傳統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分在雙相介質(zhì)中模擬對比

1、傳統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分在雙相介質(zhì)中模擬對比林朋，盧勇旭（中國礦業(yè)大學（北京）煤炭資源與安全開采國家重點實驗室，北京100083）摘要：以Biot雙相介質(zhì)模型為背景，推導了雙相各向同性介質(zhì)二維三分量一階速度一應力彈性波方程方程，建立了各向同性雙相介質(zhì)波動方程的二維三分量有限差分格式。分別采用傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)對均勻和非均勻雙相各向同性介質(zhì)進行了波場模擬。結(jié)果表明：旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)能夠有效模擬雙相各向同性介質(zhì)中彈性波的傳播情況；通過傳統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)的對比，說明了旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分算法在穩(wěn)定性更強，避免了插值帶來的誤差，是一種有效的地震波場

2、模擬方法。關(guān)鍵詞：雙相介質(zhì)；傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格；旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格；波場模擬隨著人們對地球內(nèi)部認識的逐步加深和地球物理學的快速發(fā)展，含飽和流體的孔隙介質(zhì)被認為是與含油氣儲層最為接近的介質(zhì)模型，其是由固體骨架顆粒和孔隙中的流體（如氣、水等）組成雙相或多相介質(zhì)。雙相介質(zhì)中彈性波傳播規(guī)律的正確認識，對于油氣的開采具有重要意義。地震波數(shù)值模擬是人們用來描述和認識地震波傳播規(guī)律的有效途徑。交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)作為地震波場模擬的常用方法之一，在地球物理中一直被廣范應用。Biot理論描述了飽和流體空隙介質(zhì)中地震波的傳播，是雙相介質(zhì)波動理論的基礎(chǔ)1-3；Schmitt討論了柱坐標系下地震波在橫向各向異性介質(zhì)中的傳播問題；

3、Crampin通過一系列實驗研究發(fā)現(xiàn)，雙相各向異性介質(zhì)中存在橫波分裂現(xiàn)象冋；王尚旭研究了雙相介質(zhì)地震波傳播規(guī)律，并利用有限元法實現(xiàn)了雙相介質(zhì)地震波場模擬6;牟永光應用有限差分技術(shù)對孔隙各向同性介質(zhì)進行了波場分析7;劉洋等通過虛譜法對雙相各向異性介質(zhì)中彈性波的傳播特征8;王秀明等使用高階交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)實現(xiàn)了非均勻孔隙介質(zhì)的正演模擬9;裴正林通過交錯網(wǎng)格有限差分法實現(xiàn)了雙相各向異性介質(zhì)和三維橫向各向同性介質(zhì)彈性波的高階波場模擬10-11。本文使用傳統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格兩種有限差分技術(shù)對雙相介質(zhì)進行了波場模擬，通過對比，說明了旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)的有效性和優(yōu)越性。1方法原理1.1雙相各向異性介

4、質(zhì)二維三分量彈性波方程根據(jù)雙相介質(zhì)地震波傳播理論2，可得到飽和流體孔隙介質(zhì)運動方程11（呼HR）：=R+£2）bjV-（昭+P22）bijM+P/SPlij（1）a（-匚2）豈二C：；1T2）bjV-（11；2）bijV匸s-存.ij（2）式中，i、j表示x,y,z三個不同方向分量，bij表示耗散系數(shù)，荀為固相應力分量，s為作用在流體上的有效TJT應力，V氏,：y,：z-為介質(zhì)固體骨架速度矢量，V=Vx,Vy,Vz-為介質(zhì)流體速度矢量。令'為孔隙度，時1和二22分別表示單位體積內(nèi)固體骨架和流體部分的有效質(zhì)量，；12為流體相對固體骨架運動時的視質(zhì)量12<三者與固相密度匚和

5、流相密度0之間滿足2(3)(4)由飽和流體孔隙介質(zhì)傳播理論，易得雙相各向同性介質(zhì)二維三分量一階速度一應力表達式。令Qi表示固體骨架和流體空隙之間體積變化的耦合參數(shù)，R表示描述流體的彈性參數(shù)，即將一定體積流體注入孔隙收稿日期：XXX>XX-XX基金項目：國家重大科學儀器設(shè)備開發(fā)專項（2012YQ030126;國家自然基金煤炭聯(lián)合項目（U1261203;中國地質(zhì)調(diào)查局項目（12。對于雙相各向同性介質(zhì)，固相部分速介質(zhì)體積元，為保持總體積不變時在流體上施加的一種力的度量度與應力之間的關(guān)系為J后（吒心+件2Vz）jJ后（吒心+件2Vz）j(仔iOx+H2Vx)bi-一°(5)由廣義達西定

6、律可得Biot介質(zhì)流相部分速度和應力關(guān)系式1.21.2空1cs(PiADx+馬2Vx)'_(卩12$+$2Vz)jbii_°(6)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)是一種有效的地震波正演模擬方法。傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格是將網(wǎng)格剖分成整網(wǎng)格點和半網(wǎng)格點，在相鄰的兩個時間層上的網(wǎng)格點處分別定義速度和應力分量，并且在空間分布上相鄰的兩個時間層上的物理量恰好交錯半個網(wǎng)格，導數(shù)值在半網(wǎng)格點處計算，以實現(xiàn)時間和空間的交錯冋。由于速度和應力的相對關(guān)系，對于不同的介質(zhì)模型，在計算過程中需要對部分場量和模型參數(shù)進行插值，增加了計算1（a）所示。1（a）所示。誤差，降低了計算精度。網(wǎng)格定義、波場分量

7、及彈性參數(shù)位置如圖旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格由傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格發(fā)展而來，通過旋轉(zhuǎn)對網(wǎng)格進行了重新劃分和定義。與傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格相比，不同之處在于，在同一網(wǎng)格點處僅定義同一物理量（速度、應力），通過計算沿網(wǎng)格對角線物理量的差分來計算微分，由于速度分量和應力分量各定義整網(wǎng)格點和半網(wǎng)格點上，避免了部分場量和模型參數(shù)的插值14，降低了計算誤差，提高了計算精度15-16。網(wǎng)格定義、波場分量及彈性參數(shù)位置如圖1（b）所示17。(tj)歷亠H(ilj)*It1|11111I：|l1i11111ii-帶、i九心hP'MwJ百"金kQi41J4Mi.jUoGQ,尺曲山J.1zF*z.r（a）傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格（b）旋轉(zhuǎn)交

8、錯網(wǎng)格圖1交錯網(wǎng)格示意圖1.3穩(wěn)定性分析tVmax穩(wěn)定性問題是地球物理學科研究中所必須解決的難題，直接關(guān)系到數(shù)值模擬方法的成敗。對于傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)，在步長相等的情況下，時間域二階、空間2M階的穩(wěn)定性條件如下：(7)式中，口是時間步長，D是空間維數(shù)，汕為空間步長，Vmax為最大相速度，Ck時是空間差分系數(shù)。對于旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)，Saenge*14在Neumann穩(wěn)定性條件下，給出了在空間步長相等時,時間域二階、空間2M階的穩(wěn)定性條件為：(8)式中參數(shù)意義同（7）式。通過對比兩種交錯網(wǎng)格的穩(wěn)定性條件可知，相較于傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格，旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有明顯的優(yōu)點，在理論上有更寬松的穩(wěn)定性條件。

9、2數(shù)值模擬及分析2.1均勻雙相各向同性介質(zhì)波場模擬為觀察旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)在雙相各向同性介質(zhì)中的模擬效果，采用均勻各向同性介質(zhì)為背景，模型大小為256m256m，網(wǎng)格間距1m，采樣間隔0.1ms，震源采用Ricker子波，位于模型中間位置，加載于固相正應力處。模型如圖2所示。取t=40ms時的波場快照，使用傳統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)所得波場快照如圖3、4所示。01O&200圖2均勻雙相各向同性介質(zhì)模型0100£/a200(a)固相X分量10052M(b)流相X分量01002W(c)固相Z分量100200100200(d)流相Z分量圖3均勻雙相各向同性介質(zhì)傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格

10、數(shù)值模擬波場快照010CA"200(a)固相X分量0100*20000100*"200(b)流相X分量(d)流相Z分量200(c)固相Z分量圖4均勻雙相各向同性介質(zhì)旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格波場快照結(jié)合圖3和圖4可知，使用傳統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)對均勻雙相各向同性介質(zhì)模擬時，均可以得到清晰的波場快照，均勻雙相介質(zhì)中存在的快縱波、慢縱波和快橫波都清晰可見，波場特征十分明顯,波場分布符合地震波傳播規(guī)律。說明了旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)可以較好的模擬地震波在均勻雙相介質(zhì)中的傳播規(guī)律，是一種有效的地震波場模擬方法。2.2非均勻雙相各向同性介質(zhì)波場模擬為進一步驗證傳統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)

11、在雙相各向同性介質(zhì)模擬中的差異，以非均勻雙相各向同性介質(zhì)為背景，模型分為A、B兩個區(qū)域，B是一密度和速度極小的地質(zhì)異常區(qū)塊，其參數(shù)與均勻情況下相同。模型如圖5所示。對非均勻雙相各向同性介質(zhì)分別使用傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格技術(shù)和旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格技術(shù)進行波場模擬，取t=40ms時的波場快照進行對比，所得波場快照如圖6、7所示。0100200圖5非均勻雙相各向同性介質(zhì)模型(c)固相Z分量(d)流相Z分量圖6非均勻雙相各向同性介質(zhì)傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格數(shù)值模擬波場快照100200(b)流相X分量(a)固相X分量(c)固相Z分量(c)固相Z分量(d)流相Z分量圖7非均勻雙相各向同性介質(zhì)旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格波場快照從圖6可知，當使用傳統(tǒng)交

12、錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)對雙相介質(zhì)進行波場模擬時，除地質(zhì)異常體外，波場均可以正常傳播，符合雙相介質(zhì)波動理論，而在地質(zhì)異常體附近，由于波場分量和模型參數(shù)的插值，導致波場出現(xiàn)了振幅異?，F(xiàn)象，不能正確表示波場傳播情況；從圖7可以觀察到，使用旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)模擬時，波場傳播均符合雙相介質(zhì)地震波傳播規(guī)律，在地質(zhì)異常體附近有反射波和繞射波產(chǎn)生，可以正確表示波場在雙相介質(zhì)中的傳播。3結(jié)論(1) 相對傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格，旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)在理論上具有更寬松的穩(wěn)定性條件。(2) 在均勻雙相各向同性介質(zhì)的波場模擬中，旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)能夠得到清晰的波場快照，且波場特征十分明顯，可以有效模擬雙相各向同性介質(zhì)

13、中彈性波的傳播情況。(3) 對存在地質(zhì)異常體的非均勻雙相各向同性介質(zhì)，傳統(tǒng)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)穩(wěn)定性不足，具有明顯的局限性；而旋轉(zhuǎn)交錯網(wǎng)格有限差分技術(shù)適應性較強，穩(wěn)定性更好，是一種有效的地震波場數(shù)值模擬方法。參考文獻BiotMA.Theoryofpropagationofelasticwavesinafluid-saturatedporoussolid,I:Low-frequencyrangeJ.TheJournaloftheAcousticSocietyofAmerica,1956a,28:168-178.1 BiotMA.Theoryofpropagationofelasticwavesi

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