第十七章 在無界區(qū)域上定義的函數(shù)

1、1.無界集的測度知行知行1301有界集的測度無界集的測度無界集測度的性質(zhì)證明可測集外測度內(nèi)測度有界閉集的測度有界開集的測度可測集的性質(zhì)14523有界集有界集6定義定義1:1:區(qū)間(a,b)的測度測度，就是它的長b-a，記為 m(a,b)=b-am(a,b)=b-a顯然總有 m(a,b)0m(a,b)0定義定義2:2:設(shè)G是不空的有界開集，則其一切構(gòu)成區(qū)間之長的和稱為G的測度測度。即 mG=mG=mmk k定義定義3:3:設(shè)F是一不空的有界閉集，S=A,B是包含F(xiàn)的最小閉區(qū)間，則定義F的測度測度 mF=B-A-mCmF=B-A-mCB BFF定義定義4:4:有界集E的內(nèi)測度內(nèi)測度m*E是一切可能

2、含在E中的閉集的測度的上確界，即 m*E=supmFk定義定義5:5:有界集E的外測度外測度m*E是一切可能包含E的有界開集的測度的上確界，即 m*E=infmG定義定義6:6:如果有界集E的外測度和內(nèi)測度相等，則稱E是一個可測集。這時E的外測度和內(nèi)測度的數(shù)值就稱作E的測度測度，記為mE： mE=m*E=m*E特別的，對于一切有界開集和有界閉集，其外測度和內(nèi)測度均相等 mF=m*F=m*F mG=m*G=m*G即，一切有界開集和有界閉集都是可測集設(shè)S=(a,b)是基本集(有界)，E,EiS(i=1,2.)均為有界可測集，則有CSE=S-E,E1E2,E1E2,E1-E2,和Ei,Ei均可測，且

3、1)mE0,且E=時，mE=0 (非負性)2)若E1E2，則mE1mE2 (單調(diào)性) m(E2-E1)=mE2-mE13)m(Ei)mEi (不完全可加性)4)若EiEj=(ij,i,j=1,2,3.)，則 m(Ei)=mEi (完全可加性)設(shè)集E含在(-,+)中，如果對于任意的自然數(shù)n，集E(n)=-n,nE為可測，則稱E是可測集可測集。極限稱為這個集的測度測度。注：對于無界集，上述性質(zhì)注：對于無界集，上述性質(zhì)( (非負性，單調(diào)性，不完全可加非負性，單調(diào)性，不完全可加性，完全可加性性，完全可加性) )同樣成立。同樣成立。定理定理: :設(shè) 為可測集而E為其交集。如果 ，則.321EEE1mEnnmEmE lim)(limnmEmEn即證： （1）設(shè)E1，E2，E3.是兩兩不相交的可測集又那么從而及 （2）1kkmEmE1kkEE1)()(kknEnE11)()(kkkkmEnmEnmE1kkmEmE下證：由（1）式推得，對于所有有限的N有：令n，得再令N，得從而由（2）式得到1kkmEmE)(1nmEmENkk