第八章非線性預(yù)測

1、第八章 非線性預(yù)測8.1 季節(jié)性波動曲線預(yù)測 在實際中，許多商品，尤其是消費品，都是隨著“季節(jié)”的變化而改變其市場的需求情況，如服裝、食品等。這就稱為季節(jié)性波動。同樣的產(chǎn)品，在一個時期（往往是以年為時期）內(nèi)的銷售曲線是呈周期性變化的。這類曲線可以利用線性回歸來進(jìn)行建立預(yù)測模型。一、收集原始數(shù)據(jù)一、收集原始數(shù)據(jù)（取樣本點）1、取2n個樣本點 為了表現(xiàn)出周期性變化規(guī)律，一般要取兩個以上的周期樣本點 2(,)jjnxy 例1：某企業(yè)將2003年、2004年各月份的產(chǎn)品銷售量統(tǒng)計如下表，試建立季節(jié)性預(yù)測模型，且預(yù)測2005年1、6、8月份的銷售量。 2003年：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2、 10 11 12銷量 59.1 55 50.2 46.9 46.2 46.1 46.5 47.2 49.5 53.1 64.4 66.22004年：月份 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24銷量 65.6 63.2 59.2 55.7 54.3 53.7 54 54.8 56.3 62.6 69.1 71.9解：一、作圖 在直角平面系中作出抽樣點的離散圖，并且光滑地連成曲線。 銷售量 B A 時間 0 n/2 n 3n/2 取點后在直角平面上描點,并光滑地連接成曲線(見上圖)二、確定長期趨勢波動二、確定長期趨勢波動 長期趨勢波動的確定一般有兩種方法：1、兩點

3、法 取兩點坐標(biāo)：A（第一個周期的中點，前n個抽樣點的平均值） B（第二個周期的中點，后n個抽樣點的平均值） 根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)，建立直線方程式： (1) 例1中，計算2003年的平均銷售量為： 2004年的平均銷售量為： 于是得到兩點：A（6，52.95） B(18，60.03) 利用兩點式求得直線方程為: *yaxb121635.452.951212jjy2413720.3660.031212jjy0.5949.41yx2、線性回歸法 利用已得到的個抽樣點進(jìn)行線性回歸，將得到回歸直線方程： (2)例1中，樣本點的個數(shù)是24個，于是計算得到 ； ； ； 根據(jù)一元線性回歸公式計算得到 以及直線

4、方程#yaxb241300jjx2411355.8jjy24214900jjx24117650.2jjjx y48.850.611ab0.61148.85yx 得到長期趨勢的直線方程之后（上述兩種方法中，無論用哪一種方法得到的均可以。這里我們不妨取 ），將 各代入模型計算值 ： 2003年：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12銷量 49.1 50.1 50.6 46.9 46.2 46.1 46.5 47.2 49.5 53.1 64.4 66.22004年：月份 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24銷量 65.6 63.2 59.2 5

5、5.7 54.3 53.7 54 54.8 56.3 62.6 69.1 71.9 由上面計算出來的 是表明按照回歸方程 各點值，它隱去了曲線各周期內(nèi)的季節(jié)性變化情況。0.61148.85yxjxyy0.61148.85yx四、確定季節(jié)性系數(shù) 計算公式： (3) （其中為抽樣點的值，為回歸趨勢值） 在例題中，我們?nèi)〉臉颖军c是兩個完全循環(huán)周期，因而應(yīng)該將各周期中的相同月份的季節(jié)性系數(shù)進(jìn)行平均，取平均值作為預(yù)測模型的季節(jié)性系數(shù)：月份xj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1203年aj 1.19 1.10 0.99 0.91 0.89 0.88 0.88 0.88 0.91 1.06

6、 1.16 1.1804年aj 1.16 1.10 1.02 0.95 0.92 0.90 0.90 0.90 0.92 1.01 1.18 1.14均值* 1.18 1.10 1.01 0.93 0.91 0.89 0.89 0.89 0.915 1.035 1.17 1.16jjyy根據(jù)兩個周期的季節(jié)性系數(shù)相加后取平均值得到： *90.91511.1821.1031.0140.9350.9160.8970.8980.89111.17121.16*101.035jjyyjjy0.61148.85jx 五、建立季節(jié)性波動預(yù)測模五、建立季節(jié)性波動預(yù)測模型型 (4) 在例題中，我們得出六、預(yù)測六、

7、預(yù)測 在例題中，我們要預(yù)測2005年1月、6月、8月份的銷售量，故有：2005年1月： 2005年6月： 2005年8月： 125(0.611 2548.85)1.18 (0.611 2548.85)75.67y630(0.611 3048.85)0.89 (0.611 3048.85)59.79y832(0.611 3248.85)0.89 (0.611 3248.85)60.88y8.2 修正指數(shù)曲線預(yù)測一、修正指數(shù)曲線一、修正指數(shù)曲線 對于取得的一組樣本點序列 ,如果分布成下面形狀，就可以用修正指數(shù)曲線模型擬合 1、修正指數(shù)曲線模型修正指數(shù)曲線的表達(dá)式為： (5) 式中K,a,b，是三個

8、參數(shù)，且a0， 0b1 2、修正指數(shù)曲線圖像 在 中,x代表時間（一般為年次）,(以原始資料中最初年份為0,依次遞增,y表示趨勢值, K,a,b為待定參數(shù),其圖形如下:(,)jjnxyxYKa bYKa b3、函數(shù)取值表 為了求出參數(shù)K,a,b,我們將時間序列xj(j=1,2,m)按年次分為相等的三個部分（即：將抽樣點分為三個相等的部分）。 如果m不是3的倍數(shù)，則可以在各段接頭（首尾）處重復(fù)一年或兩年（一次或兩次）。 y k K+a 0 (修正指數(shù)函數(shù)) x 設(shè)抽樣點分段后每段有n個點（年），于是從第0年開始，根據(jù) 的表達(dá)式，列出表如下： 年份 xj 的值 yj-yj-1的值 0 K+a 1

9、K+ab a(b-1) 2 K+ab2 ab(b-1) 第一部分 3 K+ab3 ab2(b-1) . n-1 K+abn-1 abn-2(b-1)xYKa bjxYKa b 年份 xj的值 Y=+abxj的值 yj-yj-1的值 n K+abn abn-1(b-1) n+1 K+abn +1 abn(b-1) 第二部分 n+2 K+abn +2 abn+1(b-1) . 2n-1 K+ab2n -1 ab2n-2(b-1) 2n K+ab2n ab2n-1(b-1) 第三部分 2n+1 K+ab2n+1 ab2n(b-1) 2n+2 K+ab2n+2 ab2n+1(b-1) . 3n-1 K

10、+ab3n-1 ab3n-2(b-1)二、修正指數(shù)曲線預(yù)測模型二、修正指數(shù)曲線預(yù)測模型1、我們記 表示第一個年觀測值之和； 表示第二個年觀測值之和； 表示第三個年觀測值之和110njjSy212njj nSy3132njjnSy2、把上表中取值結(jié)果代入公式于是得到： = = = = = = 12110()()()()nnjjSyKaKabKabKab21(1)nnKabbb11nbnKab2112212()()()()nnnnnjj nSyKabKabKabKab21(1)nnnKabbbb 11nnbnKabb31221223132()()()()nnnnnjjnSyKabKabKabKab

11、221(1)nnnKabbbb211nnbnKabb3 3、推導(dǎo)、推導(dǎo) = =12111 (1)111nnnnnbbbSSnKanKababbbb2(1)1nbab223111 (1)111nnnnnnnbbbSSnKabnKababbbbb2(1)1nnbabb將上面兩式相除，有得到： (6) 將(6)代入 = 得到: (7)再將(6)和(7)代入公式 S1= 便有: (8)2312nSSbSS2312nSSbSS12SS2(1)1nbab11nbnKab111()1nbKSanb1221()(1)nbaSSb三、修正指數(shù)曲線預(yù)測計算程序三、修正指數(shù)曲線預(yù)測計算程序1 1、取時間序列的樣本點

12、 ，并將樣本點按時間序列（按年或其它時間段）編號：0，1，2，,分為三個相等的部分，每個部分包含個樣本點。若 ，則可在每部分的相接處重復(fù)1-2次。2 2、計算參數(shù)K,a,b3 3、寫出修正指數(shù)曲線回歸方程： 4 4、預(yù)測。(,)jjmxy3mnxYKa b例2；某新產(chǎn)品的銷售資料如下表所示，試建立預(yù)測模型，并預(yù)測2006年的銷售量。年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998銷售量 150 250 380 540 790 900 1100年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004銷售量 1350 1600 1650 1700 1710 172

13、0 解：因為樣本點的數(shù)目是13個，不是3的倍數(shù)，所以在分段時要重復(fù)用到有些樣本點，分段及編號如下表： 年份 1992 1993 1994 1995 19961992 1993 1994 1995 1996銷售量 150 250 380 540 790 xj 0 1 2 3 4 年份 1996 1997 1998 1999 20001996 1997 1998 1999 2000銷售量 790 900 1100 1350 1600 xj 5 6 7 8 9年份 2000 2001 2002 2003 20042000 2001 2002 2003 2004銷售量 1600 1650 1700 1

14、710 1720 xj 10 11 12 13 14計算數(shù)據(jù)（注意這里=5） =2110 =5740 =8380 回歸模型為預(yù)測 因為2006年對應(yīng)于時間序列中的x=16，代入回歸方程得出： =1756.2410jjSy925jjSy14310jjSy5231226400.72733630SSbSS50.72730.9383b 12521()3010(1)baSSb 5111()3082.751bKSab3082.73010 0.9383xY 163082.73010 0.9383Y 四、可化為修正指數(shù)曲線模型的其它曲線四、可化為修正指數(shù)曲線模型的其它曲線1、邏輯曲線方程 (9)作變換： ；

15、得出：再作變換： ； ； ； 便得到邏輯曲線預(yù)測模型： (10)011aa xLye0ae1a 1xLye*1yy1KLaLbe*xyKab2、戈鉑茲曲線方程 (11)兩邊取對數(shù):作變換: ； ； 便得出戈鉑茲曲線預(yù)測模型： (12) 戈鉑茲曲線又稱生長曲線，反映了事物的生長過程,如科學(xué)發(fā)展的過程正如此。 第二個生長過程 第一個生長過程xbyKalglglgxyKbalgyylgKKlgaaxyKa b8.3一般可化為直線模型的曲線預(yù)測一、曲線預(yù)測一般程序和步驟一、曲線預(yù)測一般程序和步驟 在實際中，有時兩個變量之間的關(guān)系，并不是線形關(guān)系，而是非線性關(guān)系，這時，就要根據(jù)經(jīng)驗點（原始資料統(tǒng)計的數(shù)據(jù)

16、），選配適當(dāng)?shù)那€來進(jìn)行回歸。在一些曲線的回歸過程中，是通過將曲線化為直線進(jìn)行回歸的。曲線模型的線性演化過程的程序如下：第一步：收集原始資料，得出一組經(jīng)驗點 ；第二步：在直角平面oxy坐標(biāo)系中作出經(jīng)驗點的離散圖；第三步：分析離散圖，選擇適當(dāng)?shù)那€模型與之?dāng)M合；(,)jjnxy第四步：將曲線模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使之成為線性模型；第五步：求出線形回歸方程；（得出參數(shù)值）第六步：還原成曲線模型；第七步：回歸（預(yù)測）。例3：下表是某產(chǎn)品連續(xù)十年來的銷售情況，試建立回歸模型，并預(yù)測2006年的銷售量。 年 份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 20

17、04 序 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 銷售量 5 12 20 29 40 50 63 74 86 96解：先將觀察點繪成離散圖 這個圖形呈冪函數(shù)的形狀，因而選取 作為擬合曲線進(jìn)行回歸。對于 兩邊取對數(shù)： 作變換： ； ； ； 便有直線模型 計算 = ， 列表如下：byaxbyaxlgyylgxxlgaabbyabx10(,)jjxy10(lg,lg)jjxy 樣本值xj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.3 0.48 0.6 0.7 0.780.84 0.9 0.95 1 樣本值 yj 5 12 20 29 40 50 63 74 86 96 0.7 1.08

18、 1.3 1.46 1.6 1.7 1.8 1.87 1.931.98 ； ； ； 依線性回歸公式有： lgjjxxlgjjyy1016.5595jjx10115.428jjy10111.3049jjjx y1021()43.027jjx10215.2152jjx22221.2985()0.691()jjjjjjjjjjjjjnx yxybnxxxyxx yanxx 得到線性回歸方程式： 查反對數(shù)表還原a,b： 故有： 于是，得到原問題的曲線回歸模型為： 預(yù)測，因為2006年對應(yīng)于序列數(shù)12，所以有： 0.6910 1.2985yxlg0.6910aa4.9090a 1.2985bb1.298520064.9090 12123.68y1.29854.9090yx二、常見幾類基本初等函數(shù)的表達(dá)式及圖像二、常見幾類基本初等函數(shù)的表達(dá)式及圖像1、冪函數(shù) 表達(dá)式： 步驟： （1）兩邊取對數(shù) （2）作變換 得出線性回歸模型： 由樣本點 計算出 ，求出a*及b*，并查反對數(shù)表還原a及b，就可以得到冪函數(shù)回歸