理論力學(xué)動力學(xué)習(xí)題答案

1、理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程FdtvdmbFdtdvma.,.( )A、a、b都正確； B、a、b都不正確。C、a正確，b不正確；D、a不正確，b正確。vnFM (2)重量為G的汽車，以勻速v駛過凹形路面。試問汽車過路面最低點時，對路面的壓力如何 ? （ ） A、壓力大小等于G； B、壓力大小大于G。 C、壓力大小小于G； D、已知條件沒給夠，無法判斷?！舅伎碱}思考題】 1 1選擇題選擇題 （1）如圖所示，質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F作用，沿平面曲線運動，速度為v。試問下列各式是否正確？AB理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程 （3）質(zhì)量為m的質(zhì)點，

2、自A點以初速度v0 向上斜拋。試問質(zhì)點在落地前，其加速度加速度大小、方向是否發(fā)生變化？（空氣阻力不計） （ ）A、加速度大小不變、而方向在變化。B、加速度大小在變化、而方向不變。C、加速度大小、方向都在變化。D、加速度大小、方向都不變化。2 2判斷題判斷題 （1）質(zhì)點的運動方程和運動微分方程的物理意義相同.（ ）D運動方程是位移與時間關(guān)系方程；運動微分方程是位移微分與力關(guān)系方程。運動方程是位移與時間關(guān)系方程；運動微分方程是位移微分與力關(guān)系方程。加速度始終為重加速度始終為重力加速度力加速度g。（2）已知質(zhì)點的運動方程可唯一確定作用于質(zhì)點上的力。（ ）已知作用于質(zhì)點上的力確定質(zhì)點的運動方程時還需考

3、慮運動的初始條件。已知作用于質(zhì)點上的力確定質(zhì)點的運動方程時還需考慮運動的初始條件。（3）已知作用于質(zhì)點上的力可唯一確定質(zhì)點的運動方程。（ ）理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程mLmvpC61)6(12122LmmLJLOO291mL22218121mLJTO223mRJLOO2224321mRJTOmRp mvp 221mRJLCC2224121mRmvT 例例11-1 基本量計算基本量計算 (動量，動量矩，動能動量，動量矩，動能)CrCCOLvmrL223mRJRmvLCO理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程質(zhì)量為質(zhì)量為m長為長為l的均質(zhì)細長桿，

4、桿端的均質(zhì)細長桿，桿端B端置于水平面，端置于水平面，A端鉸接于質(zhì)量為端鉸接于質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r的輪的輪O邊緣點邊緣點A, ,已知輪沿已知輪沿水平面以大小為水平面以大小為 的角速度作純滾動的角速度作純滾動，系統(tǒng)的動量大小為（，系統(tǒng)的動量大小為（ ），對），對點點P的動量矩大小為的動量矩大小為 （ ），系統(tǒng)動能為（，系統(tǒng)動能為（ ）。）。 圖示行星齒輪機構(gòu)，已知系桿圖示行星齒輪機構(gòu)，已知系桿OA長為長為2 2r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，行星齒輪可視為均質(zhì)輪，行星齒輪可視為均質(zhì)輪，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為r，系桿繞軸，系桿繞軸O轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動的角速度為的角速度為 。則該系統(tǒng)動量主矢的大。則該系統(tǒng)

5、動量主矢的大小為（小為（ ），對軸），對軸O的動量矩大小的動量矩大小為（為（ ），），系統(tǒng)動能為（系統(tǒng)動能為（ ）。）。 mr32313mr22311mr03mr0227mr202411mrAO 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程【解】【解】因為按圖示機構(gòu)，系統(tǒng)可分成3個剛塊：OA、AB、和輪B。首先需找出每個剛塊的質(zhì)心速度： （1）OA作定軸轉(zhuǎn)動，其質(zhì)心速度在圖示瞬時只有水平分量 ，方向水平向左。1121lvcxA AB BO O 如圖所示系統(tǒng)中，均質(zhì)桿OA、AB與均質(zhì)輪的質(zhì)量均為m，OA 桿的長度為l1，AB桿的長度為l2，輪的半徑為R，輪沿水平面作純滾動。在圖示瞬

6、時，OA 的角速度為，則整個系統(tǒng)的動量為多少？例例9 94 4（2）AB作瞬時平動，在圖示瞬時其質(zhì)心速度也只有水平分量 ，方向水平向左。12lvvAcx理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程（3）輪B作平面運動，其質(zhì)心B的運動軌跡為水平直線，所以B點的速度方向恒為水平，在圖示瞬時 ，方向水平向左。1lvvAB所以0yp)(251321mlmvmvmvpxxxx所以125mlppx方向水平向左A AB BO O理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程【解】【解】01 cvc 例例95在靜止的小船中間站著兩個人，其中甲m150kg，面向船首方向走動1.5m。乙

7、m260kg，面向船尾方向走動0.5m。若船重M150kg，求船的位移。水的阻力不計。 受力有三個重力和一個水的浮力，因無水平力，水平方向質(zhì)心運動守受力有三個重力和一個水的浮力，因無水平力，水平方向質(zhì)心運動守恒，又因初始靜止，即恒，又因初始靜止，即常數(shù)cx把坐標原點放在船的質(zhì)心的初始位置：把坐標原點放在船的質(zhì)心的初始位置： 01Cxgm1gm2gMy ygM尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1設(shè)當(dāng)經(jīng)過設(shè)當(dāng)經(jīng)過t時間后，船向右移動時間后，船向右移動x，則：，則： 0)5 . 0()5 . 1(21212MmmxmxmMxxc21CCxx0)5 . 0()5 . 1(21xmxmMx)(17

8、3.026075305 .15 .02112實際應(yīng)向左位移mMmmmmx理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程把坐標原點放在船的左側(cè)位置：把坐標原點放在船的左側(cè)位置： gm1gm2gMy ygM尾尾首首甲甲乙乙gm2甲甲乙乙xxxgm1設(shè)當(dāng)經(jīng)過設(shè)當(dāng)經(jīng)過t時間后，船向右移動時間后，船向右移動x，則：，則： MmmxlmxlmxlMxc21212)5 . 02()5 . 12()2(21CCxx0)5 . 0()5 . 1(21xmxmMx)(173.026075305 .15 .02112實際應(yīng)向左位移mMmmmmx222221211lmmMlmlmlMxc理論力學(xué)電子教程理

9、論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例9-9 9-9 如圖所示，均質(zhì)桿AB長為l，鉛垂地立在光滑水平面上，求它從鉛垂位置無初速度地倒下時，端點A的軌跡?！窘狻俊窘狻? xF因此，沿x軸方向質(zhì)心位置應(yīng)守恒，質(zhì)心C始終在y軸上，A點的坐標可表示為：cos2coslACxA sinsinlAByA 消去 ，得：2224lyxAA即A點的軌跡為橢圓。CCA AB BBA建立oxy：并令y軸通過質(zhì)心，則 且有AB桿初始靜止，理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程系統(tǒng)的動量矩守恒。 , 0)()(rPrPFmBAeO0常量 rvmrvmLBBAAo)(2vvA猴A與猴B向上的絕對

10、速度是一樣的,均為 。2v已知：猴子A重=猴子B重，猴B抓住繩子由靜止開始相對繩以速度v上爬，猴A抓住繩子不動，問當(dāng)猴B向上爬時，猴A將如何運動？運動的速度多大？（輪重不計）例例104【解】vvvvvvABreB)(2vvvvAB理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程OCCrxy(a)【解解】 （1）用動能定理求角速度。01T例例11-5 如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓盤，可繞通過O 點且垂直于盤平面的水平軸轉(zhuǎn)動。設(shè)盤從最高位置無初速度地開始繞O軸轉(zhuǎn)動。求當(dāng)圓盤中心C和軸O點的連線經(jīng)過水平位置時圓盤的角速度、角加速度及O處的反力。2222220243)21(2121m

11、rmrmrJTmgrW 12，得由1212WTTmgrmr04322rg34（2）當(dāng)OC在同一水平位置時，由動量矩定理有：mgrdtdJO代入JO，有rg32理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程gmCaOxFnCaOyFC(b)（3）求O處約束反力作圓盤的受力分析和運動分析，有由質(zhì)心運動定理，得mgFFmaOxOxnC3434342grgrranCgraC32mgFFmgmaOyOyC31法二：用動能定理求角速度及角加速度。01T2222220243)21(2121mrmrmrJT)cos1 (12mgrW，得由1212WTT(*)cos1 (04322mgrmr)cos

12、1 (34rg兩邊對（*）式求導(dǎo)sin232mgrmrsin32rg理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例11-3 圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k =3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位置時的角速度至少應(yīng)為多大？解解：研究OA桿)(212 . 1222112kPW)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022) J (4 .388（1）OA桿所受外力的功：桿所受外力的功：2020218 .284 . 2303121T02T（2） OA桿桿的動能：的動能：1212WTTrad/s

13、67. 30（3）對）對OA桿桿應(yīng)用動能定理：應(yīng)用動能定理： 4 .3888 .28020理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程如圖所示，均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m，長為l，由圖示位置（ ）無初速度地倒下，求該瞬時A端所受到地面的約束反力。CCA AB B045理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例10-13 如圖所示均質(zhì)細長桿，質(zhì)量為M，長為l，放置在光滑水平面上。若在A 端作用一垂直于桿的水平力F，系統(tǒng)初始靜止,試求B端的加速度。ACBxyF(a)理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程細長桿作平面運動，欲求aB, 則必先求ac,由基點

14、法應(yīng)用平面運動微分方程,FaMc2ClJFxACByFCaBCanBCaBa62CFlFJMl將、代入中，得62( )2BF lFFaMlMM 【解解】2laBCMFaCnBCBCCBCCBaaaaaa022lanBC理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例3 均質(zhì)圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計且不可伸長，不計軸O處摩擦。求求（1） 圓柱B下落時質(zhì)心的加速度。（2） 若在圓柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程

15、選圓柱B為研究對象rTrgPB212TPagPC（2）運動學(xué)關(guān)系：BAreCrraaa（4）TrrgPA221（1）解：（1）選圓柱A為研究對象由（1）、（2）式得：BA 52rgBAgaC54 代入（3）、（4）并結(jié)合（2）式得：（3）理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程選圓柱B為研究對象rTrgPB212PTagPC（2）運動學(xué)關(guān)系：TrMrgPA221（1）（2）選圓柱A為研究對象由（1）（4）式得：2Pr5Pr24ggMB（3）2Pr5Pr26ggMAPr5Pr)2(2Pr5Pr42MgggMaC當(dāng)M 2Pr 時， ，圓柱B的質(zhì)心將上升。0CaBAreCrraaa

16、（4）理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程由動量矩定理：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA2)222()(22rPMrgPragPrgPBcA222222(5)補充運動學(xué)關(guān)系式：BACrra代入(5)式，得 ; 222rPMargPargPCC當(dāng)M 2Pr 時， ，圓柱B的質(zhì)心將上升。0Ca（2）也可以取整個系統(tǒng)為研究對象BCAOrgPrvgPrgPL22222rPMMeO2)(grPrPMaC5)2(2 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例11-6 圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R，兩盤中心線為水平線，盤B作純滾動，盤A上

17、作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問重物由靜止下落距離h時重物的速度與加速度以及以及AD段、段、AB段繩拉力段繩拉力。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動。)解解：取整個系統(tǒng)為研究對象)/( 12RhQhMW01T（1）整個系統(tǒng)所受力的功：）整個系統(tǒng)所受力的功：（2）系統(tǒng)的動能：）系統(tǒng)的動能：)2121(212122222BCCAOJvgPvgQJT 22222232121221BARgPvgQRgP這里這里RvRvBA2,)78(162PQgv理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程1212WTT )(0)78(162hQRMPQgv上式求導(dǎo)得： dd)(dd2167

18、8thQRMtvvgPQPQgQRMa78)/(8（3）對系統(tǒng)應(yīng)用動能定理：）對系統(tǒng)應(yīng)用動能定理：PQhgQRMv78)/(4 )dd( thv TADDFQagQAD段繩拉力段繩拉力QaFDTADgQAB段繩拉力段繩拉力MRFFRTABTADA)(2gP2RaRaAAATADTABRRMFF2gP理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程解法二解法二：也可分別取研究對象TADFQagQD：這里這里RadtdAAMRFFRdtdTBTAA)()(22gPA：RFFRdtdCSTBB)()(22gPB：CSTBCFFagPRadtdBB22aRaBC理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教

19、程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例11-7 重G2=150N的均質(zhì)圓盤與重G1=60 N、長l=24 cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。求（1）系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求求AB桿經(jīng)過鉛垂位置B點時的速度、加速度及支座A的約束力。思考：若思考：若輪與桿焊接結(jié)果又如何？若輪與桿焊接結(jié)果又如何？若AB桿上還受力偶矩桿上還受力偶矩M=100 Nm作用結(jié)果又如何？作用結(jié)果又如何？解：解：（1）取圓盤為研究對象）取圓盤為研究對象; 0)F(MB 0BBJ根據(jù)相對質(zhì)心的動量矩定理根據(jù)相對質(zhì)心的動量矩定理0 B所以00B結(jié)論：圓盤B做平動，桿AB做定軸轉(zhuǎn)動。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動

20、微分方程（2）用動能定理求速度）用動能定理求速度。22222121BAvgGJT2212222163213121BvlBABvgGGvgGlgGBAB)30sin)(2()30sin()30sin22(212112llGGllGllGW1212WTT)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入數(shù)據(jù)，得m/s 58. 1Bv取系統(tǒng)研究。初始時T1=0 ，最低位置時：理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程（3）用動量矩定理求桿的角加速度 。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于0)(dd)e(FMtLAA所以 0 。桿質(zhì)心 C的加速度：)0(

21、22CnCCalaa )0(2BBBalaa nrad/s 58. 624. 058. 1lvB盤質(zhì)心加速度：（4）由質(zhì)心運動定理求支座反力，）由質(zhì)心運動定理求支座反力，研究整個系統(tǒng)。AxtBtCFagGagG0212122212GGFlgGlgGAy代入數(shù)據(jù)，得N 401, 0AyAxFFxCCxFmmxmxmmmxmma )(21221121 2211yCCyFymymymma 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例11-4 兩根均質(zhì)直桿組成的機構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計，如機構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時，AB桿B

22、 端的速度。mgmgmgW35. 1)15. 06 . 0(29 . 021201T)2121(9 . 0322122222CCCAJmvmTBCAAvvv9 . 0mgmvC35. 10652解解：取整個系統(tǒng)為研究對象運動學(xué)方面運動學(xué)方面得代入到所以1222 65W12TTmvCT注意到注意到OA轉(zhuǎn)到鉛垂位置轉(zhuǎn)到鉛垂位置AB作瞬時平動作瞬時平動m/s98. 3 CBvv理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程【思考與討論思考與討論】 1 1選擇題選擇題 （1）如圖所示，半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪，在水平地面上只滾不滑，輪與地面之間的摩擦系數(shù)為f。試求輪心向前移動距離s的過

23、程中摩擦力的功WF。 （ ）A WF=fmgs B WFfmgsC WF=Fs D WF=0MCWvNFFsD理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程(2)如圖所示，楔塊A向右移動速度為v1,質(zhì)量為m的物塊B沿斜面下滑，它相對于楔塊的速度為v2，求物塊B的動能TB。（ ）222122vmvmTBA.sin)cos(2222221vvvmTBD.221)(2vvmTBC.222vmTBB.DAB1v2v理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程（3）如圖所示，質(zhì)量可以忽略的彈簧原長為2L，剛度系數(shù)為k，兩端固定并處于水平位置，在彈簧中點掛一重物，則重物下降x路程

24、中彈性力所作的功 。（ ）A.)(022212LxLkWB.)(0221222LxLkWC.)(02221222LxLkWD.)(02221222LxLkWABCxLkLC2)(2021)(212212222221LxLkkW)(0421221222LxLk理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程（4）如圖所示，平板A以勻速v沿水平直線向右運動，質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓輪B在平板上以勻角速度朝順時針方向滾動而不滑動，則輪的動能為（ ）A.222232121mrmvTB.2222121)(21mrrvmTC.222212121mrmvTD.2222121)(21mrrmTBO

25、rv理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程3 3如圖所示，重為G的小球用兩繩懸掛。若將繩AB突然剪斷，則小球開始運動。求小球剛開始運動瞬時繩AC的拉力及AC在鉛垂位置時的拉力。 GABC)cos23 (;cos21GFGFTT答案：答案：sinGlgGFmacos12GFvgGFmaTnncos0cos21GGvgGFT（1 1）小球剛開始運動瞬時繩）小球剛開始運動瞬時繩AC的拉力：的拉力：理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程GABC)90sin(0GlgG（2 2）任意位置時：）任意位置時：dlgddlgdtddcoscos0090900cosdlg

26、dcos1sin210090902lglg00sin0GlgGFma0120cosGFlgGFmaTnncos23cos120cos021GGlglgGGmlFT（3 3）AC在鉛垂位置時的拉力：在鉛垂位置時的拉力：GTF090令繩令繩AC與水平夾角為與水平夾角為dlgddtdcoscoslgdtd理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例96 質(zhì)量為M的大三角形柱體，放于光滑水平面上，斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體，求小三角形柱體由靜止滑到底時，大三角形柱體的位移。解解：選選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。研究對象。受力分析受力分析， , 0)(exF水平方向質(zhì)心運動守恒

27、由水平方向初始靜止由水平方向初始靜止；則,21CCxx常量CxmMbaxbmxaMxC)(32)3(2mMbmaMxC3231)(bamMmx理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程1.1.選擇題選擇題D（1）設(shè)剛體的動量為 ，其質(zhì)心的速度為 ，質(zhì)量為M，則式 。（ ）PcvcvMP A、只有在剛體作平動時才成立；B、只有在剛體作直線運動時才成立；C、只有在剛體作圓周運動時才成立；D、剛體作任意運動時均成立；C（2）質(zhì)點作勻速圓周運動，其動量。（ ）A、無變化；B、動量大小有變化，但方向不變C、動量大小無變化，但方向有變化D、動量大小、方向都有變化【思考題思考題】 理論力學(xué)電

28、子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程C（3）一均質(zhì)桿長為 ，重為P，以角速度 繞O軸轉(zhuǎn)動。試確定在圖示位置時桿的動量。（ ）lA、桿的動量大小 ，方向朝左gPlK2B、桿的動量大小 ，方向朝右gPlK3C、桿的動量大小 ，方向朝左gPlK6D、桿的動量等于零A AB BO O3l理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程CA、質(zhì)點動量沒有改變B、質(zhì)點動量的改變量大小為 ，方向鉛垂向上 mv2C、質(zhì)點動量的改變量大小為 ，方向鉛垂向下 mv2D、質(zhì)點動量的改變量大小為 ，方向鉛垂向下 mv（4）將質(zhì)量為m的質(zhì)點，以速度 v 鉛直上拋，試計算質(zhì)點從開始上拋至再回到原處的

29、過程中質(zhì)點動量的改變量。 （ ）2.2.如圖所示，均質(zhì)輪質(zhì)量為 ，半徑為R，偏心距 ，輪的角速度和角加速度在圖示位置時為 和 ，輪在垂直面內(nèi)運動，求鉸支座O 的約束反力。mlOC O OC Csin,cos2mgmlFmgmlFono答案：答案：理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程(1)取整個系統(tǒng)為研究對象，rPPrPrPMBABAeO)()(OBAOJrvgPrvgPL)2( 得 ,代入 21將22PPPgrLrgPJBAOO由動量矩定理：rPPPPPgrdtdBABA)()2(22/PPPPPrgdtdBABA。： 求 ,21; ; ; 已知2rgPJrPPPOBA例

30、例103【解】受力分析如圖示。運動分析： v =理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程BAOyCyBAPPPFagPPP)(BABBAACCyPPPyPyPya )(ABBAOyPPgrPPPF （2）由質(zhì)心運動定理求約束反力由質(zhì)心運動定理求約束反力： BABAPPPPPr)(PPPPPPPgrgPFPFamBABBABTBBTBBB224PPPPPPPrggPFFPamBAABAATATAAAA224BABBAABABBAAiiiCPPPyPyPgPgPgPgPygPygPmymy0BABBAAPPPaPaP理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程兩根質(zhì)

31、量各為8 kg的均質(zhì)細桿固連成T 字型，可繞通過O點的水平軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)OA處于水平位置時, T 形桿具有角速度 =4 rad/s。求該瞬時軸承O的反力。5 . 025. 0 mgmgJO2222121712131mlmlmlmlJO由定軸轉(zhuǎn)動微分方程例例109選T 字型桿為研究對象，受力分析如圖示?！窘狻?5 . 025. 0(8 . 98 5 . 0812172 rad/s 20.75 2根據(jù)質(zhì)心運動定理，得nOnCFam2mgmgFmaOC2系統(tǒng)質(zhì)心：432lmmlmlmxC理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程N 3 .32 ) 5 . 04375.20 ( 828 .

32、 98222COmamgF NmaFnCnO96)5 . 0434(8222理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程 3、如圖所示，擺由均質(zhì)細桿OA和均質(zhì)圓盤組成，桿 質(zhì)量為m1，長為L，圓盤質(zhì)量為m2，半經(jīng)為r。O AB（1）求擺對于軸O的轉(zhuǎn)動慣量；（2）若圖示瞬時角速度為，求系統(tǒng)的動量、動量矩。 )(221221121rLmLmvmvmPPPCC)(21(31222221rLmrmLmJLOO2)(21(31222221LvrLmrmLmC)(2131222221rLmrmLmJO2121212211)(2mmrLmLmmmrmrmrCCCCCrmmvmmP)()(212

33、1理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例10-10 質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為 的斜面上，在重力作用下由靜止開始運動。設(shè)輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數(shù)為f、f，不計滾動摩阻，試分析輪的運動。解解：取輪為研究對象。sCFmgmasinNFmgcos 0RFJsC由 (2)式得cosmgFN(1)（1）、（3）、（4）中含有四個未知數(shù)aC 、Fs、 、FN，需補充附加條件。受力分析如圖示。運動分析：取直角坐標系 OxyaC y =0，aC x =aC，一般情況下輪作平面運動。根據(jù)平面運動微分方程，有(2)(3)(4)理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的

34、運動微分方程1、設(shè)接觸面絕對光滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaFCssin31 ,sin32; sin32mgFgagRsC2、設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動，,RaC3、設(shè)輪與斜面間有滑動，輪又滾又滑。FS=fFN，可解得cos2,)cos(sin,cosRgfgfamgfFCS 因為輪由靜止開始運動，故0，輪沿斜面平動下滑。注意此時無相對滑動， FsfFN，所以可解得:mRFRasC21, sCFmgmasinRFJsCcosmgFN(1)(3)(4)輪作純滾動的條件：cossin31maxfmgfFFmgFNStg31f,RvC理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分

35、方程例例10-11 均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為 f ，滾阻不計，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動所需要的時間。解解：選取圓柱為研究對象，受力分析如圖示。根據(jù)剛體平面運動微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212（1）補充方程：BBAANfFNfF , （4）運動分析：質(zhì)心C不動，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。（2）（3）理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程將（4）式代入（1）、（2）兩式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAA

36、BB將上述結(jié)果代入（3）式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212（1）（2）（3）補充方程：BBAANfFNfF , （4）理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例96 電動機的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量為m1，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2 ，轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e 。求（1）轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動時，基礎(chǔ)作用在電動機底座上的約束反力；（2）若電動機的外殼沒有固定在水平基礎(chǔ)上，求電動機外殼由靜止開始運

37、動的水平運動規(guī)律。tv理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程2211vmvmP根據(jù)動量定理，有根據(jù)動量定理，有NxxFtemFdttdemsin,)cos(222temgmmFtemFNyNxcos)( ,sin222122可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數(shù)。變化的周期函數(shù)。系統(tǒng)動量系統(tǒng)動量解解: （1）取整個電動機作為質(zhì)點系研究，分析受力，受力圖如圖示。）取整個電動機作為質(zhì)點系研究，分析受力，受力圖如圖示。emP2FdtPdyyxxFdtdPFdtdP,gmmFtemFdttdemNyy)(cos,)(sin21222解

38、法一，利用動量定理求解。運動分析：定子質(zhì)心速度解法一，利用動量定理求解。運動分析：定子質(zhì)心速度v1=0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的速度的速度v2=e ，方向垂直于，方向垂直于O1O2。)sin(),cos(22temPtemPyxvt理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程根據(jù)質(zhì)心運動定理，有根據(jù)質(zhì)心運動定理，有NxxCCxFtemFxmmmasin)(2221 temgmgmFtemFNyNxcos ,sin222122解法二，利用質(zhì)心運動定理求解。解法二，利用質(zhì)心運動定理求解。2122121sin)sin(0(0mmtemmmtemmxC2122121cos)cos(00m

39、mtemmmtemmyC系統(tǒng)質(zhì)心坐標系統(tǒng)質(zhì)心坐標gmmFtemFymmmaNyyCCy)(cos,)(212221 vt理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程（2）取整個電動機作為質(zhì)點系研究，分析受力，受力圖如圖示。 , 0)(exF解法一：解法一：系統(tǒng)水平方向不受力的作用，水平方向質(zhì)心運動守恒。由水平方向初始靜止（由水平方向初始靜止（vC=0）；則21CCxx常量Cx2121100mmmmxC21212)sin(0)0(mmtexmxmxC建立O1xy：并令y軸通過初始位置質(zhì)心，則 temmmxsin212理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程cosc

40、os212212mmemmmemvx（2 2） 將（2）式積分有： 000sincos212212mmemdmmemdxxx（3 3） 代入（3）式得： txt，00000解法二：解法二：本題也可用質(zhì)點系動量在水平方向守恒求解： 0)cos(21evmvmPx（1 1） 轉(zhuǎn)子從鉛垂向下位置開始逆時針轉(zhuǎn)動，故 temmmxsin212dmmemdxcos212理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例9-89-8 如圖所示，均質(zhì)桿OA，長 ,重為 ，繞O 軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動。桿與水平線成 角時，其角速度和角加速度分別為 和 ，求該瞬時軸O 的約束反力。l 2P【解】【解】取桿O

41、A為研究對象，受力如（b）圖所示。2lanclac方向如圖所示。則：CllAOCllAOyFOxFPncacaxyo建立坐標系oxy，桿OA質(zhì)心加速度為：sincossincos2llaaacnccxcossincossin2llaaacnccy由質(zhì)心運動定理計算約束反力PxcxFMaycyFMaoxFllgP)sincos(2PFllgPoy)cossin(2)sincos(2gPlFox)cossin(2gPlPFoy理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程例例12-1 均質(zhì)桿長l ,質(zhì)量m, 與水平面鉸接, 桿從與平面成0角位置靜止落下。求開始落下時桿AB的角加速度及A

42、點支座反力。2mlFIR , 0nnI maFR （法（法1）選桿選桿AB為研究對象，虛加慣性力系：為研究對象，虛加慣性力系： 解：根據(jù)動靜法，有根據(jù)動靜法，有) 1 ( 0cos , 0I0 FmgFFAA)2(0sin00 FmgFFAA , nInn)3(02cos0)(0 Ml/ , mgFMIAA3 2ImlJMAA注意定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力虛加于轉(zhuǎn)軸上。注意定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力虛加于轉(zhuǎn)軸上。; :由(2)得 mgFnA0sin ; cos23 : 0lg由(3)得。 : 0cos4mgFA代入(1)得理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程020cos2331cos

43、2lgmllmg , cos23g , , 000lt 時法法2：用動量矩定理：用動量矩定理+質(zhì)心運動定理再求解此題：質(zhì)心運動定理再求解此題：解解：選AB為研究對象，2cos0lmgJA由動量矩定理，得：由質(zhì)心運動定理： 0cosmgFmaAC00cos4 , sin mgFmgFAnA所以0 此時nAnCFmgma0sin00cos432glaC這里理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程ARCBOvrOr 機車的連桿機車的連桿ABAB的質(zhì)量為的質(zhì)量為m m，兩端用鉸鏈連接于主動輪上，兩端用鉸鏈連接于主動輪上，鉸鏈到輪心的距離均為鉸鏈到輪心的距離均為r r，主動輪的半徑均為

44、，主動輪的半徑均為R R。求當(dāng)機車以勻。求當(dāng)機車以勻速速v v直線前進時，鉸鏈對連桿的水平作用力的合力，及直線前進時，鉸鏈對連桿的水平作用力的合力，及A A、B B處處的豎向約束力（用動靜法求解）的豎向約束力（用動靜法求解）。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程 例例12-2 牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設(shè)車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力S、T及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉(zhuǎn)半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f , 試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M 之最大值。mRmaFRCI 取輪為研究對象，虛加慣性力系：

45、 解：解：由動靜法，得：2ImJMCC) 1 (00 FT , FFIRSx)2(00 SP , FFNy)3(00 MRFM , )F(MICSCOP理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程)3(00)2(00) 1 (00 MRFM , )F(M SP , FF FT , FFICSCNyIRSx由(1)得TFmRFSRI mRTFS所以得代入(3)mRTFmRFMRFMSSICS2RTRRFTFRRFMSSS222)()(4)RTRRSPfM22)(把(5)代入(4)得：由(2)得 FN= P +S，要保證車輪不滑動，必須FSf FN =f (P+S) (5)可見，可見

46、，f 越大越不易滑動。越大越不易滑動。OP理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程 例例12-4 質(zhì)量為m1和m2的兩均質(zhì)重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度（軸O 處摩擦不計，繩與輪無相對滑動）。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程 , 111IamF 由動靜法： , 0)(FMO列補充方程：2211 , raragJrmrmrmrm2222112211取系統(tǒng)為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶：解：解： 方法1 用達朗貝爾原理求解 ,

47、222IamF JJMOOI 0I22I11I2211OMrFrFgrmgrm02221112211Jramramgrmgrm代入上式理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程方法2 用動量矩定理求解 )( 222211222111JrmrmJrvmrvmLOgJrmrmrmrm2222112211 所以根據(jù)動量矩定理：2211222211)(dd grmgrmJrmrmt 取系統(tǒng)為研究對象2211)e()(grmgrmFMO理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程 1212，得由WTT)(2 212121222211222222112JrmrmJvmvmT取

48、系統(tǒng)為研究對象，任一瞬時系統(tǒng)的 gr-mrm rgmrgmsgmsgmW)( 22112211221112gJrmrmrmrmdtd2222112211 兩邊對時間t求導(dǎo)數(shù)，得方法3 用動能定理求解)(1某確定值CT grmrmCJrmrm)()(222112222112 dtd)grmr(mJ)rmr(mdtd2211222211 任意假定一個初始值理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程 例例12-5 在圖示機構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為G和Q，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計，繩與輪之間無相對滑動，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M

49、，試求：(1)鼓輪的角加速度？ (2)繩子的拉力？ (3)軸承O處的約束力？ (4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程 解：解：方法一方法一 用動靜法求解用動靜法求解OOOORgQJM2I21列出動靜法方程：) 1 (00)( MMR , FFMIOTO , IAAagGF （2）取輪A為研究對象，虛加慣性力FIR和慣性力偶MIC如圖示。（1）取輪O為研究對象，虛加慣性力偶)2(0cos0 F , FFTOxx)3(0sin0 FQ , FFTOyyAARgGM2I21 理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程列

50、出動靜法方程：)4(0sin0)( MRFRFR , GFMIATIAC運動學(xué)關(guān)系：OAOAARRa 將MIA，F(xiàn)IA，MIA及運動學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：gRGQRPMO2)3()sin(2)5(0sin0 GFFF , FSIATxRGQQRMG FT)3()sin3(代入(2)、(3)、(5)式，得： , cos)3()sin3(RGQQRMGFOx, sin)3()sin3(QRGQQRMGFOy。 RGQGRMG FS)3()sin()6(0cos0 G , FFNy理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程方法二方法二 用動力學(xué)普遍定理求解用動力學(xué)

51、普遍定理求解(1) 用動能定理求鼓輪角加速度。)sin(sin12PRMPRMW)( 1常量CT )( AORRv22222222)3(4 22121221RPQgRgPvgPRgQTOAOgRPQPRMO2)3()sin(2兩邊對t求導(dǎo)數(shù)： OOOPRMRPQg)sin(2)3(412 1212，得由WTT)sin()3(422PRMCRPQgO理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程(2) 用動量矩定理求繩子拉力（定軸轉(zhuǎn)動微分方程）TRMRgQO22RPQQRMPFT)3()sin3( 取輪O為研究對象，由動量矩定理得(3) 用質(zhì)心運動定理求解軸承O處約束力cos0 ,

52、TOxxCxFFFMacos)3()sin3(RPQQRMPFOx 取輪O為研究對象，根據(jù)質(zhì)心運動定理：sin0 , yTOyCyFQFFMaQRPQQRMPFOy sin)3()sin3(理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程(4) 用剛體平面運動微分方程求摩擦力)(OASAAR FJRPQPRMPgRPQPRMRgPRRJFAAS)3()sin()3()sin(22122方法三：用動能定理求鼓輪的角加速度取圓柱體A為研究對象，根據(jù)剛體平面運動微分方程TFOxFOyFSF用達朗貝爾原理求約束力（繩子拉力 、軸承O處反力 和 及摩擦力 ）。理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第

53、八章 質(zhì)點的運動微分方程 12-3. 勻質(zhì)輪重為G，半徑為 r ，在水平面上作純滾動。某瞬時角速度 ，角加速度為，求輪對質(zhì)心C 的轉(zhuǎn)動慣量，輪的動量、動能，對質(zhì)心C和水平面上O點的動量矩，向質(zhì)心C和水平面上O點簡化的慣性力系主矢與主矩。解：解：思考題思考題)(rgGvgGpC222121CCJvgGTgGrJLCC22,rgGagGFCICgGrJMCIC2222rgGJC222)2(21)(21rgGrgG2243gGrOgGrgGrrgGrJmvrLCCO23222,rgGagGFCIOgGrrgGrgGrFMJMICOCIO232)(22理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動

54、微分方程例例12-712-7均質(zhì)棒AB得質(zhì)量為m=4kg，其兩端懸掛在兩條平行繩上，棒處在水平位置，如圖（a）所示。其中一繩BD突然斷了，求此瞬時AC繩得張力F。ABCD(a)ICM)(CAamgAaFAaCIRxFIRyF(b)【解解】當(dāng)BD繩斷了以后，棒開始作平面運動，則慣性力系的簡化中心在質(zhì)心C上。因瞬時系統(tǒng)的速度特征量均為零，則點加速度為 。以A為基點，有AaCAAnCAnCAACaaaaaa理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程CAAnCAnCAACaaaaaa其中 ,l為棒長。2laCA虛加慣性力系，如圖（b）所示，有III2CCRxARymlMJFmaF，02

55、220)(CAJlmllmgFm，則因 ，得 2121mlJClg23020mgmlFFy，又NmgF8 . 941得理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程【思考題思考題】 1 1、是非題、是非題（1）不論剛體作何種運動，其慣性力系向一點簡化得到的主矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，而取相反方向。 （ ）對 （2）質(zhì)點有運動就有慣性力。（ ）錯（3）質(zhì)點的慣性力不是它本身所受的作用力，其施力體是質(zhì)點本身。 （ ）對理論力學(xué)電子教程理論力學(xué)電子教程第八章 質(zhì)點的運動微分方程1 1、選擇題、選擇題 （1）設(shè)質(zhì)點在空中，只受到重力作用，試問在下列兩種情況下，質(zhì)點慣性力的大小和方向如何？（a）質(zhì)點作自由落體運動；（b）質(zhì)點被鉛垂上拋 （ ）A（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向下 B（a）與（b）的慣性