概率論：第4章 隨機向量

1、第第4章章 隨機向量隨機向量二維隨機向量及其分布二維隨機向量及其分布二維離散型隨機向量二維離散型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量邊緣分布邊緣分布隨機變量的相互獨立性隨機變量的相互獨立性條件分布條件分布隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布定義定義1 設(shè)設(shè)1()，2()，n()是定義在樣本空間是定義在樣本空間上的隨機變量，則上的隨機變量，則 n維向量維向量(1()，2()，n()稱為稱為 上的上的n維隨機向量或維隨機向量或n維隨機變量。維隨機變量。4.1 二維隨機向量及其分布二維隨機向量及其分布i() (i=1,2, ,n) 稱為第i個分量（或坐標(biāo)）(1(), 2(), , n()簡記

2、為 (1，2，n)聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) yxyxyx,定義定義 設(shè)(,)是二維隨機變量，對任意實數(shù)x、y，函數(shù)F(x,y) =Px， y 稱為(,)的（聯(lián)合）分布函數(shù)。Px1 x2，y1 y2=P x2，y2P x2，y1 P x1，y2P x1，y1=F(x2，y2) F(x2，y1) F(x1，y2) F(x1，y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)yx(x1,y1)定理定理 設(shè)F(x,y)為隨機向量(,)的分布函數(shù)，則() 對對x或或y都是單調(diào)增的都是單調(diào)增的，即 當(dāng) x1x2時，F(xiàn)(x1,y) F(x2,y) 當(dāng)y10,2 0, r 0,x1 ，求 P(,)D。 解解 （

3、）（）由二維分布函數(shù)性質(zhì)，得0arctan2,yCBAyF02arctan,CxBAxF12CB2A,F21212CBA由以上三式可得到 （）（） (,)的分布密度2222y1x11yxy, xFy, xyxyxFarctan121arctan121, （）（） Ddxdyy, xD,P1222111dxdyyxx1222arctan111dxxx329arctan2arctan211122xx例例3 已知二維隨機向量（，）的密度為 試確定k的數(shù)值，并求(,)落在區(qū)域D=(x，y)|x2yx，0 x1的概率。其他010 , 1,2xyxkxyyxf解解 由概率密度性質(zhì)，知 1, dxdyyxf

4、66)221(,1021012 kkdxxxkkxydydxdxdyyxfx即41)(366),(),(10 ,),(10421022dxxxxxydydxxydxdydxdyyxfDPxxyxyxDxxDDy=xy=x211二維均勻分布二維均勻分布為密度函數(shù)的隨機向量(,)服從二維均勻分布。其中SD為平面區(qū)域D的面積。 其他以稱0),(1,DyxSyxfD4.4 邊緣分布邊緣分布定義定義1：對隨機向量(,)，若已知其聯(lián)合分布，則或的概率分布稱為它的邊緣分布。定義定義2：隨機向量(,)分量、的分布函數(shù)稱為(,)關(guān)于、的邊緣分布函數(shù)。 設(shè)(,)的分布函數(shù)為F(x,y) ，則(,)關(guān)于的邊緣分布函

5、數(shù)為 ,xFxPxPxF y,FyF由上述可知，F(xiàn)(x)、F(y)由F(x,y)唯一確定，但其逆并不一定成立。同理離散型的邊緣分布律離散型的邊緣分布律 二維離散型隨機向量(,)的分量、都是一維離散型隨機變量，、的分布律分別稱為(,)關(guān)于、的邊緣分布律。 設(shè)(,)的聯(lián)合分布律為P=xi , =yj= pij (i,j=1,2, ) ，則(,)關(guān)于的邊緣分布律有1)(,jjiiiyxPxPxP1),(jjiyxP11,jijjjipyxP 簡記為, 2 , 1i,pxPp1jijii 同理， (,)關(guān)于的分布律為, 2 , 1j,pyPp1iijjj 例例 一袋中有五件產(chǎn)品，其中兩件次品，三件正品

6、，從袋中任意依次取出兩件，分別采用有放回與不放回兩種方式進行抽樣檢查，規(guī)定隨機變量第次取出正品第次取出次品, 0第次取出正品第次取出次品, 0則(,)的聯(lián)合分布律如下（并可求得邊緣分布律）：表表 有放回抽樣的分布律有放回抽樣的分布律 11010ijp254256256259jip5253ijp5253 11010ijpjip5253ijp5253表 不放回抽樣的分布101103103103設(shè)連續(xù)型隨機變量(,)的密度函數(shù)為(x,y)，則(,)關(guān)于的邊緣分布函數(shù)F(x)有連續(xù)型的邊緣分布密度函數(shù)連續(xù)型的邊緣分布密度函數(shù) xdudyyuxFxF, dyy, xx其分量是一維連續(xù)型隨機變量，且的分布

7、密度為 分別稱為隨機變量(,)關(guān)于，的邊緣分布密度。同理， dxy, xy yy， 例例 設(shè)(,)在橢圓 所圍成的區(qū)域上服從均勻分布。即其聯(lián)合密度為1byax22221byax, 01byax,ab1y, x22222222求它的邊緣密度。 解解 0,dyyxx dyyxx,(1)當(dāng)xa時，0),(yx(2)當(dāng)xa時，222222221111010axbaxbaxbaxbdydyabdy2212axa222222221111,axbaxbaxbaxbdyyxdyyxdyyx ax,ax1a2ax, 0 x22同理，可得關(guān)于的邊緣密度 by,by1b2by, 0y22 例例 設(shè) (,)服從二維正

8、態(tài)分布，其聯(lián)合分布密度為求邊緣分布密度。21222121212122212121exp121,yyxrxrryx),(,),(222211NN證明：證：證：2211,yvxu令 dyyxx,dvvruvurr222212121exp121dvrruvreu2221212exp1212221211212exp211212xeu則),(211N同理同理:222222exp21),()(ydxyxy其中用到：其中用到：adxexa2022),(222N4.5 隨機變量的相互獨立性隨機變量的相互獨立性 定義定義 F(x,y)及F(x)、F(y) 分別是(,)的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對任意實數(shù)x

9、、y有F(x,y)= F(x) F(y) 即 yPxPyxP,則稱隨機變量、是相互獨立。 定理定理 設(shè)(,)是二維連續(xù)型隨機變量，(x,y)及(x)、(y)分別是(,)的聯(lián)合分布密度及邊緣分布密度，則、相互獨立的充要條件是：對任意相互獨立的充要條件是：對任意點點(x,y)，有有(x,y)=(x) (y) yxyx, yFxFdvvduududvvududvvuyxFxyxyxy ,證明證明若，相互獨立，即有 yFxFy, xF 此式的兩邊對x及y求導(dǎo)，便可得到 yxyFxFyxyxFyx,2定理定理 設(shè)(,)是二維離散型隨機變量，則、相互獨立的充要條件是：對對(,)的任意一組可能值的任意一組可

10、能值(xi,yj)有有jijiyPxPy,xP, 2 , 1,jipppjiij 即 證明證明 只證充分性jijiyPxPyxP,設(shè), 2 , 1j , ixxyyjixxyyjiijijyPxPyxPyxF,即，相互獨立，這就證明了條件的充分性。必要性的證明復(fù)雜一些，證明略。 yFxFyPxPyyjxxiji解解表表 有放回抽樣的分布律有放回抽樣的分布律 11010ijp254256256259jip5253ijp5253 例例1 檢驗4.4中例有放回抽樣和無放回抽樣條件下，、邊緣分布的獨立性。（p36）p56從表知：pij=pi.pj. i,j=1,2 所以， ，相互獨立。 11010ij

11、pjip5253ijp5253101103103103表表 不放回抽樣的分布不放回抽樣的分布 從表知： 1111pp5252101p所以，所以，不相互獨立。不相互獨立。例例2 檢驗4.4例中、邊緣分布的獨立性。（p41）解解 顯然， 所以，不相互獨立。 yxyx,p59例例3 (,)服從參數(shù)為1，2，1，2，r的二元正態(tài)分布,證明、相互獨立的充要條件是r0。證證 因為， 222221212121exp21yxyx 充分性充分性 若r=0 ，則對任意實數(shù)x，y有 yxy, x 即、相互獨立。 必要性必要性 若、相互獨立，則對任意實數(shù)x，y有 yxy, x2122121r121取x=1，y=2時上

12、式也成立，此時上式化為從而得到r=0。0r 例例4 在某一分鐘內(nèi)的任何時刻，信號進入收音機是等可能的。若收到兩個相互獨立的信號的時間間隔小于.秒，則信號相互干擾。求：兩信號相互干擾的概率。解解 把一分鐘取作區(qū)間0，1，設(shè)兩信號進入收音機的時刻分別為、（單位：分） 其它, 010, 1xx 其它, 01y0, 1x0, 1yxy, x、相互獨立，所以(,)的聯(lián)合分布密度如下： 其它, 01x0, 1y166.120)()(1,1201積兩個等腰直角三角形面正方形面積的面積DdxdydxdyyxPDD1201 xy1201 xy12011201D 相互獨立的概念可以推廣到多于兩個隨機相互獨立的概念

13、可以推廣到多于兩個隨機變量的情形。變量的情形。 (1) n個隨機變量1,2,n相互獨立，就是說，對任意個實數(shù)x1,x2,xn 有 nnnnxPxPxPxxxP22112211,(2) 一系列隨機變量1,2,n ,相互獨立，就是指，對于任意有限個自然數(shù)k1,k2,kn有 k1, k2,kn相互獨立；定理和定理也可以推廣到多于兩個隨機定理和定理也可以推廣到多于兩個隨機變量的情形。變量的情形。4.6 條件分布條件分布對于離散型隨機向量，對于離散型隨機向量，當(dāng)當(dāng)p.j0時，時，稱稱jijjjijippyPyxPyxP.,為為=yj條件下條件下的條件分布律。的條件分布律。離散型隨機變量的條件分布離散型隨

14、機變量的條件分布當(dāng)當(dāng)pi.0時，在時，在=xi條件下條件下的條件分布律的條件分布律.,iijijiijppxPyxPxyP類似地類似地 例例1 在整數(shù)在整數(shù)15中任取一數(shù)中任取一數(shù)，(1)取取后放回去再取另一數(shù)后放回去再取另一數(shù)。(2)取取后不放回去再取另一數(shù)后不放回去再取另一數(shù)。在這兩種情況下分別求在這兩種情況下分別求(,)的聯(lián)合分布律、邊的聯(lián)合分布律、邊緣分布律、緣分布律、P=2。解解 512251,5 , 2 , 1,51) 1 (iPiPjPiPjiPjijPiP獨立，jijiijPiPjiPjijijiijPiP0201,5 , 2 , 1,04151)2(205 , 4 , 3 ,

15、 1412415120122022222,25 , 2 , 1512014,51iiiPiPiPiPiPiPjjiPjPi即時，當(dāng)時，當(dāng)連續(xù)型隨機變量的條件分布連續(xù)型隨機變量的條件分布)()(),(),(yfxfyxf、，邊緣密度為的聯(lián)合密度為設(shè),limlim)(0)(00yyyPyyyxPyyyxPyxPyxFyyyfyy的分布函數(shù)的條件下，定義在，的對連續(xù)，、如)(),(yfyxf yyyxyyyydvvfdudvvuf)(),(lim0)(),()()(),()(),()(yfyxfyxfduyfyufyfduyufyxFxx由積分中值定理類似地，類似地，的條件分布函數(shù)及條件密度函數(shù)為的

16、條件分布函數(shù)及條件密度函數(shù)為)(),()()(),()(xfyxfxyfdvxfvxfxyPxyFy)()(),(),(yfxfyxf、，邊緣密度為的聯(lián)合密度為設(shè)綜上所述綜上所述)(),()()(),()(xfyxfxyfyfyxfyxf 例例2設(shè)設(shè)(,)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為。及求其他)()(010 , 16),(2xyfyxfxyxxyyxf其他時或當(dāng)時當(dāng)01033)(0)(01336)(105512xxxxfxfxxxxxydyxfxx解解其他時或當(dāng)時當(dāng)0103)(0)(0136)(10220yyyfyfyyyxydxyfyy其他其他時當(dāng)010 , 112010 , 1)1 (36)(

17、),()(102424xyxxyxyxxxxyxfyxfxyfx其他其他時當(dāng)010 ,02010 ,036)(),()(102yyxyxyyxyxyyfyxfyxfy例例3分布的二維服從設(shè)),(),(222121aaN解解。、正態(tài)隨機變量，求)()(xypyxp)(),()(ypyxpyxp)()1 (21exp12122211221ayax2)(exp)()(2)()1 (21exp21121222222222121212122221ayayayaxax由此可知由此可知的正態(tài)分布。的條件下，服從在)1 (),(2212211ayaNy)()1 (21exp1212221122121ayax由

18、此可知由此可知的正態(tài)分布。的條件下，服從在)1 (),(2221122axaNx)()1 (21exp121)(2112222222axayxyp由對稱性4.7 隨機向量函數(shù)的分布隨機向量函數(shù)的分布離散型隨機向量和函數(shù)的分布離散型隨機向量和函數(shù)的分布 設(shè)設(shè) (,)的布律為的布律為P=i,=j=pij （i=0，1，2，; j=0，1，2，） 令令=+則則取值為取值為0,1,2, , 1 , 0,)(0,0kpikiPkPkiikikikiikikkk0,，有對任意非負(fù)整數(shù)特別地，當(dāng)特別地，當(dāng),獨立時，有獨立時，有, 1 , 0)(00kppikPiPkPkiikiki,ikPiPikiP故故

19、例例1 證明：證明：P(1),P(2)，且，且、相互獨立。相互獨立。 ，證明證明P(1+2)。, 2 , 1 , 0!)!( !)!(!)()(21021)(2010212121kekikieeikeiikPiPkPkkiikiikkiikiP(1+2);();();(pmnBpmBpnB，則獨立，、， 例例2 證明證明mnkqpCCCqpqpCqpCikPiPkPkmnkkmnkiikminkmnkikmikikminikiinki, 2 , 1 , 0)(000連續(xù)型隨機向量和函數(shù)的分布連續(xù)型隨機向量和函數(shù)的分布設(shè)設(shè)(,)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為f(x,y)令令=+ xzzyxdydxyx

20、fdxdyyxfzPzPzF),(),()()()( zzxzdxxufxfdududxxufxfzFdudyxuydxdyyfxfzFyfxfyxf)()()()()(,)()()()()(),(,則令獨立，則如卷積公式卷積公式dxxzfxfzf)()()(dxxfxzfzf)()()(也可表為：也可表為：卷積公式卷積公式 例例3設(shè)設(shè),是相互獨立的服從是相互獨立的服從N(0,1)的隨機變量，求的隨機變量，求 的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。 解解dxeedxeedxxzfxfzfzxzxzx2222)2(42)(22121)()()(42422221221)(,22ztzedteezfzxt得令N(0,2),(),(),(122221212122222