數(shù)學(xué)歸納法典型例題分析

1、2.(2022 濟(jì)南高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明41+2+3+=£_n* 1 2那么當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的根底上加上()(A)k2 2+1(B)(k+1) (C)21(D)(k2 2+1)+(k +2)+ +(k+1)4.假設(shè)數(shù)列a n的通項(xiàng)公式an=一(n N*),記 f(n)=(1-an 11)(1-a 2)(1-a n),試通過(guò)計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值，推測(cè)出f(n)為()n 2(A)(B)n 3(C)2n 2n 22n 1(D)n2n 1數(shù)學(xué)歸納法證題步驟與技巧因此，數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與自然數(shù)有關(guān)的命題。它能幫助我們判斷種種與自 然數(shù)n有關(guān)的猜測(cè)的正

2、確性。第一步是遞推的根底，第二步是遞推的根據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可。一、二數(shù)學(xué)歸納法第一數(shù)學(xué)歸納法可以概括為以下三步：(1)歸納奠基：證明 n=1時(shí)命題成立； 歸納假設(shè)：假設(shè)n=k時(shí)命題成立；(3)歸納遞推：由歸納假設(shè)推出 n=k+1時(shí)命題也成立。從而就可斷定xn+/能被x+y整除，當(dāng)5. (2022 徐州高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),第二步假設(shè)n=2k-1(k N)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n=時(shí)，命題亦真6. (易錯(cuò)題)假設(shè)f(n)=1 k為任意自然數(shù)，假設(shè)n v k時(shí)命題都是正確的， 如果我們能推出n=時(shí)命題也正確，就可 以肯定該命題對(duì)一切自然數(shù)都正確。數(shù)學(xué)歸納法和第二歸納法是兩個(gè)等

3、價(jià)的歸納法， 我們把數(shù)學(xué)歸納法也叫做第一歸納法。有些命題用第一歸納法證明不大方便，可以用第二歸納法證明。+22+32+(2n) 2，那么f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系式是 n+1+(a+1)2n-1 能被 a2+a+1 整除(n N * )7. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:A > 1(n N,n > 1).n8.求證:122213 3 52n 1 2n 1n n 1*,(n N)2 2n 1答案解析2.【解析】 選D.當(dāng)n=k時(shí)，左端=1+2+3+k2,當(dāng) n=k+1 時(shí)，左端=1+2+3+k2+(k 2+1)+(k 2+2)+(k+1) 2,2 2 2故當(dāng)n=k+1時(shí)，左端應(yīng)在 n=k的

4、根底上加上(k +1)+(k +2)+(k+1),故應(yīng)選 D.4.【解析】 選 B. f(n)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a n),3J4f(1)=1-a1=1-14f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)x (1- !)=3一 4f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)= f(14J615 516 8根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可得:f(n)=.應(yīng)選1B.5. 解析】因?yàn)閚為正奇數(shù)， 命題亦真.答案：2k+16. 解題指南】寫(xiě)出f(k)和f(k+1)222解析】/f(k)=1+2+(2k),f(k+1)=1 2+22+(2k) 2+(2k+1) 2+(2k+2)2 2 f(k+1)-f(

5、k)=(2k+1)+(2k+2),22即 f(k+1)=f(k)+(2k+1)+(2k+2).答案：f(k+1)=f(k)+(2k+1)+(2k+2)17. 證明】(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=一2且與2k-1相鄰的下一個(gè)奇數(shù)是 2k+1,故進(jìn)而需證n=2k+1時(shí),，采用作差法1 134 12右邊=1，不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k > 2,kk k那么當(dāng) 11 k 2n=k+1 時(shí)， N)時(shí)，不等式成立，即 古> 1.1k2 1(1k1k2 11k221k22k 1>1 2k12k 2k 12k k 122/ k > 2, k -k-1 > 0,1 +k2k2 k 12

6、 -k k 1這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立 由(1)和(2)可知，原不等式對(duì)任意大于1的正整數(shù)1 丄2 3【證明】當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1,右邊=1,左邊?右邊，結(jié)論成立;【變式訓(xùn)練】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n都成立.1 3n _2 (n n 2n 1N).假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立,11即1-222k3k1當(dāng) n=k+1時(shí)，1F面證:3k2k3k作差得2k 13k2k 1k k2k 1 2k 1 2k 3> 0,得結(jié)論成立，即當(dāng)n= k+1時(shí),由和知，不等式對(duì)一切8.(2022 開(kāi)封高二檢測(cè))在數(shù)列a n,b n中，a1=2,b 1=4,且 an,bn,a n+1 成等差數(shù)列，bn,

7、a n+1,b 成等比數(shù)列(n N),求a2,a 3,a 4與b2,b 3,b 4的值，由此猜測(cè)a n,b n的通項(xiàng)公式，并證明你 的結(jié)論.不等式也成立.n N*都成立.n+18.【解題指南】 采用“歸納一一猜測(cè)一一證明的思想方法2【解析】由條件得2bn=an + an+1, a n 1 =b nbn+1.又 a1=2,b 1=4,由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b 3=16,a 4=20,b 4=25,2猜測(cè) an=n(n +1),b n=(n+1).用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)n=1時(shí)，a1=2,b 1=4,結(jié)論成立. 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，2即 ak=k(k+1),b k=(k+1)

8、.那么 n=k+1 時(shí)，2ak+1 =2bk-a k=2(k+1) -k(k+1)=(k+1) : (k+1)+1 :,bk+1 =2oJ =(k+2) 2= : (k+1)+1 : 2, bk/ n=k+1 時(shí),由和知，【挑戰(zhàn)能力】【解題指南】【解析】(1)結(jié)論也成立2an=n(n+1),b n=(n+1)對(duì)一切正整數(shù)都成立 .此題是式子的整除問(wèn)題，與正整數(shù)n有關(guān)，用數(shù)學(xué)歸納法解決是較好的選擇2 12 2當(dāng) n=1 時(shí)，左邊=a+(a+1) =a +a+1，可被 a +a+1 整除； 假設(shè) n=k(k > 1, k N*)時(shí)，k+1+1z八 2(k+1)-1k+2z八 2k+1a +(

9、a+1) =a +(a+1)k+1“八 2"八 2k-1=aa +(a+1) (a+1)=aak+1+a(a+1) 2k-1+(a 2+a+1)(a+1)ak+1+(a+1) 2k-1 能被 a2+a+1 整除，那么當(dāng) n=k+1 時(shí),2k-1廠 k+1#.2k-1/22k-1=a a +(a+1) +(a +a+1)(a+1),由假設(shè)可知a ak+1+(a+1) 2k-1 能被a2+a+1整除.又(a2+a+1)(a+1) 2k-1 也能被 a2+a+1 整除，所以 ak+2+(a+1) 2k+1 能被 a2+a+1 整除，即 n=k+1時(shí)，命題成立.由(1)和 知，對(duì)一切n N命

10、題都成立.【方法技巧】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題技巧應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是“湊項(xiàng)“硬提公因式，即將n=k時(shí)的項(xiàng)從n=k+1時(shí)的項(xiàng)中“硬提出來(lái)，構(gòu)成n=k時(shí)的項(xiàng)，后面的式子相對(duì)變形，使之與 n=k+1時(shí)的項(xiàng)相同，從而到達(dá)利用假設(shè)的目的.一、選擇題(每題4分，共16分)1.(2022 馬鞍山高二檢測(cè))用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+(n+3)= (n N)2時(shí)，第步驗(yàn)證n=1 時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是 ()(A)1(B)1+2(C)1+2+3(D)1+2+3+41k=111，那么 Sk+1 為()k 1k 2k 32k(A)S k+ -1(B)S k+-1+1(C)S k+1-1(D)S

11、k+1-12k 22k 1 2k 22k 1 2k 22k 2 2k 13.某個(gè)命題與正整數(shù) n有關(guān)，如果當(dāng)n=k(k N)時(shí)，命題成立，那么n=k+1時(shí)，命題也成立, 即當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立，那么可推得()(A)當(dāng)n=5時(shí)命題不成立(B)當(dāng)n=5時(shí)命題成立(C)當(dāng)n=3時(shí)命題不成立(D)當(dāng)n=3時(shí)命題成立“用數(shù)學(xué)歸納法證明n2 nvn 1(n N*) 的過(guò)程如下：證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，顯然命題是正確的；(2)假設(shè)n=k時(shí)，.k k 1 < k 1 ,那么當(dāng)n=k+1 時(shí)，k 1 2 k 1.k2 3k 2 < k2 4k 4 k 11 所以當(dāng) n=k+1 時(shí)命題是正確的，由(

12、1)(2)可知對(duì)于(n N*)命題都是正確的.以上證法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤在于()(A)從k到k+1的推理過(guò)程沒(méi)有使用歸納假設(shè)(B)歸納假設(shè)的寫(xiě)法不正確(C)從k到k+1的推理不嚴(yán)密(D)當(dāng)n=1時(shí)，驗(yàn)證過(guò)程不具體二、填空題(每題4分，共8分)“n3+5n能被6整除的過(guò)程中，當(dāng) n=k+1時(shí)，式子(k+1) 3+5(k+1)應(yīng)變形為6.在數(shù)列an中，a1=2,an+1an(n N*)，依次計(jì)算出a2,a3,a 4后，歸納猜測(cè)得出an的表3an1達(dá)式為三、解答題(每題8分，共16分)12 22n2n n 1*7.求證：,(n N)13 3 52n1 2n 12 2n 18.平面上有n(n > 2

13、)條直線，其中無(wú)兩條直線平行，也無(wú)三線共點(diǎn)，求證：這 分割成n2條線段或射線.【挑戰(zhàn)能力】n條直線互相(10分)在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)ai,a2,a3,a n,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在 1與2 之間插入n個(gè)正數(shù)bl,b 2,b 3,b nn=aia2a3an,Bn=bi+b2+b3+bn.試比擬 A與B的大小(n N)，并證明你的結(jié)論.答案解析1.【解析】選D.由所給等式可知，當(dāng)12.解析】選C. / Skn=1時(shí)，左邊應(yīng)有四項(xiàng)，即12k 2k 11+2+3+4.2k 2Sk 1SkSk2k 11 12k 22k 1 2k 2獨(dú)具【易錯(cuò)提醒】 在由n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化過(guò)程中, 減少

14、的項(xiàng)，3. 【解析】立.4. 【解析】5. 【解析】+6/ k(k+1)為偶數(shù)， 3k(k+1)+6能被6整除.3答案：(k +5k)+3k(k+1)+6必須搞清式子的結(jié)構(gòu)，即弄清楚增加和此題易誤選B.選C.判斷其逆否命題,假設(shè)n=3時(shí)，該命題成立，那么 n=3+1=4時(shí)，命題也一定成選A.由推理過(guò)程可知，在第二步證明n=k+1的結(jié)論時(shí)，沒(méi)有使用歸納假設(shè)332323(k+1) +5(k+1)=k +1+3k +3k+5k+5=(k +5k)+3k +3k+6=(k +5k)+3k(k+1)6.【解析】 a1=2, an 1 an3an 1a2a13a1 12,a723a2113月4a2a323

15、a3 1192an=6n 5'2答案：an=(n N*)6n 5于是猜測(cè)7.【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1 311丄，右邊=丄32 3左邊=右邊當(dāng)n=1時(shí)，等式成立 假設(shè)當(dāng)n=k(k > 1,k N)時(shí)，等式成立，即12 22k213 3 52k 1 2k 1k k 1成立,2 2k 1當(dāng)n=k+1時(shí)，1222k22k 1 2k 12k 1 2k 32 2k 12k 1 2k 3(k3) 2(k 1)1?k(2k2 2k 1 2k 3k 1 (k 2)2 2k 3k 1 k 2 (2k 1)2 2k 1 2k 3k 1 k 112 2 k 1等式也成立 等式對(duì)任意 當(dāng)n=2時(shí)

16、，兩條相交直線互相分割成4=22條射線，命題成立.當(dāng) n=k+1 時(shí)，n N*都成立.由(1) (2)可知，8.【證明】(1)(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k N且k > 2)時(shí)，命題成立，即k條直線互相分割成 k2條線段或射線. 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線與前k條直線有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)把第k+1條直線分成 k-1條線段和2條射線，這k個(gè)交點(diǎn)又把它原來(lái)所在的線段或射線分成2段，所以線段或射線又增加了 k段.加進(jìn)第k+1條直線后，共增加了k-1+2+k條線段或射線，這時(shí)有k2+k-1+2+k=(k+1) 2條線段或射線，所以 n=k+1時(shí)命題也成立，由(1)(2)可知，結(jié)論成立.【挑戰(zhàn)能

17、力】獨(dú)具【解題提示】先由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，求出代與Bn,再由特殊到一般猜測(cè) 代與B的大小，用數(shù)學(xué)歸納法證明.【解析】T 1,a 1,a2,a 3,a n,2成等比數(shù)列，aan=a2an-1 =a3an-2 =akan-k+1 =1 x 2=2,2n二 An=(a1an)(a 2an-1 )(a 3an-2)(an-1 a2)(a na1)=2 ,n A=22又1,b 1,b 2,b 3,b n,2成等差數(shù)列, b1+bn=1+2=3,n d bn Bn=要比擬A與B的大小，只需比擬A；與B；的大小，即比擬2n與9 n2的大小.4當(dāng) n=1,2,3,6 時(shí),容易計(jì)算出當(dāng) n=7 時(shí)，27=1

18、28,/ 128 > 他, 2n>4當(dāng) n=8 時(shí)，28=256,/ 256 > 144, 2n >3 x 72=4414 49 2n .492X 8 =144,49 2n .4n 9 2猜測(cè)：當(dāng)n?7時(shí)，有2 > n .4以下用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：當(dāng)n=7時(shí)，已驗(yàn)證猜測(cè)正確.假設(shè)n=k(k > 7)時(shí)猜測(cè)正確，即2k> - k2.4那么 n=k+1 時(shí)，2k+1=2 2k>2 9k2=- 2k2,44又當(dāng) k> 7 時(shí)，2k -(k+1) =k -2k-仁(k-1)-2 >0,k+192 2>(k+1).4即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜測(cè)也正確.由知，對(duì)一切 n?7(n N)，都有2 >二n ,4即 A n > B：，也即 An> Bn.綜上，當(dāng) 1< nW 6(n N*)時(shí),AnV B;當(dāng) n?7(n N*)時(shí)，An>Bn.高考題型歸納：題型1.證明代數(shù)恒等式例1歸納法證明下述等式問(wèn)題：1 (n212)2 (n222) n(n2 n2) S2(n 1)(n1).4練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明