數(shù)列極限的定義1

1、 選題依據(jù)選題依據(jù) 本節(jié)課是選自同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)第一章第二節(jié)。 極限是本課的重點(diǎn)難點(diǎn)，它是后面學(xué)習(xí)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)乃至多元函數(shù)的基礎(chǔ)。教學(xué)對(duì)象教學(xué)對(duì)象 合訓(xùn)本課大一新生有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)數(shù)列，但對(duì)極限思維初次接觸。大學(xué)數(shù)學(xué)相對(duì)高中數(shù)學(xué)，增加了數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，更顯抽象，要培養(yǎng)學(xué)員的抽象能力。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列極限的定義和判斷教學(xué)難點(diǎn)：理解數(shù)列極限的定義教學(xué)方法教學(xué)方法講授與討論教學(xué)進(jìn)程教學(xué)進(jìn)程導(dǎo)入導(dǎo)入導(dǎo)入導(dǎo)入導(dǎo)入小結(jié)看到極限，你想到了什么？看到極限，你想到了什么？討論劉徽九章算書(shū)注中言：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增

2、內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。截丈問(wèn)題截丈問(wèn)題引例1一尺之錘，日取其半，永無(wú)截盡。rn如圖所示 , 可知nAnnnrcossin2),5,4, 3(n當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí), 無(wú)限逼近 S . 推導(dǎo)至第 n天截丈的總長(zhǎng)記為 增加時(shí)，截丈的總長(zhǎng)度逐漸地接近于1.,nS當(dāng)天數(shù)n 不斷地劉徽的劉徽的割圓術(shù)割圓術(shù)引例2劉徽九章算書(shū)注中言：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。rn如圖所示 , 可知nAnnnrcossin2),5,4, 3(n當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí), 無(wú)限逼近 S . 推導(dǎo)設(shè)有半徑為 r 的圓,

3、nA逼近圓面積 S .其內(nèi)接正 n 邊形的面積記為當(dāng) 內(nèi)接正n 邊形的邊數(shù)增加時(shí)，它的面積逐漸地?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述概括,0,N正整數(shù)當(dāng) n N 時(shí),SAn總有舉例劉徽九章算書(shū)注中言：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。定義定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作)(nfxn或.nxnx稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)) .若數(shù)列nx及常數(shù) a 有下列關(guān)系 :,0,N正數(shù)當(dāng) n N 時(shí), 總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂 , 否則稱數(shù)列發(fā)散 .幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnli

4、m或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數(shù)列nx的極限為 a ,例如，,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢(shì)不定收 斂發(fā) 散例例1. 已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2)

5、 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N則當(dāng)Nn 時(shí), 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 與 有關(guān), 但不唯一.不一定取最小的 N .說(shuō)明說(shuō)明: 取11N例例3. 設(shè),1q證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 則當(dāng) n N 時(shí), 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的極限為0 .1nq劉徽的劉徽的割圓術(shù)割圓術(shù)劉徽九章算書(shū)注中言：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無(wú)所失矣。”割圓術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。劉徽的劉徽的割圓術(shù)割圓術(shù)導(dǎo)入劉徽九章算書(shū)注中言：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。劉徽的劉徽的割圓術(shù)割圓術(shù)導(dǎo)入劉徽九章算書(shū)注中言：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可分割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！备顖A術(shù)，即是不斷倍增內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，求出圓面積的方法。致謝致謝: : 首先，非常感