線性相關(guān)和線性無關(guān)

1、第二節(jié)第二節(jié) 線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān) 本節(jié)我們將進(jìn)一步研究本節(jié)我們將進(jìn)一步研究 n 維向量之間的維向量之間的線性線性關(guān)系關(guān)系。 其中向量組的其中向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)是非常重要是非常重要的概念，許多代數(shù)問題的研究都涉及到這個(gè)概念。的概念，許多代數(shù)問題的研究都涉及到這個(gè)概念。 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 一一. 向量的線性組合、線性表示；向量的線性組合、線性表示； 二二. 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)；向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)； 三三. 向量的向量的線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系；線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系； 四四. 判別向量判別向量相關(guān)性的例子相關(guān)性的例子。 對于兩個(gè)對于兩個(gè)

2、 n 維向量維向量 、 ，若存在一常數(shù)，若存在一常數(shù) k, 使得使得k 則稱向量則稱向量 、 成比例成比例。123 ,6 ,24 12 則。則。例如例如一、向量的線性組合、線性表示一、向量的線性組合、線性表示 現(xiàn)將這個(gè)概念推廣到多個(gè)現(xiàn)將這個(gè)概念推廣到多個(gè) n 維向量。維向量。如果存在一組數(shù)如果存在一組數(shù) ，m,21使得使得是向量組是向量組 的一個(gè)的一個(gè)線性線性m,21則稱向量則稱向量m,21組合組合，或稱向量，或稱向量可以由向量組可以由向量組，m,21對于對于 n 維行（列）向量維行（列）向量1122mm = = 定義定義112,m 稱稱為為表表出出系系數(shù)數(shù). .線性表示線性表示。其中。其中例

3、如，例如，設(shè)設(shè)),1, 2 , 1(1 3122 則則 3 3 就是向量就是向量 1 1、 2 2 的線性組合，又稱的線性組合，又稱 3 3 可可由向量由向量 1 1、 2 2 線性表示。線性表示。不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證),1 , 3, 2(2 )1, 1 , 4(3 顯然顯然：任一：任一 n 維向量維向量 =(a1,a2,an)T 都是向量組都是向量組,0011 ,的線性組合的線性組合稱為單位向量組稱為單位向量組事實(shí)上事實(shí)上,0102 100.,n1 122.,nnaaa 11220mm m,21則稱向量組則稱向量組線性相關(guān)線性相關(guān)； 否則，否則，m,21已知已知 n 維行（列）向量組維行（列）向

4、量組，定義定義2使得使得稱該向量組稱該向量組線性無關(guān)線性無關(guān)。（linearly de-pendent）二、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)二、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)00021m,m,21如果存在不全為零的一組數(shù)如果存在不全為零的一組數(shù)，有有例如，例如，),0,0, 1(1使得使得1122nn 0則顯然必有則顯然必有120,0,0n 是是線性無關(guān)線性無關(guān)的。的。事實(shí)上，若有一組數(shù)事實(shí)上，若有一組數(shù)),(,),(1000102n12,n n 維行向量組維行向量組12(,)n ？不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證 12330 所以它們是所以它們是線性相關(guān)線性相關(guān)的。的。 而對向量組而對向量組 )10, 9 , 5(3

5、 ),1 , 3 , 2(2 ),3 , 2 , 1(1 三、線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系三、線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系定理定理1 1 該向量組中該向量組中至少有一個(gè)至少有一個(gè)向量可以由其余向量可以由其余 m -1證證 因?yàn)橐驗(yàn)?線性相關(guān)線性相關(guān)，則，則m,21存在存在 m 個(gè)不全為零的數(shù)個(gè)不全為零的數(shù) ， m,21使得使得 11220mm 不妨設(shè)不妨設(shè) 1 1 0，于是，于是向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)m,21（m 2）個(gè)向量線性表示。個(gè)向量線性表示。必要性必要性 故故 1 1 可以由可以由 2 2、 m m 線性表示。線性表示。 充分性充分性 不妨設(shè)不妨設(shè) 1 1 可以由可以由 2 2、 m

6、m 線性表線性表示，示，即即12233mm 則有一組不全為零的數(shù)則有一組不全為零的數(shù) 使得使得m, 1321223310mm 32123111mm 故向量組故向量組 1 1、 2 2、 m m 線性相關(guān)。線性相關(guān)。線性相關(guān)線性相關(guān)，m,2則則 能由能由m,21線性表示，線性表示，由由向向量量組組m,21線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則存在一組存在一組不全為零不全為零的數(shù)的數(shù) ,21m，使得，使得 mm22110m,21線性無關(guān)線性無關(guān)，設(shè)設(shè)定理定理2 2證證 而而 ，,1且表示法是唯一的。且表示法是唯一的。若若 = 0，則則 1 1、 m m 不全為零，且不全為零，且 11220mm 這與這與 1、

7、2、 m 線性無關(guān)線性無關(guān)矛盾矛盾。因此。因此 0，1212mm 即即 可以由可以由 1、 2、 m 線性表示線性表示。故有故有再證唯一性再證唯一性：設(shè)：設(shè) 有如下兩個(gè)線性表示式有如下兩個(gè)線性表示式 = 1 1+ 2 2+ m m = k1 1+ k2 2+ k m m兩式相減得兩式相減得( 1- k1) 1+( 2- k2) 2+ ( m- k m) m=0由于由于 1、 2、 m 線性無關(guān)，從而有線性無關(guān)，從而有 1=k1， 2= k2， m= k m即即表示方法是唯一的表示方法是唯一的。性質(zhì)性質(zhì)1在向量組在向量組 1、 2、 m中，若有部分中，若有部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)；

8、向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)；若整個(gè)向量組線性無關(guān)，則任意部分向量組也線若整個(gè)向量組線性無關(guān)，則任意部分向量組也線性無關(guān)。性無關(guān)。反之反之，部分組部分組相關(guān)，則相關(guān)，則全體組全體組也相關(guān)；也相關(guān)；全體組全體組無關(guān)，則無關(guān)，則部分組部分組也無關(guān)。也無關(guān)。性質(zhì)性質(zhì)1在向量組在向量組 1、 2、 m中，若有部分中，若有部分 證明證明 由由相關(guān)性定義立即可相關(guān)性定義立即可得。得。推論推論1 含有零向量的向量組必定線性相關(guān)。含有零向量的向量組必定線性相關(guān)。向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)；向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)；若整個(gè)向量組線性無關(guān)，則任意部分向量組也線若整個(gè)向量組線性無關(guān)，則任意部

9、分向量組也線性無關(guān)。性無關(guān)。反之反之，四、例題四、例題 設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù) k1, k2, k 3 , 使得使得例例1 試討論下列向量組的試討論下列向量組的線性線性相關(guān)性：相關(guān)性： 解解k1 1+ k2 2 + k3 3 = 0 即即123(1,0, 1) ,(1, 1,0) ,(0,1,1)TTT 122313000kkkkkk 1231100110101kkk 所以上述所以上述方程組，方程組，11001120101 可見可見向量組的向量組的相關(guān)性相關(guān)性等價(jià)于等價(jià)于這個(gè)齊次方程組這個(gè)齊次方程組有否有否非零解非零解。 而它的系數(shù)行列式而它的系數(shù)行列式即即 k1= k2 = k 3 =0。于是

10、。于是向量組向量組 1、 2、 3是是線性線性無關(guān)無關(guān)的。的。只有唯一零解，只有唯一零解，由克萊姆法則，由克萊姆法則， 設(shè)有一組數(shù)設(shè)有一組數(shù) k1, k2, k 3 , 使得使得例例2 設(shè)向量設(shè)向量 1、 2、 3 線性無關(guān)線性無關(guān)，試證明向量，試證明向量組組 1、 1 + 2、 1 + 2 + 3 也線性無關(guān)。也線性無關(guān)。 證證k1 1+ k2 ( 1 + 2 ) + k 3 ( 1 + 2 + 3 ) = 0 即即 (k1 + k2 + k 3) 1+ (k2 + k 3) 2 + k 3 3 = 0 因?yàn)橄蛄恳驗(yàn)橄蛄?1、 2、 3 線性無關(guān)線性無關(guān)，所以，所以所以所以11111101

11、證畢證畢由克萊姆法則由克萊姆法則 這是關(guān)于這是關(guān)于k1, k2, k 3 的齊次方程組，它的系數(shù)行的齊次方程組，它的系數(shù)行 k1 + k2 + k 3 = 0 k2 + k 3 = 0 k 3 = 0 列式列式方程組只有零解，即方程組只有零解，即k1= k2 = k 3 =0。 向量的線性組合、線性表示；向量的線性組合、線性表示； 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)；向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)； 線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系。線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系。五、小結(jié)五、小結(jié) 一個(gè)向量一個(gè)向量 線性相關(guān)線性相關(guān)或或線性無關(guān)線性無關(guān)的的 充要條件充要條件是什么是什么? ?六、思考題一六、思考題一思考題解答：思考題解答： 一個(gè)向量一個(gè)向量 線性相關(guān)線性相關(guān)的的 充要條件充要條件 是：它是零是：它是零向量。向量。 思考題二思考題二 綜合性題綜合性題設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)。試討論下列。試討論下列s,21,322 向量