yōu)點(diǎn)之一就是可利用內(nèi)部的微處的優(yōu)點(diǎn)之一就是可利用內(nèi)部的微處理器，存貯和處理修正值，直接給出經(jīng)過修正的理器，存貯和處理修正值，直接給出經(jīng)過修正的實(shí)際值。實(shí)際值。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理二、誤差的表示方法二、誤差的表示方法2相對(duì)誤差：用來(lái)說明測(cè)量精度的高低。相對(duì)誤差：用來(lái)說明測(cè)量精度的高低。 (1) 相對(duì)真誤差（實(shí)際相對(duì)誤差）相對(duì)真誤差（實(shí)際相對(duì)誤差） 相對(duì)真誤差定義為：相對(duì)真誤差定義為：%1000 xxA(2-

16、2)a (2) 示值相對(duì)誤差（測(cè)量值相對(duì)誤差）示值相對(duì)誤差（測(cè)量值相對(duì)誤差） 示值相對(duì)誤差定義為：示值相對(duì)誤差定義為： %100 xxx(2-2)b第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 如果如果測(cè)量誤差不大，可用示值相對(duì)誤差測(cè)量誤差不大，可用示值相對(duì)誤差 代代替實(shí)際誤差替實(shí)際誤差 ，但若，但若 和和 相差較大，兩者應(yīng)相差較大，兩者應(yīng)加以區(qū)別。加以區(qū)別。 (3)引用誤差（滿度相對(duì)誤差）引用誤差（滿度相對(duì)誤差） 測(cè)量?jī)x器滿度相對(duì)誤差定義為絕對(duì)誤差測(cè)量?jī)x器滿度相對(duì)誤差定義為絕對(duì)誤差 與儀表滿度值（量程上限值與儀表滿度值（量程上限值 ） 的百分比值的百分比值xAxAxmx%100mnxx(2-5a)第2章

17、測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 常用常用電工儀表的等級(jí)電工儀表的等級(jí)s為：為：0.1、 0.2、 0.5、 1.0、 1.5、 2.5、 5.0七級(jí)，具體表示為：七級(jí)，具體表示為：【例例1】某電壓表某電壓表s=1.5，試算出它在，試算出它在0V100V量量程中的最大絕對(duì)誤差。程中的最大絕對(duì)誤差。 解：在解：在0Vl00V量程內(nèi)上限值量程內(nèi)上限值xm100V，由，由式式(2-5b)，得到，得到Vxsxxmmmm5 .11001005 .1%sxxxxmmmmn(2-5b) 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理一般講，測(cè)量?jī)x器在同量程不同示值處的絕對(duì)一般講，測(cè)量?jī)x器在同量程不同示值處的絕對(duì)誤差實(shí)際上未必處處相等

18、；誤差實(shí)際上未必處處相等；對(duì)使用者來(lái)講，在沒有修正值可資利用的情況對(duì)使用者來(lái)講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞情況處理，即下，只能按最壞情況處理，即認(rèn)為儀器在同一認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對(duì)誤差是個(gè)常數(shù)且等于量程各處的絕對(duì)誤差是個(gè)常數(shù)且等于xm，人，人們把這種處理叫作們把這種處理叫作誤差的整量化誤差的整量化。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理【例例2 2】某某1.01.0級(jí)電流表，滿度值級(jí)電流表，滿度值x xm ml00uAl00uA，求測(cè)量值分別為，求測(cè)量值分別為x x1 1100 uA100 uA，x x2 280uA80uA，x x3 3 20uA 20uA 時(shí)的時(shí)的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤

19、差和和示值相對(duì)示值相對(duì)誤差誤差。 解：由式解：由式(2-5b) (2-5b) 得：得： 按按誤差整量化誤差整量化原則，各示值相對(duì)誤差為：原則，各示值相對(duì)誤差為：Axxmmm11001001%5%100201%100%100%25.1%100801%100%100%1%1001001%100%100333222111xxxxxxxxxxxxmxmxmx%sxxxxmmmmn第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理u可見在可見在同一量程內(nèi)，測(cè)得值越小，示值相對(duì)誤同一量程內(nèi)，測(cè)得值越小，示值相對(duì)誤差越大差越大。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，。由此我們應(yīng)當(dāng)注意到，測(cè)量中所用儀測(cè)量中所用儀表的準(zhǔn)確度并不是測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，

20、只有在表的準(zhǔn)確度并不是測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，只有在示值與滿度值相同時(shí)，二者才相等示值與滿度值相同時(shí)，二者才相等（不考慮其（不考慮其他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差）。他因素造成的誤差，僅考慮儀器誤差）。u由式由式(2-5a)和和【例例1、2】可以看出，為了減小可以看出，為了減小測(cè)量中的示值誤差，在進(jìn)行測(cè)量中的示值誤差，在進(jìn)行量程選擇量程選擇時(shí)應(yīng)盡可時(shí)應(yīng)盡可能使示值能接近滿度值，能使示值能接近滿度值，一般以示值不小于滿一般以示值不小于滿度值的度值的2/3。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 【例例3】 要測(cè)量要測(cè)量100的溫度，現(xiàn)有的溫度，現(xiàn)有0.5級(jí)、測(cè)量范級(jí)、測(cè)量范圍為圍為0 300和和l.0級(jí)、測(cè)

21、量范圍為級(jí)、測(cè)量范圍為0l00的兩種的兩種溫度計(jì)，試分析各自產(chǎn)生的溫度計(jì)，試分析各自產(chǎn)生的示值相對(duì)誤差示值相對(duì)誤差。 解：對(duì)解：對(duì)0.5級(jí)溫度計(jì)，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差級(jí)溫度計(jì)，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差 按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對(duì)誤按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對(duì)誤差差 ，因此示值相對(duì)誤差：，因此示值相對(duì)誤差：Cxsxxmmmm5 .13001005 .010011111Cxxm5 .111%5 . 11001005 . 1%100111xxx例例2-32-3（教材（教材P P1919) )第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 同樣可算出用同樣可算出用l.0級(jí)溫度計(jì)可能產(chǎn)生的絕對(duì)誤差級(jí)溫

22、度計(jì)可能產(chǎn)生的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差 ： 用用1.0級(jí)低量程溫度計(jì)測(cè)量所產(chǎn)生的示值相對(duì)誤級(jí)低量程溫度計(jì)測(cè)量所產(chǎn)生的示值相對(duì)誤差反而小一些，因此選差反而小一些，因此選l.0級(jí)溫度計(jì)較為合適。級(jí)溫度計(jì)較為合適。u 在實(shí)際測(cè)量操作時(shí)，一般在實(shí)際測(cè)量操作時(shí)，一般應(yīng)先在大量程應(yīng)先在大量程下，測(cè)得被下，測(cè)得被測(cè)量的大致數(shù)值，而測(cè)量的大致數(shù)值，而后選擇合適的量程后選擇合適的量程再行測(cè)量，再行測(cè)量，以盡可能減小相對(duì)誤差。以盡可能減小相對(duì)誤差。%0 .1%1001000 .1%1000 .11001000 .12222222xxCxxxxmmm第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 二、誤差的表示方法二、

23、誤差的表示方法 2相對(duì)誤差相對(duì)誤差 (4) 分貝誤差分貝誤差 在電子測(cè)量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是在電子測(cè)量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是用對(duì)數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝用對(duì)數(shù)形式表示的一種誤差，單位為分貝(dB)。分。分貝誤差廣泛用于增益（衰減）量的測(cè)量中。下面以貝誤差廣泛用于增益（衰減）量的測(cè)量中。下面以電壓增益測(cè)量為例，引出分貝誤差的表示形式。電壓增益測(cè)量為例，引出分貝誤差的表示形式。 設(shè)雙端口網(wǎng)絡(luò)設(shè)雙端口網(wǎng)絡(luò)(比如放大器，或衰減器比如放大器，或衰減器)的電壓的電壓/電流的傳輸函數(shù)為電流的傳輸函數(shù)為 。0A第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)A0用對(duì)數(shù)表示為用對(duì)數(shù)表示為

24、G0稱為增益測(cè)得值的分貝值。稱為增益測(cè)得值的分貝值。 設(shè)設(shè) A為傳輸函數(shù)的實(shí)際值，其分貝值為傳輸函數(shù)的實(shí)際值，其分貝值G=20lgA，由式由式（2-1b） ，有，有)(lg20)(000dBAGdBA)1lg(20)1lg(20)1lg(20lg20)1(lg20)lg(200000000000GAAGAAAAAAAAGAAxAA第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理由此得到分貝誤差為由此得到分貝誤差為)(1lg(2000dBdBGGdBAdBAdB (2-4a) (2-3) 若測(cè)量的是功率增益，分貝誤差定義為若測(cè)量的是功率增益，分貝誤差定義為)(1lg(10dBdB (2-4b)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)

25、量結(jié)果處理【例例4】某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui1.2mV時(shí)，時(shí)，測(cè)得輸出電壓測(cè)得輸出電壓Uo=6000mV，設(shè)，設(shè)Ui誤差可忽略，誤差可忽略，Uo的測(cè)的測(cè)量誤差量誤差 。求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對(duì)。求：放大器電壓放大倍數(shù)的絕對(duì)誤差誤差 ，相對(duì)誤差，相對(duì)誤差 及分貝誤差及分貝誤差 。 解：電壓放大倍數(shù)解：電壓放大倍數(shù): 輸出電壓絕對(duì)誤差輸出電壓絕對(duì)誤差: 電壓分貝增益電壓分貝增益:%32AxdB50002 .16000iouUUAmVUo180%360002dBAGux745000lg20lg20第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理因忽略因忽略U Ui i誤差，所以電壓

26、增益絕對(duì)誤差：誤差，所以電壓增益絕對(duì)誤差：1502.1180ioUUA電壓增益相對(duì)誤差：電壓增益相對(duì)誤差：%3%1005000150uxAA電壓增益分貝誤差：電壓增益分貝誤差：dBdBx26. 0)03. 01lg(20)1lg(20實(shí)際電壓分貝增益：實(shí)際電壓分貝增益：dBG26. 074例例2-12-1（教材（教材P P1717) )第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理當(dāng)當(dāng) 值很小時(shí)，分貝增益定義式值很小時(shí)，分貝增益定義式(2-4a)和和(2-4b)中的中的 可分別利用下面近可分別利用下面近 似式得到：似式得到：xdBdBdBdBdBxx34. 469. 8( (電壓、電流類增益電壓、電流類增益)

27、 )( (功率類增益功率類增益) )第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 三、測(cè)量誤差的分類：根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)和三、測(cè)量誤差的分類：根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)和特點(diǎn)，可將其分為三種特點(diǎn)，可將其分為三種 - - ( (一一) )、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差 在在多次等精度測(cè)量同一量值多次等精度測(cè)量同一量值時(shí)，時(shí)，誤差的絕對(duì)誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)按某種規(guī)值和符號(hào)保持不變，或當(dāng)條件改變時(shí)按某種規(guī)律變化律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。如果的誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。如果系差的大小、符號(hào)不變而保持恒定，則稱為系差的大小、符號(hào)不變而保持恒定，則稱為恒恒定系差定系差，否則稱為，否則稱為變值系差變值系差

28、。變值系差又可分。變值系差又可分為累進(jìn)性系差、周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化為累進(jìn)性系差、周期性系差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。的系差。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 下圖描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：下圖描述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線直線a a表示表示恒定系差恒定系差；直線；直線b b屬變值系差中屬變值系差中累進(jìn)性系差累進(jìn)性系差，這里表示系差遞增的情況，也有這里表示系差遞增的情況，也有遞減系差遞減系差；曲線曲線c c表示周期性系差表示周期性系差，在整個(gè)測(cè)量過程中，系差值，在整個(gè)測(cè)量過程中，系差值成周期性變化；成周期性變化；曲線曲線d d屬于屬于按復(fù)雜規(guī)律變化的系差按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。0第2章

29、測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有：產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因有： 測(cè)量?jī)x器設(shè)計(jì)原理及制作工藝上的缺陷。例如測(cè)量?jī)x器設(shè)計(jì)原理及制作工藝上的缺陷。例如刻度偏差刻度偏差，刻度盤或指針安裝偏心；使用過程中，刻度盤或指針安裝偏心；使用過程中零零點(diǎn)漂移點(diǎn)漂移，安放位置不當(dāng)?shù)取＃卜盼恢貌划?dāng)?shù)取?測(cè)量時(shí)的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等測(cè)量時(shí)的環(huán)境條件如溫度、濕度及電源電壓等與儀器使用要求不一致等。與儀器使用要求不一致等。 采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等。采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等。 測(cè)量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣偏于某方向等原因所測(cè)量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)習(xí)慣偏于某方向等原因所引起的誤差。引起

30、的誤差。 系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測(cè)量的正確度，系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測(cè)量的正確度，系統(tǒng)誤差小，系統(tǒng)誤差小，表明測(cè)量的正確度高。表明測(cè)量的正確度高。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 ( (二二) )、隨機(jī)誤差、隨機(jī)誤差 隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對(duì)同隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對(duì)同一量值進(jìn)行一量值進(jìn)行多次等精度測(cè)量時(shí)多次等精度測(cè)量時(shí)，其，其絕對(duì)絕對(duì)值和符號(hào)均以不可預(yù)定的方式無(wú)規(guī)則變值和符號(hào)均以不可預(yù)定的方式無(wú)規(guī)則變化的誤差化的誤差。 就單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)就單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差沒有規(guī)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)律，其大小和方向完全不可預(yù)定，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，其總體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，其總

31、體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布多數(shù)情況下接近正態(tài)分布。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 隨機(jī)誤差的特點(diǎn)隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是，在多次測(cè)量中誤差絕是，在多次測(cè)量中誤差絕對(duì)值的波動(dòng)有一定的界限，即具有對(duì)值的波動(dòng)有一定的界限，即具有有界性有界性；當(dāng)；當(dāng) 測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)， 正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)幾正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)幾乎相同，即具有乎相同，即具有對(duì)稱性對(duì)稱性；同時(shí)隨機(jī)誤差的算術(shù)；同時(shí)隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零，即具有平均值趨于零，即具有抵償性抵償性。 由于隨機(jī)誤差的上述特點(diǎn)，可以通過由于隨機(jī)誤差的上述特點(diǎn)，可以通過對(duì)多對(duì)多次測(cè)量取平均值次測(cè)量取平均值的辦法，來(lái)減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)的辦

32、法，來(lái)減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，或者用其他量結(jié)果的影響，或者用其他數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對(duì)的辦法對(duì)隨機(jī)誤差加以處理。隨機(jī)誤差加以處理。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理表表2.3-l2.3-l第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理圖圖2.3-2 2.3-2 電阻測(cè)量值的隨機(jī)誤差分布電阻測(cè)量值的隨機(jī)誤差分布R第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由表由表2.3-l2.3-l和圖和圖2.3-22.3-2可以看出以下幾點(diǎn)：可以看出以下幾點(diǎn)： 正誤差出現(xiàn)了正誤差出現(xiàn)了7 7次，負(fù)誤差出現(xiàn)了次，負(fù)誤差出現(xiàn)了6 6次，兩次，兩者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，者基本相等，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率基本相等，反映了反映了隨

33、機(jī)誤差的對(duì)稱性隨機(jī)誤差的對(duì)稱性。 誤差的絕對(duì)值介于誤差的絕對(duì)值介于(0(0，0.1)0.1)、 (0(01 1，0.2)0.2)、 (0.2(0.2，0.3)0.3)、 (0.3(0.3，0.4)0.4)、 (0.4(0.4，0.5)0.5)區(qū)間，大于區(qū)間，大于0.50.5的個(gè)數(shù)分別為的個(gè)數(shù)分別為6 6、3 3、2 2、1 1、2 2個(gè)和個(gè)和1 1個(gè)，反映了個(gè)，反映了絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小概率大，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 v vi i0 0，正負(fù)誤差之和為零，反映，正負(fù)誤差之和為零，反映了了隨

34、機(jī)誤差的抵償性隨機(jī)誤差的抵償性。 所有隨機(jī)誤差的絕對(duì)值都沒有超過所有隨機(jī)誤差的絕對(duì)值都沒有超過某一界限，反映了某一界限，反映了隨機(jī)誤差的有界性隨機(jī)誤差的有界性。 這雖然僅是一個(gè)例子，但也基本反映這雖然僅是一個(gè)例子，但也基本反映出隨機(jī)誤差的一般特性。出隨機(jī)誤差的一般特性。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因包括：包括： 測(cè)量?jī)x器測(cè)量?jī)x器元器件產(chǎn)生噪聲元器件產(chǎn)生噪聲，零部件配合，零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。 溫度及電源電壓的無(wú)規(guī)則波動(dòng)，電磁干溫度及電源電壓的無(wú)規(guī)則波動(dòng)，電磁干擾，地基振動(dòng)擾，地基振動(dòng)等。等。 測(cè)量人員感覺

35、器官的無(wú)規(guī)則變化而造成測(cè)量人員感覺器官的無(wú)規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。的讀數(shù)不穩(wěn)定等。 隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測(cè)量的精密度隨機(jī)誤差體現(xiàn)了多次測(cè)量的精密度，隨機(jī)，隨機(jī)誤差小，則精密度高。誤差小，則精密度高。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 ( (三三) )、粗大誤差、粗大誤差 在一定的測(cè)量條件下，在一定的測(cè)量條件下，測(cè)得值明顯地偏離測(cè)得值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡(jiǎn)稱粗差。失誤差，簡(jiǎn)稱粗差。 確認(rèn)含有粗差的測(cè)得值稱為壞值，確認(rèn)含有粗差的測(cè)得值稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔應(yīng)當(dāng)剔除除不用，因?yàn)閴闹挡荒芊从潮粶y(cè)量的真實(shí)數(shù)值。不用，因?yàn)閴闹挡荒芊从?/p>

36、被測(cè)量的真實(shí)數(shù)值。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 產(chǎn)生粗差的主要原因產(chǎn)生粗差的主要原因包括：包括： 測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤。測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤。例如用普通萬(wàn)用表電壓檔例如用普通萬(wàn)用表電壓檔直接測(cè)量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬(wàn)用表交流直接測(cè)量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬(wàn)用表交流電壓檔測(cè)量高頻交流信號(hào)的幅值等。電壓檔測(cè)量高頻交流信號(hào)的幅值等。 測(cè)量操作疏忽和失誤。測(cè)量操作疏忽和失誤。例如未按規(guī)程操作，讀錯(cuò)例如未按規(guī)程操作，讀錯(cuò)讀數(shù)或單位，或記錄及計(jì)算錯(cuò)誤等。讀數(shù)或單位，或記錄及計(jì)算錯(cuò)誤等。 測(cè)量條件的突然變化。測(cè)量條件的突然變化。例如電源電壓突然增高或例如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾，機(jī)械沖擊

37、等引起測(cè)量?jī)x器示值的劇降低，雷電干擾，機(jī)械沖擊等引起測(cè)量?jī)x器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機(jī)性，但由于它造烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機(jī)性，但由于它造成的示值明顯偏離實(shí)際值，因此將其列入粗差范疇。成的示值明顯偏離實(shí)際值，因此將其列入粗差范疇。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 上述對(duì)誤差按其性質(zhì)進(jìn)行的劃分，具上述對(duì)誤差按其性質(zhì)進(jìn)行的劃分，具有相對(duì)性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。例如有相對(duì)性，某些情況可互相轉(zhuǎn)化。例如較大的系差或隨機(jī)誤差可視為粗差較大的系差或隨機(jī)誤差可視為粗差；當(dāng)；當(dāng)電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時(shí)，可按電磁干擾引起的誤差數(shù)值較小時(shí)，可按隨機(jī)誤差取平均值的辦法加以處理隨機(jī)誤差取平均值的

38、辦法加以處理，而，而當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時(shí)，可按系當(dāng)其影響較大又有規(guī)律可循時(shí)，可按系統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理統(tǒng)誤差引入修正值的辦法加以處理。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 最后指出，除粗差較易判斷和處理外，最后指出，除粗差較易判斷和處理外，在任何在任何一次測(cè)量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)一次測(cè)量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的存在的，需根據(jù)各自對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響程度，作，需根據(jù)各自對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響程度，作不同的具體處理：不同的具體處理： 系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的影響，此時(shí)可系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的影響，此時(shí)可基本上按純粹系差處理，而忽略隨機(jī)誤差?；旧习醇兇庀挡钐幚?，而忽

39、略隨機(jī)誤差。 系差極小或已得到修正，此時(shí)基本上可按系差極小或已得到修正，此時(shí)基本上可按純粹隨機(jī)誤差處理。純粹隨機(jī)誤差處理。 系差和隨機(jī)誤差相差不遠(yuǎn)，二者均不可忽系差和隨機(jī)誤差相差不遠(yuǎn)，二者均不可忽略，此時(shí)應(yīng)分別按不同的辦法來(lái)處理，然后估計(jì)略，此時(shí)應(yīng)分別按不同的辦法來(lái)處理，然后估計(jì)其最終的綜合影響。其最終的綜合影響。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 三、測(cè)量誤差的估計(jì)和處理三、測(cè)量誤差的估計(jì)和處理 （一）、隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理（一）、隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)處理 如前所述，如前所述，多次等精度測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)多次等精度測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測(cè)量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律誤差及測(cè)量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。本節(jié)從工程應(yīng)。本節(jié)從工

40、程應(yīng)用角度，利用概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論，研究用角度，利用概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論，研究隨機(jī)誤差的表征隨機(jī)誤差的表征及對(duì)及對(duì)含有隨機(jī)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)含有隨機(jī)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法的處理方法。 2.1 2.1 測(cè)量誤差的基本概念測(cè)量誤差的基本概念第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 1、隨機(jī)誤差的概率分布密度 1 1）正態(tài)分布）正態(tài)分布 理論和測(cè)量實(shí)踐都證明，當(dāng)進(jìn)行大量等精度測(cè)量時(shí)，隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。測(cè)得值 與隨機(jī)誤差 都按一定的概率出現(xiàn)。 在大多數(shù)情況下，在大多數(shù)情況下，測(cè)得值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對(duì)期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表現(xiàn)在隨機(jī)誤差上，等于零的隨機(jī)

41、誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨機(jī)誤差絕對(duì)值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測(cè)得值和隨機(jī)誤差的這種統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，稱為正態(tài)分布。iix第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理圖2-1a 隨機(jī)誤差 的正態(tài)分布曲線i第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理圖2-1b 隨機(jī)誤差影響下測(cè)量值 的正態(tài)分布曲線 ix(X)0M(X)X第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 設(shè)測(cè)得值設(shè)測(cè)得值 xi 在在 x 到到 x+dx 的范圍內(nèi)出現(xiàn)的的范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為概率為P P，它正比于，它正比于dx，并與，并與 x 值有關(guān)，即：值有關(guān)，即：dxxdxxxxPi)( 上上式中式中( (x) )定義為測(cè)量值定義為測(cè)量值 xi 在在 x 點(diǎn)的分布密點(diǎn)的分布密

42、度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然：度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然：1)(dxxxPi 對(duì)于對(duì)于正態(tài)分布的正態(tài)分布的 xi i 和它的隨機(jī)誤差和它的隨機(jī)誤差i i ，其概率密度函數(shù)為：其概率密度函數(shù)為：(2-8)XXMXeXX22221)( 22221)(e(2-9)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由由圖圖2-12-1可以看到如下特征：可以看到如下特征： 愈小，愈小， 愈大愈大，說明絕對(duì)值小的隨，說明絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對(duì)值大的機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小，隨著隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小，隨著 的加大，的加大， 很快趨于零，即很快趨于零，即超過一定界限的隨機(jī)誤差超

43、過一定界限的隨機(jī)誤差實(shí)際上幾乎不出現(xiàn)實(shí)際上幾乎不出現(xiàn)（隨機(jī)誤差的有界性）。（隨機(jī)誤差的有界性）。 大小相等符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相大小相等符號(hào)相反的誤差出現(xiàn)的概率相等（隨機(jī)誤差的對(duì)稱性和抵償性）。等（隨機(jī)誤差的對(duì)稱性和抵償性）。)()(第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，表明測(cè)得值愈集中，精密度高；反之，其值愈測(cè)得值愈集中，精密度高；反之，其值愈大，曲線愈平坦，表明測(cè)得值分散，精密大，曲線愈平坦，表明測(cè)得值分散，精密度低。度低。 正態(tài)分布又稱高斯分布正態(tài)分布又稱高斯分布，在誤差理論，在誤差理論中占有重要的地位。由中占有重要的地位。由眾多相互

44、獨(dú)立的因眾多相互獨(dú)立的因素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差素的隨機(jī)微小變化所造成的隨機(jī)誤差，大，大多遵從正態(tài)分布，例如信號(hào)源的輸出幅度、多遵從正態(tài)分布，例如信號(hào)源的輸出幅度、輸出頻率等，都具有這一特性。輸出頻率等，都具有這一特性。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2 2）均勻分布（矩形分布）均勻分布（矩形分布) ) 在測(cè)量實(shí)踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2-2所示。均勻分布的特點(diǎn)是，在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。axbxbxaabx, 0,1)(2-10)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 均勻分布在電子測(cè)量中常見有下列幾種情況：均勻分布

45、在電子測(cè)量中常見有下列幾種情況： 儀表度盤刻度誤差：儀表度盤刻度誤差：由于儀表分辨力決定的某一范圍由于儀表分辨力決定的某一范圍內(nèi)，所有的測(cè)量值可以認(rèn)為是一個(gè)值。例如用內(nèi)，所有的測(cè)量值可以認(rèn)為是一個(gè)值。例如用500V500V量程交量程交流電壓表測(cè)得值是流電壓表測(cè)得值是220V220V，實(shí)際上由于分辨不清，實(shí)際值可，實(shí)際上由于分辨不清，實(shí)際值可能是能是219V-221 V219V-221 V之間的任何一個(gè)值，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有之間的任何一個(gè)值，在該范圍內(nèi)可認(rèn)為有相同的誤差概率。相同的誤差概率。 數(shù)字顯示儀表的最低位數(shù)字顯示儀表的最低位l l（或幾個(gè)字）的誤差：（或幾個(gè)字）的誤差：例如例如末位顯示為

46、末位顯示為5 5，實(shí)際值可能是，實(shí)際值可能是4-64-6間任一值，也認(rèn)為在此范間任一值，也認(rèn)為在此范圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計(jì)圍內(nèi)具有相同的誤差概率。數(shù)字式電壓表或數(shù)字式頻率計(jì)中都有這種現(xiàn)象。中都有這種現(xiàn)象。 由于舍入引起的誤差：由于舍入引起的誤差：去掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概去掉的或進(jìn)位的低位數(shù)字的概率是相同的。例如被舍掉的可能是率是相同的。例如被舍掉的可能是5 5或或4 4或或3 3或或2 2或或1 1，被進(jìn)位，被進(jìn)位的可以認(rèn)為是的可以認(rèn)為是5 5、6 6、7 7、8 8、9 9中任何一個(gè)。中任何一個(gè)。 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 可以證明，對(duì)式可以證明，對(duì)式(2

47、-10)(2-10)所示的均勻分布，所示的均勻分布，有數(shù)學(xué)期望：有數(shù)學(xué)期望： 12)(222abbaXM方差：方差：標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：12/ )(ab3 3）三角形分布（自學(xué)）三角形分布（自學(xué)）因?qū)W時(shí)有限，我們后面僅討論正態(tài)分布。因?qū)W時(shí)有限，我們后面僅討論正態(tài)分布。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2 2、隨機(jī)誤差影響下測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和方差（標(biāo)準(zhǔn)、隨機(jī)誤差影響下測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望和方差（標(biāo)準(zhǔn)差）差） 1 1）數(shù)學(xué)期望：反映測(cè)量值平均的情況）數(shù)學(xué)期望：反映測(cè)量值平均的情況 設(shè)對(duì)被測(cè)量設(shè)對(duì)被測(cè)量 x 進(jìn)行進(jìn)行 n 次等精度測(cè)量，得到次等精度測(cè)量，得到 n 個(gè)個(gè)測(cè)得值測(cè)得值nxxxx,321 由于隨機(jī)誤

48、差的存在，這些測(cè)得值也是隨機(jī)變量。由于隨機(jī)誤差的存在，這些測(cè)得值也是隨機(jī)變量。定義定義 n 個(gè)測(cè)得值（隨機(jī)變量）的算術(shù)平均值為：個(gè)測(cè)得值（隨機(jī)變量）的算術(shù)平均值為：niixnx11第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 式中式中 x 也稱作樣本平均值。也稱作樣本平均值。 當(dāng)測(cè)量次數(shù)當(dāng)測(cè)量次數(shù) 時(shí)，樣本平均值的極限就時(shí)，樣本平均值的極限就是測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望：是測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望：n(2-13) nxnxXMnkk當(dāng)11niixnx11(2-13) nnnxpxXMmkkkmkkk當(dāng)11第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理2 2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差：）方差與標(biāo)準(zhǔn)差：說明測(cè)量數(shù)據(jù)的離散程度隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測(cè)量的精密度即

49、測(cè)量值的分散程度。由于隨機(jī)誤差的抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來(lái)估計(jì)測(cè)量的精密度。定義方差：定義方差：為 時(shí)，測(cè)量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值，即:nnXMxnXnkk當(dāng)1221 (2-15)因?yàn)殡S機(jī)誤差因?yàn)殡S機(jī)誤差 ，故：，故： nnXnkk當(dāng)1221XMxkk第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由于實(shí)際測(cè)量中由于實(shí)際測(cè)量中 都帶有單位都帶有單位( (mV，uA等等) )，因而方差因而方差 是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方便。為了與隨機(jī)誤差便。為了與隨機(jī)誤差 單位一致，將式單位一致，將式(2-15)(2-15)兩兩邊開方，取正平方根，得邊開方，取正平方根，得標(biāo)準(zhǔn)偏差

50、（標(biāo)準(zhǔn)差或均標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)差或均方根差）：方根差）：kk X2nnXMxnXnkknkk當(dāng)121211第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3、用有限次測(cè)量值估計(jì)數(shù)學(xué)期望和方差 1）有限次測(cè)量平均值的性質(zhì) 如果在相同條件下相同條件下對(duì)同一被測(cè)量同一被測(cè)量分成 m 組組，每組重復(fù)每組重復(fù) n 次測(cè)量次測(cè)量，則每組每組測(cè)得值都有一個(gè)平均值有一個(gè)平均值 。由于隨機(jī)誤差的存在，這些算術(shù)平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。x第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 3 3、用有限次測(cè)量值估計(jì)數(shù)學(xué)期望和方差、用有限次測(cè)量值估計(jì)數(shù)學(xué)期望和方差 1 1）有限次測(cè)量平均值的性質(zhì)）有

51、限次測(cè)量平均值的性質(zhì) 我們用我們用 、 和和 來(lái)分別來(lái)分別表示表示m 組組 的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，則有：則有：x x nxx22 (2-19)a XMxM x2 xM nXx (2-19)b (2-18)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 2 2）數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì)）數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì) 估計(jì)的估計(jì)的一致性一致性（估計(jì)值依概率收斂于未知（估計(jì)值依概率收斂于未知參數(shù)）和參數(shù)）和無(wú)偏性無(wú)偏性（估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望等于未（估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望等于未知參數(shù)）知參數(shù)） 測(cè)量值測(cè)量值 X 的數(shù)學(xué)期的數(shù)學(xué)期望望 M(X) 的估計(jì)值的估計(jì)值 假設(shè)上面的測(cè)得值中不含系統(tǒng)誤差和假設(shè)上面的測(cè)得值

52、中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第粗大誤差，則第 i 次測(cè)量得到的測(cè)得值次測(cè)量得到的測(cè)得值 xi 與實(shí)際值與實(shí)際值 x0 間的絕對(duì)誤差就等于間的絕對(duì)誤差就等于隨機(jī)誤差：隨機(jī)誤差： 0 xxxiii第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 隨機(jī)誤差：隨機(jī)誤差： 則隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值為：則隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值為：0 xxxiii01101011111)(11xxnxnxnxxnnniininiiniinii第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 依據(jù)依據(jù) 可得：可得： 由于由于隨機(jī)誤差的抵償性隨機(jī)誤差的抵償性，即當(dāng)測(cè)量次數(shù)，即當(dāng)測(cè)量次數(shù) n 趨于無(wú)趨于無(wú)限大時(shí)，限大時(shí)， 趨于零：趨于零： )(0nxXM當(dāng)nnnii當(dāng)

53、011 即即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零，因此得到：，因此得到： 0 xXM即即測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望測(cè)得值的數(shù)學(xué)期望 M(X) 等于被測(cè)量真值等于被測(cè)量真值 x0 。 niixxn101nXMxnxnkk當(dāng)11(2-13)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 實(shí)實(shí)際上不可能做到無(wú)限多次的測(cè)量，對(duì)于際上不可能做到無(wú)限多次的測(cè)量，對(duì)于有限次測(cè)量，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為：有限次測(cè)量，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)近似認(rèn)為： 又由式又由式(2-13)(2-13)： 式式(2-18)(2-18)： 因此，因此，用用 作為作為 的估計(jì)值合適的估計(jì)值合適。0101xXMxnnii nXMxnxnkk當(dāng)11

54、 XMxMx XM估計(jì)的估計(jì)的一致性一致性估計(jì)的估計(jì)的無(wú)偏性無(wú)偏性第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 由上述分析我們得出，在實(shí)際測(cè)量由上述分析我們得出，在實(shí)際測(cè)量工作中，當(dāng)工作中，當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗基本消除系統(tǒng)誤差又剔除粗大誤差后大誤差后，雖然仍有隨機(jī)誤差存在，但，雖然仍有隨機(jī)誤差存在，但多次測(cè)得值的算術(shù)平均值很接近被測(cè)量多次測(cè)得值的算術(shù)平均值很接近被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望（真值）的數(shù)學(xué)期望（真值），因此就將它作為，因此就將它作為最后測(cè)量結(jié)果，并稱之為最后測(cè)量結(jié)果，并稱之為被測(cè)量數(shù)學(xué)期被測(cè)量數(shù)學(xué)期望（真值）的最佳估值望（真值）的最佳估值或最可信賴值?；蜃羁尚刨囍?。第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 剩

55、余誤差（殘差）剩余誤差（殘差） 當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，各次測(cè)得值與算術(shù)當(dāng)進(jìn)行有限次測(cè)量時(shí)，各次測(cè)得值與算術(shù)平均值之差，定義為剩余誤差或殘差：平均值之差，定義為剩余誤差或殘差： (2-21)(2-21) 對(duì)上式兩邊分別求和，有：對(duì)上式兩邊分別求和，有： 從而從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證了從而從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證了隨機(jī)誤差的抵償性隨機(jī)誤差的抵償性。xxii011111niiniiniiniixnnxxnx 2 2）數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì)）數(shù)學(xué)期望和方差的估計(jì)測(cè)量值方差的估計(jì)值測(cè)量值方差的估計(jì)值 第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 貝塞爾公式貝塞爾公式u 已知：隨機(jī)誤差已知：隨機(jī)誤差 ，其中其中xi為第為第i 次測(cè)得值，次測(cè)得值，

56、x0為真值，為真值，M(X)為為 xi 的數(shù)學(xué)期望，且的數(shù)學(xué)期望，且 u 在這種前提下，我們?cè)谶@種前提下，我們用測(cè)量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)用測(cè)量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差）差（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差）s(s(x xk k) ) 來(lái)表征測(cè)量值的分來(lái)表征測(cè)量值的分散程度散程度，用，用殘差殘差 來(lái)近似或代替真來(lái)近似或代替真正的隨機(jī)誤差正的隨機(jī)誤差，有：，有： XMxxxiii0 nxXMxnxnkk011xxii第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 貝塞爾公式貝塞爾公式112nvxsnkkknkkkxnxnxs12211或：(2-20)c(2-20)b例例2-42-4（教材（教材P P2828) )第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處

57、理（二）用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù)（二）用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法剔除異常數(shù)據(jù) 誤差絕對(duì)值較大的測(cè)量數(shù)據(jù)，可以列為可疑誤差絕對(duì)值較大的測(cè)量數(shù)據(jù)，可以列為可疑數(shù)據(jù)；數(shù)據(jù)； 盡量根據(jù)觀察分析得到的物理原因或技術(shù)上盡量根據(jù)觀察分析得到的物理原因或技術(shù)上的原因決定可疑數(shù)據(jù)的取舍；的原因決定可疑數(shù)據(jù)的取舍； 物理或技術(shù)原因處理有困難時(shí)，可以根據(jù)統(tǒng)物理或技術(shù)原因處理有困難時(shí)，可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來(lái)處理可疑數(shù)據(jù)。常規(guī)定，凡計(jì)學(xué)的方法來(lái)處理可疑數(shù)據(jù)。常規(guī)定，凡測(cè)測(cè)量值量值 在某區(qū)間以外的為異常數(shù)據(jù)，將其剔在某區(qū)間以外的為異常數(shù)據(jù)，將其剔除除，即：，即： a)a) c c通常取通常取3 3（萊特準(zhǔn)則萊特準(zhǔn)則）。）。kxkkxc

58、sxx (2-22)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 對(duì)于精密測(cè)量，常需進(jìn)行多次等精度測(cè)量，對(duì)于精密測(cè)量，常需進(jìn)行多次等精度測(cè)量，在基本消除系統(tǒng)誤差并從測(cè)量結(jié)果中剔除壞在基本消除系統(tǒng)誤差并從測(cè)量結(jié)果中剔除壞值后，測(cè)量結(jié)果的處理可按下述步驟進(jìn)行：值后，測(cè)量結(jié)果的處理可按下述步驟進(jìn)行： 列出測(cè)量數(shù)據(jù)表；列出測(cè)量數(shù)據(jù)表； 計(jì)算算術(shù)平均值計(jì)算算術(shù)平均值 ，殘差，殘差 及及 ； 按式按式(2-20b)(2-20b)計(jì)算計(jì)算 ； 按式按式(2-22) (2-22) 判斷異常數(shù)據(jù)并剔除。判斷異常數(shù)據(jù)并剔除。xk2kkxskkxcsxx(2-22)第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理（三）處理系統(tǒng)誤差的一般方法（三）

59、處理系統(tǒng)誤差的一般方法 1 1、系統(tǒng)誤差的特性、系統(tǒng)誤差的特性 排除粗差后，測(cè)量誤差等于隨機(jī)誤差排除粗差后，測(cè)量誤差等于隨機(jī)誤差 和系統(tǒng)誤差和系統(tǒng)誤差 的代數(shù)和：的代數(shù)和： ii0 xxxiiii第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理 假設(shè)進(jìn)行假設(shè)進(jìn)行n次等精度測(cè)量，并設(shè)系差為恒值系次等精度測(cè)量，并設(shè)系差為恒值系差或變化非常緩慢即差或變化非常緩慢即 ，則，則 的算術(shù)的算術(shù)平均值為：平均值為：iixniiniiiniinxxnxn10111)(11 當(dāng)當(dāng)n足夠大時(shí)，由于隨機(jī)誤差的抵償性，足夠大時(shí)，由于隨機(jī)誤差的抵償性， 的的算術(shù)平均值趨于零，于是由上式得到：算術(shù)平均值趨于零，于是由上式得到：iniixn

60、xx101第2章 測(cè)量誤差和測(cè)量結(jié)果處理可見當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)，若測(cè)量次數(shù)足夠可見當(dāng)系差與隨機(jī)誤差同時(shí)存在時(shí)，若測(cè)量次數(shù)足夠多，則多，則各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差各次測(cè)量絕對(duì)誤差的算術(shù)平均值等于系差。這說明測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與這說明測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度不僅與隨機(jī)誤差有關(guān)，更與系統(tǒng)誤差有關(guān)。系統(tǒng)誤差有關(guān)。由于由于系差不易被發(fā)現(xiàn)系差不易被發(fā)現(xiàn)，所以更須重視，由于它，所以更須重視，由于它不具備不具備抵償性抵償性，所以取平均值對(duì)它無(wú)效，又由于，所以取平均值對(duì)它無(wú)效，又由于系差產(chǎn)生的系差產(chǎn)生的原因復(fù)雜原因復(fù)雜，因此處理起來(lái)比隨機(jī)誤差還要困難。，因此處理起來(lái)比隨機(jī)誤差還要