第二章系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院12009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院21、狀態(tài)：系統(tǒng)的狀態(tài)，是指系統(tǒng)的過去、現(xiàn)在和將來的狀況。、狀態(tài)：系統(tǒng)的狀態(tài)，是指系統(tǒng)的過去、現(xiàn)在和將來的狀況。（如：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，它的狀態(tài)就是它每個(gè)時(shí)刻的位置（如：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，它的狀態(tài)就是它每個(gè)時(shí)刻的位置和速度）和速度）2、狀態(tài)變量：能完全表征系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的最小數(shù)目的一組變量。、狀態(tài)變量：能完全表征系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的最小數(shù)目的一組變量。（如果用最少的（如果用最少的n個(gè)變量個(gè)變量x1(t)， x2(t)， xn(t)就能完全描就能完全描述系統(tǒng)的狀態(tài)，那么這述系統(tǒng)的狀態(tài)，那

2、么這n個(gè)變量就是一組狀態(tài)變量。）個(gè)變量就是一組狀態(tài)變量。）3、狀態(tài)向量：設(shè)一個(gè)系統(tǒng)有、狀態(tài)向量：設(shè)一個(gè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量，即個(gè)狀態(tài)變量，即x1(t)，x2(t)，xn(t)，用這，用這n個(gè)狀態(tài)變量作為分量構(gòu)成的向量個(gè)狀態(tài)變量作為分量構(gòu)成的向量x(t)稱為該系統(tǒng)的狀態(tài)向量。記為稱為該系統(tǒng)的狀態(tài)向量。記為 Tntxtxtxtx)(,),(),()(212009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院34、引入了狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念之后，就可以建立動(dòng)力學(xué)系、引入了狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念之后，就可以建立動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述了。從結(jié)構(gòu)的角度講，一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)統(tǒng)的狀態(tài)空間描述了。從結(jié)構(gòu)的角度講，

3、一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可用圖可用圖2-1所示的方塊圖來表示。其中所示的方塊圖來表示。其中x(t)表征系統(tǒng)的狀態(tài)表征系統(tǒng)的狀態(tài)變量，變量，u(t)為系統(tǒng)為系統(tǒng)控制量控制量（即（即輸入輸入量），量），y(t)為系統(tǒng)的輸出為系統(tǒng)的輸出變量。變量。 與輸入與輸入輸出描述不同，狀態(tài)空間描述把系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程輸出描述不同，狀態(tài)空間描述把系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的描述考慮為一個(gè)更為細(xì)致的過程：輸入引起的描述考慮為一個(gè)更為細(xì)致的過程：輸入引起系統(tǒng)狀態(tài)的變系統(tǒng)狀態(tài)的變化化，而，而狀態(tài)和輸入則決定了輸出的變化狀態(tài)和輸入則決定了輸出的變化。圖圖2-1 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通

4、管理學(xué)院45、狀態(tài)方程：、狀態(tài)方程：狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系，與狀態(tài)變量、輸入量的關(guān)系，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 例：設(shè)單輸入線性定常系統(tǒng)例：設(shè)單輸入線性定常系統(tǒng)(LTI-Linear Time Invariant )的狀態(tài)的狀態(tài)變量為變量為x1(t)，x2(t)，xn(t)，輸入為輸入為u(t),則一般形式的狀則一般形式的狀態(tài)方程為：態(tài)方程為：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111tubtxtatxtatxatxtubtxtatxtatxatxtubt

5、xtatxtatxatxnnnnnnnnnnn2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院5u上式可寫成向量上式可寫成向量矩陣形式：矩陣形式：nxxxx21nxxxx21nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nbbbb21系統(tǒng)矩陣，表示系內(nèi)部狀態(tài)的聯(lián)系。)()()(tbutAxtxbuAxx或或輸入矩陣或控制矩陣，表示輸入對(duì)狀態(tài)的作用。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院66、輸出方程：在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出、輸出方程：在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量、輸入量之間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系與狀態(tài)變量、輸入量之間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系統(tǒng)的

6、輸出方程。統(tǒng)的輸出方程。例：?jiǎn)屋敵鼍€性定常系統(tǒng)例：?jiǎn)屋敵鼍€性定常系統(tǒng) )()()()()(2211tdutxctxctxctynn其向量其向量矩陣形式為：矩陣形式為：)()()(tdutcxty2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院77、狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間、狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程。它是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述。表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程。它是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述。例：例：SISO系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式： 注意：由于注意：由于A、B、C、D矩陣完整地表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，所以有時(shí)把

7、一個(gè)矩陣完整地表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，所以有時(shí)把一個(gè)確定的系統(tǒng)簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)確定的系統(tǒng)簡(jiǎn)稱為系統(tǒng) 。 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A：表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況。：表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況。 輸入矩陣（或控制矩陣）輸入矩陣（或控制矩陣）B：表示輸入對(duì)每個(gè)狀態(tài)變量的作用情況。：表示輸入對(duì)每個(gè)狀態(tài)變量的作用情況。 輸出矩陣輸出矩陣C：表示輸出與每個(gè)狀態(tài)變量之間的組成關(guān)系。：表示輸出與每個(gè)狀態(tài)變量之間的組成關(guān)系。 前饋矩陣前饋矩陣D：表示輸入對(duì)輸出的直接傳遞關(guān)系。一般控制系統(tǒng)中，通常情：表示輸入對(duì)輸出的直接傳遞關(guān)系。一般控制系統(tǒng)中，通常情況況D=0。ducxybuAxxDuCxyBuAxxMIM

8、O系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院88、狀態(tài)空間分析法：在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描、狀態(tài)空間分析法：在狀態(tài)空間中以狀態(tài)向量或狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的方法，稱為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法。述系統(tǒng)的方法，稱為狀態(tài)空間分析法或狀態(tài)變量法。狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式DuCxyBuAxx的結(jié)構(gòu)圖如下：的結(jié)構(gòu)圖如下：圖圖2 22 2 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的方塊圖結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的方塊圖結(jié)構(gòu)2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院9線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式：線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式：連續(xù)系統(tǒng)：用線性微分方程來描述連續(xù)

9、系統(tǒng)：用線性微分方程來描述DuCxyBuAxx離散系統(tǒng)：用差分方程來描述離散系統(tǒng)：用差分方程來描述)()()()()() 1(kDukCxkYkHukGxkx2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院10一、狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖一、狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖 在狀態(tài)空間分析中，采用模擬計(jì)算機(jī)的模擬結(jié)構(gòu)圖來表示在狀態(tài)空間分析中，采用模擬計(jì)算機(jī)的模擬結(jié)構(gòu)圖來表示各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，這對(duì)于建立系統(tǒng)的狀態(tài)各狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，這對(duì)于建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式很有幫助。狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖有三空間表達(dá)式很有幫助。狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖有三種基本符號(hào)：種基本符

10、號(hào)：（1）積分器）積分器（3）比例器）比例器（2）加法器）加法器2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院11（1）積分器）積分器（3）比例器）比例器（2）加法器）加法器s1xxxxxxxx1x2x213xxxkxkx2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院12【例【例2.2.1】已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，試畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)】已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，試畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖。uxxxxxxxx3213322123621xxy解：寫成向量解：寫成向量矩陣形式矩陣形式cxybuAxx236100010A100b011c， ， 其中：其中：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中

11、交通管理學(xué)院13u系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（或狀態(tài)變量圖）如下：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（或狀態(tài)變量圖）如下： 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（用基本單元來模擬動(dòng)態(tài)方程）uxxxxxxxx3213322123621xxy2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院14二、狀態(tài)空間表達(dá)式的的建立二、狀態(tài)空間表達(dá)式的的建立， ， 四種方法四種方法:、由傳遞函數(shù)建立、由微分方程建立定律建立、由實(shí)際系統(tǒng)通過物理立、由控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建43212009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院151、 由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程由控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程u系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖是經(jīng)典控制中常用的一種用來表示控制系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)、各信系統(tǒng)結(jié)

12、構(gòu)圖是經(jīng)典控制中常用的一種用來表示控制系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)、各信號(hào)相互關(guān)系的圖形化的模型，具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，常為人們采用。號(hào)相互關(guān)系的圖形化的模型，具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，常為人們采用。要將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖模型轉(zhuǎn)化為要將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式，一般可以由下列三個(gè)步驟，一般可以由下列三個(gè)步驟組成：組成：第一步：在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，將各環(huán)節(jié)通過等效變換分解，使得整個(gè)系第一步：在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，將各環(huán)節(jié)通過等效變換分解，使得整個(gè)系統(tǒng)只有標(biāo)準(zhǔn)積分器（統(tǒng)只有標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）、比例器（）、比例器（k）及加法器組成，這三種基本器）及加法器組成，這三種基本器件通過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形

13、式組成整個(gè)控制系統(tǒng)。件通過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式組成整個(gè)控制系統(tǒng)。第二步：將上述調(diào)整過的結(jié)構(gòu)圖中的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積分器（第二步：將上述調(diào)整過的結(jié)構(gòu)圖中的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）的）的輸出輸出作為一個(gè)作為一個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量獨(dú)立的狀態(tài)變量xi，積分器的輸入端就是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)，積分器的輸入端就是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)dxi /dt。第三步：根據(jù)調(diào)整過的結(jié)構(gòu)圖中各信號(hào)的關(guān)系，可以寫出每個(gè)狀態(tài)變量的一第三步：根據(jù)調(diào)整過的結(jié)構(gòu)圖中各信號(hào)的關(guān)系，可以寫出每個(gè)狀態(tài)變量的一階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)需要指定輸出變量，即可階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)需要指定輸出變量，即可以從結(jié)構(gòu)圖寫出系統(tǒng)

14、的輸出方程。以從結(jié)構(gòu)圖寫出系統(tǒng)的輸出方程。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院16【例【例2.2.2】某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖】某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖23（a）所示，試求出其動(dòng)態(tài)方程。）所示，試求出其動(dòng)態(tài)方程。， ， （a）解解:u 該系統(tǒng)主要有一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分器組成。該系統(tǒng)主要有一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分器組成。u 對(duì)于一階慣性環(huán)節(jié)，我們可以通過等效變換，轉(zhuǎn)化為一個(gè)前向通道為一對(duì)于一階慣性環(huán)節(jié)，我們可以通過等效變換，轉(zhuǎn)化為一個(gè)前向通道為一標(biāo)準(zhǔn)積分器的反饋系統(tǒng)。標(biāo)準(zhǔn)積分器的反饋系統(tǒng)。u 圖圖2-3（a）所示結(jié)構(gòu)圖經(jīng)等效變換后如圖）所示結(jié)構(gòu)圖經(jīng)等效變換后如圖2-3（b

15、）所示）所示圖圖2-3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院17（b） （a）u圖圖2-3（a）所示結(jié)構(gòu)圖經(jīng)等效變換后如圖）所示結(jié)構(gòu)圖經(jīng)等效變換后如圖2-3（b）所示）所示 (b)2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院18取取y為系統(tǒng)輸出，輸出方程為：為系統(tǒng)輸出，輸出方程為： 寫成矢量形式，我們得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：寫成矢量形式，我們得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程： （b）u 我們?nèi)∶總€(gè)積分器的輸出端信號(hào)為狀態(tài)變量和，我們?nèi)∶總€(gè)積分器的輸出端信號(hào)為狀態(tài)變量和， 積分器的輸入端即和。積分器的輸入端即和。從圖可得系統(tǒng)狀態(tài)方程從圖可得系統(tǒng)狀態(tài)方程1xy

16、 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院19【例【例2.2.3】 求如圖所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。求如圖所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。（b）第一次等效變換）第一次等效變換（a）系統(tǒng)方塊圖）系統(tǒng)方塊圖（c）由標(biāo)準(zhǔn)積分器組）由標(biāo)準(zhǔn)積分器組成的等效方塊圖成的等效方塊圖2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院20解：圖解：圖(a)第一個(gè)環(huán)節(jié)第一個(gè)環(huán)節(jié) 可以分解為可以分解為 ，即分解為兩個(gè)通道，如圖，即分解為兩個(gè)通道，如圖(b)左側(cè)點(diǎn)劃左側(cè)點(diǎn)劃線所框部分。第三個(gè)環(huán)節(jié)為一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，它可以等效變換為如圖線所框部分。第三個(gè)環(huán)節(jié)為一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，它可以等效變換為如圖(b)右側(cè)雙點(diǎn)劃線所

17、框部分。右側(cè)雙點(diǎn)劃線所框部分。進(jìn)一步，我們可以得到圖進(jìn)一步，我們可以得到圖(c)所示的由標(biāo)準(zhǔn)積分器組成的所示的由標(biāo)準(zhǔn)積分器組成的等效結(jié)構(gòu)圖。依次取各個(gè)積等效結(jié)構(gòu)圖。依次取各個(gè)積分器的輸出端信號(hào)為系統(tǒng)狀分器的輸出端信號(hào)為系統(tǒng)狀態(tài)變量態(tài)變量 ，由圖，由圖(c)可得系統(tǒng)狀可得系統(tǒng)狀態(tài)方程：態(tài)方程：uxxuxxxuxxxuxxxxxxxxxx41144431143331221122336482009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院21由圖可知，由圖可知，系統(tǒng)系統(tǒng)輸出輸出寫成矢量形式，得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：寫成矢量形式，得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：1xy 81000640100103111002110

18、00 xxuyx 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院222 2、根據(jù)物理定律建立實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程、根據(jù)物理定律建立實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、液壓、熱力等等。要研究它們，一般一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、液壓、熱力等等。要研究它們，一般先要建立其運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程先要建立其運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程(組組)、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)方程等）。根據(jù)、傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)方程等）。根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，選擇一定的物理量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，選擇一定的物理量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量，并利用各種物理定律，如牛頓定律、

19、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定量，并利用各種物理定律，如牛頓定律、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程模型。律等，即可建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程模型?！纠纠?.2.4】 RLC電路如圖所示電路如圖所示. 系統(tǒng)的控制輸入量為系統(tǒng)的控制輸入量為u(t)，系統(tǒng)輸出為，系統(tǒng)輸出為 。建立。建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。u(t)uc(t)iLRC解：該解：該RLC電路有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件電路有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件L和和C，設(shè)回路電流為，設(shè)回路電流為 ，根據(jù)基爾霍夫，根據(jù)基爾霍夫電壓定律和電壓定律和R、L、C元件的電壓電流關(guān)系，可得到下列方程：元件的電壓電流關(guān)系，可得到下列方程：)

20、()(.)(1)(tutiRdttiCdttdiLdttiCtuc)(1)(2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院23 （1）我們可以取流過）我們可以取流過電感電感L的電流的電流 和和電容電容C兩端電壓兩端電壓 作為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變作為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變量，分別記作量，分別記作 和和 ix 1cux 2121211dtdxLxCdtdxuRxx12211111xCxuLxLxLRx2xy 2121211001011xxyuLxxCLLRxx整理有整理有寫成向量矩陣形式為：寫成向量矩陣形式為：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院24,1ix idtx21212

21、11dtdxLxdtdxuRxxC1221111xxuLxLCxLRx21xCuyc2121211001011xxCyuLxxLCLRxx整理有整理有寫成向量矩陣形式為：寫成向量矩陣形式為：（2）設(shè)狀態(tài)變量）設(shè)狀態(tài)變量 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院25,11RidtiCxcuidtCx12, )()(.)(1)(tutiRdttiCdttdiLdttiCtuc)(1)(uLRxRCxLRRCxuLRxRCxRCRiuuLRxRCxRCdtdiRxxxRCxRCxxRCiCxc211212121212121)1()(11)(11111)(1112xy （3 3）設(shè)狀態(tài)

22、變量）設(shè)狀態(tài)變量 整理有：整理有：寫成向量矩陣形式為：寫成向量矩陣形式為：2121211001111xxyuLRxxRCRCRCLRRCxx注意：選取不同的狀態(tài)變量，便注意：選取不同的狀態(tài)變量，便會(huì)有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式，會(huì)有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式，并且各狀態(tài)空間表達(dá)式之間存在并且各狀態(tài)空間表達(dá)式之間存在著某種線性關(guān)系。著某種線性關(guān)系。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院263 3、由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式、由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式從描述系統(tǒng)輸入輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系的高階微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)從描述系統(tǒng)輸入輸出動(dòng)態(tài)關(guān)系的高階微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)建立與之等效的狀態(tài)

23、空間表達(dá)式的問題，稱為建立與之等效的狀態(tài)空間表達(dá)式的問題，稱為“實(shí)現(xiàn)問題實(shí)現(xiàn)問題”。關(guān)。關(guān)于實(shí)現(xiàn)問題的詳細(xì)內(nèi)容，我們將在后面的章節(jié)中討論。于實(shí)現(xiàn)問題的詳細(xì)內(nèi)容，我們將在后面的章節(jié)中討論。注意：實(shí)現(xiàn)是非唯一的。注意：實(shí)現(xiàn)是非唯一的。（1）輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)SISOSISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為：線性定常連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院27nxxx,21第一步：選擇狀態(tài)變量（選擇第一步：選擇狀態(tài)變量（選擇n n個(gè)狀態(tài)變量個(gè)狀態(tài)變量）, ,令：令： )1(321 nnyxyxyxyxnxxx,21uxaxaxax

24、xxxxxxnnnnn012110132211xy 第二步：化高階微分方程為第二步：化高階微分方程為的一階微分方程組。的一階微分方程組。 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院28cxybuAxx0000b0001c1210100001000010naaaaA第三步：將方程組表示為向量第三步：將方程組表示為向量矩陣形式：矩陣形式：其中：其中： 注注 意：矩陣意：矩陣A A為為友矩陣。友矩陣的友矩陣。友矩陣的特點(diǎn)：主對(duì)角線上特點(diǎn)：主對(duì)角線上方元素為方元素為1 1，最后，最后一行的元素可以任一行的元素可以任意取，而其余的元意取，而其余的元素均為零。素均為零。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

25、 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院29uyyyy67416 ,1yx ,2yxyx 3uxxxxxxxx66417321332211xy cxybuAxx6417100010A600b001c【例【例2.2.52.2.5】已知】已知，試列寫動(dòng)態(tài)方程。，試列寫動(dòng)態(tài)方程。狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：輸出方程：輸出方程：狀態(tài)空間表達(dá)式為：狀態(tài)空間表達(dá)式為： 其中：其中：解：選狀態(tài)變量解：選狀態(tài)變量2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院3022)()()(2sssUsYsGuyyy22 yx 1yx2uxxxxx22212211xy 【例【例2.2.62.2.6】已知

26、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試求閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式?！恳阎到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試求閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式。解：解：故微分方程為：故微分方程為：選狀態(tài)變量選狀態(tài)變量: : 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：輸出方程：輸出方程：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院311210A20b01c其中：其中：uxxxxx22212211xy 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院32ububububyayayayinnnnnnn01)(1)(01) 1(1)(1011(2,3, )iiixyh uinxxh uducxybuAxx1210100001000010naaaaAnhhhb2101000nc

27、dhb（2 2）輸入量中含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）輸入量中含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)SISOSISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的一般形式：線性定常連續(xù)系統(tǒng)的一般形式：取取 狀態(tài)空間表達(dá)式為：狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：其中：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院33nhhh,2104132231440312213302112201110hahahahabhhahahabhhahabhhabhbhnnnnnnnnnnnnnnn這里這里可用可用待定系數(shù)法待定系數(shù)法確定，即：確定，即：注注 意：這種方法不實(shí)用。意：這種方法不實(shí)用。可先將微分方程畫為傳遞函數(shù)，然后再由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式?？上葘⑽⒎址匠坍嫗閭鬟f函數(shù)，然后再由

28、傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院3411101110( )( )( )nnnnnnnb sbsbsbY sG sU ssasa sa)()()(01110111sDsNbasasasssbsGnnnnnnn4 4、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式SISOSISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：應(yīng)用綜合除法有：應(yīng)用綜合除法有：nbducxydnbd SISOSISO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖上式中的上式中的就是就是中的中的，即，即2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院35)()(sDsN)()(sDsNzy

29、z,1zx ,2zx3,xz)1( nnzx（1 1）串聯(lián)分解的情況串聯(lián)分解的情況 其中：其中：將將分解為兩部分串聯(lián)，分解為兩部分串聯(lián)，為中間變量，為中間變量，應(yīng)滿足：應(yīng)滿足：選取狀態(tài)變量：選取狀態(tài)變量：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院36uzazazaxxxxxxxnnnnn)1(11013221uxaxaxann12110nnnnnnxxxzzzy1121001) 1(1cxybuAxx輸出方程為：輸出方程為：向量向量矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式為：矩陣形式的狀態(tài)空間表達(dá)式為：1210100001000010naaaaA1000b1210nc其中：其中： 上述狀態(tài)空間表

30、達(dá)式稱為上述狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型可控標(biāo)準(zhǔn)型。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院370a1a2a2na1na0us1nxnxs11nxs13xs12x1xy（可控標(biāo)準(zhǔn)型）串聯(lián)分解的狀態(tài)變量圖)()(sDsN2n1n120)()()(sDsNbsGnbA,ubcxyn當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，不變，唯不變，唯變化。變化。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院3801110111)()(asasassssDsNnnnnnuyaxxyxiiiin1uxaxuxaxxuxaxxuxaxxuxaxxnnnnnnnnnnnnnn001111221232221111nxy 另

31、外，另外，還可以選另一組狀態(tài)變量。設(shè)還可以選另一組狀態(tài)變量。設(shè) 經(jīng)整理有如下狀態(tài)方程：經(jīng)整理有如下狀態(tài)方程：輸出方程為：輸出方程為：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院39ducxybuAxx1210100000001000nnaaaaA1210nnb1000c向量向量矩陣為矩陣為 上述狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。上述狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院40)()(sDsNTocAA Toccb Tocbc 串聯(lián)分解對(duì)偶的狀態(tài)變量圖串聯(lián)分解對(duì)偶的狀態(tài)變量圖（可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型）（可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型和可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程

32、的各矩陣存在如下關(guān)系：可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型和可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的各矩陣存在如下關(guān)系：u0a0s11x1xs12xy1a2nas11nxs11na2x2nx1nxnxnx 12n1n2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院41,8147158)(232ssssssG158)()(2sssZsYzzzy158 81471)()(23ssssUsZuzzzz 8147,1zx ,2zxzx 3uxxxxxxxx321332217148321815xxxy【例【例2.2.72.2.7】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為解：采用傳遞函數(shù)串聯(lián)分解法：解：采用傳遞函數(shù)串聯(lián)分解法： 整理有：整理有

33、： 整理有：整理有：令：令：試求狀態(tài)空間表達(dá)式。試求狀態(tài)空間表達(dá)式。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院42狀態(tài)空間表達(dá)式為狀態(tài)空間表達(dá)式為:ducxybuAxx7148100010A100b1815c0d 式中：式中：， ， ，可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院43根據(jù)對(duì)偶原理，也可寫出可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：根據(jù)對(duì)偶原理，也可寫出可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：udxcyubxAxoooo7101401800oA1815ob100oc0oduxxxuxxxuxx3233123178141583xy 式中：式中：， ， 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變

34、量圖可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院44,3486)(22sssssG34521)(2ssssGudxcyubxAxcccc,4310cA,10cb,25cc1cdudxcyubxAxoooo4130TcoAA25Tcocb10Tcobc1od【例【例2.2.8】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試求狀態(tài)空間表達(dá)式。試求狀態(tài)空間表達(dá)式。（1）可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為：）可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：其中：（2）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為：）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中：其中：解：解：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通

35、管理學(xué)院45)()(sDsN)(sD)()()()(121ininsssssD), 2 , 1(niinnniiiscscscscsDsNsusy22111)()()()(iiisssDsNc)()()(只含單實(shí)極點(diǎn)的情況只含單實(shí)極點(diǎn)的情況可分解為可分解為式中式中為為n階系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。階系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。式中：式中： 設(shè)設(shè)那么傳遞函數(shù)可展成：那么傳遞函數(shù)可展成：),(1)(sussxiini, 2 , 1uxxiiiuxxuxxuxxnnn222111取狀態(tài)變量：取狀態(tài)變量：整理后有：整理后有：， 即狀態(tài)方程為：即狀態(tài)方程為：2009-08CAUC-空中

36、交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院46)()(sDsN)(sD)()()()(121ininsssssD), 2 , 1(nii只含單實(shí)極點(diǎn)的情況只含單實(shí)極點(diǎn)的情況可分解為可分解為式中式中為為n階系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。階系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則可化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)設(shè)那么傳遞函數(shù)可展成：那么傳遞函數(shù)可展成：nnniiiscscscscsDsNsusy22111)()()()(2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院47)()(suscsyniiiiniiiixcynnxcxcxcy2211uxxn111001xcccyn21又有：又有： 即輸出方程為：即輸出方程為：向量向量矩陣

37、形式為：矩陣形式為：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院48對(duì)角形動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖為：對(duì)角形動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖為：由于由于uiyiis1iciuixiyiisc等價(jià)于1siciiuiyixix 對(duì)角形動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖對(duì)角形動(dòng)態(tài)方程的狀態(tài)變量圖2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院498147158)(232ssssssG4218147158)(321232scscscssssssG38) 1()(11sssGc23)2()(21sssGc61)4()(41sssGcuxx111400020001xy612338【例【例2.2.92.2.9】已知系

38、統(tǒng)傳遞函數(shù)為】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為解：解： 其中：其中： 動(dòng)態(tài)方程為：動(dòng)態(tài)方程為：試求狀態(tài)空間表達(dá)式。試求狀態(tài)空間表達(dá)式。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院50)()(sDsN)()(sDsN（3 3）含重實(shí)極點(diǎn)的情況含重實(shí)極點(diǎn)的情況中含重實(shí)極點(diǎn)時(shí)，不僅可以化為中含重實(shí)極點(diǎn)時(shí)，不僅可以化為可控、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型可控、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，當(dāng)當(dāng)還可以化為約當(dāng)形動(dòng)態(tài)方程。例如：還可以化為約當(dāng)形動(dòng)態(tài)方程。例如：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院51)()()()(431nssssDniiiscscscscsDsNsusy411321123111)()()()()()()

39、(uxxn1110000114111xcccccyn41312112009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院5232)2(152)(ssssG)2(2)2(13)2(19)2()2()2()(2313212311sssscscscsG19)2()(2311sssGc13)2()(2312sssGdsdc2)2()(! 21232213sssGdsdcuxx100200120012xy21319uxxxxxxxx3332221122232121319xxxy【例【例2.2.102.2.10】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式。，試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式

40、。其中：其中： 動(dòng)態(tài)方程為：動(dòng)態(tài)方程為：， 即即 解：解：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院5324855104)(232ssssssG) 1()2()2() 1()2(5104)(31221122scscscsssssG1)2()(2211sssGc【例【例2.2.112.2.11】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為】已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式。，試求約當(dāng)型狀態(tài)空間表達(dá)式。其中：其中：解：解：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院54, 5)2()(2212sssGdsdc1)1()(13sssGcuxx110100020012xy151 動(dòng)態(tài)方程為

41、：動(dòng)態(tài)方程為：， DuCxyBuAxx DBAsICsG1)()(特別注意：狀態(tài)空間表達(dá)式特別注意：狀態(tài)空間表達(dá)式可按如下公式導(dǎo)出傳遞函數(shù)可按如下公式導(dǎo)出傳遞函數(shù) 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院55一、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換一、狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換u系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程建立的過程，無論是從實(shí)際物理系統(tǒng)出發(fā)，還系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程建立的過程，無論是從實(shí)際物理系統(tǒng)出發(fā)，還是從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)，還是從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)，是從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)，還是從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)，在狀態(tài)變量的選取方面都帶有很大的人為的隨意性在狀態(tài)變量的選取方面都帶有很大的人為的隨意性;u實(shí)際物理系統(tǒng)雖

42、然實(shí)際物理系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)不可能變化結(jié)構(gòu)不可能變化，但不同的狀態(tài)變量取法，但不同的狀態(tài)變量取法就產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程；就產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程；u系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在取狀態(tài)變量之前需要進(jìn)行等效變換，而系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在取狀態(tài)變量之前需要進(jìn)行等效變換，而等效變等效變換過程就有很大程度上的隨意性換過程就有很大程度上的隨意性，因此會(huì)產(chǎn)生一定程度上的，因此會(huì)產(chǎn)生一定程度上的結(jié)構(gòu)差異，這也會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)方程差異的產(chǎn)生；結(jié)構(gòu)差異，這也會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)方程差異的產(chǎn)生；u從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問題，更是會(huì)導(dǎo)從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問題，更是會(huì)導(dǎo)致迥然不同的致迥然不同的系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，因而也肯定產(chǎn)生

43、不同的的產(chǎn)生，因而也肯定產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程。所以說同一系統(tǒng)選取不同的狀態(tài)變量便有不同形動(dòng)態(tài)方程。所以說同一系統(tǒng)選取不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程。式的動(dòng)態(tài)方程。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院56,21TnxxxxxxxPx cxybuAxx xcyubxAxAPPA1bPb1cPc 1、非奇異線性變換、非奇異線性變換我們總可以找到某個(gè)非奇異矩陣我們總可以找到某個(gè)非奇異矩陣P P，將原狀態(tài)向量將原狀態(tài)向量 作線性變換，得到另一個(gè)新的狀態(tài)向量作線性變換，得到另一個(gè)新的狀態(tài)向量 , ,令令變換前系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：變換前系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：變換后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：變換后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)

44、方程為：式中：式中： 對(duì)于狀態(tài)向量對(duì)于狀態(tài)向量2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院57Pxx cxybuAxx xcyubxAx,1 PAPA,Pbb 1 cPcxPx 特別提示特別提示：有些教材中，做如下線性變換：有些教材中，做如下線性變換： 變換前系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：變換前系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：變換后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：變換后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：式中：式中：與上面線性變換相比，兩者只是形式不同。為在講授過程中與上面線性變換相比，兩者只是形式不同。為在講授過程中方便講解，我們將一直采用方便講解，我們將一直采用 這種線性變換。這種線性變換。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理

45、學(xué)院582、非奇異線性變換的不變特性、非奇異線性變換的不變特性 線性定常系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后，其特征多項(xiàng)式、特征方線性定常系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后，其特征多項(xiàng)式、特征方程、傳遞函數(shù)不變。程、傳遞函數(shù)不變。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院59A二、系統(tǒng)特征值和特征向量（預(yù)備知識(shí)）二、系統(tǒng)特征值和特征向量（預(yù)備知識(shí)）定義：定義：設(shè)設(shè)A A是一個(gè)是一個(gè)nxn的矩陣，若在向量空間中存在一非零向量的矩陣，若在向量空間中存在一非零向量v v，使，使 AAA則稱則稱 為為 的特征值，任何滿足的特征值，任何滿足 的非零向量的非零向量 稱為稱為 的的對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 特征值的特征向量。特征值的特征向

46、量。51166116110A1 1、特征值的計(jì)算、特征值的計(jì)算【例【例2.3.12.3.1】求下列矩陣的特征值?！壳笙铝芯仃嚨奶卣髦怠?2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院605116611611)det(AI0)3)(2)(1(611623, 11, 2233 解出特征值解出特征值解：解：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院6151166116110A223311T13121111312111312111511661161102 2、特征向量的計(jì)算、特征向量的計(jì)算【例【例2.3.22.3.2】求下列矩陣的特征向量】求下列矩陣的特征向量解：（解：（1 1

47、）A A的特征值在上例中已求出的特征值在上例中已求出 111111A的特征向量的特征向量 （2 2）計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征值）計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征值，有，有設(shè)設(shè)，即有，即有 08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院6206116061060131211131211131211vvvvvvvvv 111vT101122 T421233 T9613令令 : : ，則，則的特征向量的特征向量（3 3）同理可算出）同理可算出 的特征向量的特征向量計(jì)算整理后有：計(jì)算整理后有： 1311vv012v 解出：解出：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院63cxybuAxx

48、 xPx xcyubxAx三、動(dòng)態(tài)方程的幾種標(biāo)準(zhǔn)型三、動(dòng)態(tài)方程的幾種標(biāo)準(zhǔn)型1 1、動(dòng)態(tài)方程的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型、動(dòng)態(tài)方程的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)于線性系統(tǒng)對(duì)于線性系統(tǒng)若若A A的特征值是互異的，則必存在非奇異變換矩陣的特征值是互異的，則必存在非奇異變換矩陣P P 使原狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。使原狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。 式中：式中： ,1APPA,1bPbcPc ), 2 , 1(nii其中，其中，是矩陣是矩陣A A的特征值。的特征值。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院64nppp,2121npppPnppp,21n,21變換矩陣變換矩陣P P由由A A的特征向量的特征向量

49、構(gòu)造，即構(gòu)造，即 分別為對(duì)應(yīng)于特征值分別為對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。的特征向量。 uxx10051166116110 xy001【例【例2.3.32.3.3】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。 解：（解：（1 1）A A的特征值和特征向量已在前面兩例中算出：的特征值和特征向量已在前面兩例中算出： 112233 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院651011p4212p9613p,941620111321pppP12313432253*1PPP321,ppp1P（2 2）用）用構(gòu)造變換矩陣構(gòu)造變換矩陣P P，并求，并求。 cbA,30002

50、00011APPA1321bPb111 cPc（3 3）計(jì)算）計(jì)算2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院66,132300020001uxxxy111于是變換后的動(dòng)態(tài)方程為：于是變換后的動(dòng)態(tài)方程為：n，21112112222121111nnnnnnP注注 意：意： 如果原狀態(tài)空間表達(dá)式中的如果原狀態(tài)空間表達(dá)式中的A A陣為友矩陣，且有陣為友矩陣，且有n n個(gè)互異實(shí)數(shù)個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值，特征值， 那么使那么使A A變換為對(duì)角形矩陣的變換陣變換為對(duì)角形矩陣的變換陣P P是一個(gè)是一個(gè)范德蒙（范德蒙（VandermondeVandermonde）矩陣：）矩陣： 2009-08CAUC-

51、空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院67uxx0016116100010 xy0110)det( AI112233【例【例2.3.42.3.4】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。 解：系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為解：系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為，解出特征值為，解出特征值為由于由于A A為友矩陣，并且有互異實(shí)特征值，故而變換矩陣可直接寫為如下形式：為友矩陣，并且有互異實(shí)特征值，故而變換矩陣可直接寫為如下形式：則 ,941321111P5 . 05 . 111435 . 05 . 231P 3000200011APPA1331bPb210 cPc 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空

52、中交通管理學(xué)院68于是變換后的動(dòng)態(tài)方程為：于是變換后的動(dòng)態(tài)方程為：uxx133300020001xy210【例【例2.3.52.3.5】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型?！吭噷⑾铝袆?dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。 uxx127120010112 xy0012009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院69解：采用另一種方法：解：采用另一種方法：（1 1）系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為）系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為0)det( AI，解出特征值為，解出特征值為211213（2 2）可由）可由APPAAPPA111，進(jìn)而求出，進(jìn)而求出1P。令：。令： 3332312322211312111ppppppppP并帶入并帶入

53、APPA11，有，有 120010112100010002333231232221131211333231232221131211pppppppppppppppp2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院70解出解出1100101111P，則，則110010101P（3 3）計(jì)算）計(jì)算bc 3241bPb101 cPc 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院712 2、動(dòng)態(tài)方程的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、動(dòng)態(tài)方程的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型如果如果A A陣具有重實(shí)特征根，又可分為兩種情況：陣具有重實(shí)特征根，又可分為兩種情況： A A陣陣雖有重特征值雖有重特征值，但矩陣，但矩陣A A仍然仍然有

54、有n n個(gè)獨(dú)立的特征向個(gè)獨(dú)立的特征向量量。這種情況同特征值互異時(shí)一樣，仍可以把。這種情況同特征值互異時(shí)一樣，仍可以把A A劃分為對(duì)角標(biāo)劃分為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。準(zhǔn)型。 另一種情況是另一種情況是矩陣矩陣A A不但具有重特征值不但具有重特征值，而且其，而且其獨(dú)立獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)也低于特征向量的個(gè)數(shù)也低于n n。對(duì)于這種情況，。對(duì)于這種情況，A A陣雖不能變換為陣雖不能變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，但可以變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，但可以變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院72（1 1）約當(dāng)塊和約當(dāng)陣）約當(dāng)塊和約當(dāng)陣 形如形如4014、200120012的矩陣，稱為約當(dāng)塊。的矩

55、陣，稱為約當(dāng)塊。 由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角線矩陣稱為約當(dāng)矩陣。如由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角線矩陣稱為約當(dāng)矩陣。如2000012000012000004000014 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院731（2 2）設(shè)）設(shè)A A陣具有陣具有m m重實(shí)特征值重實(shí)特征值，且只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量，且只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量1p與之對(duì)應(yīng)，則只能使與之對(duì)應(yīng)，則只能使A A化為約當(dāng)陣化為約當(dāng)陣J J。nmJ11110011變換矩陣變換矩陣nmmpppppP121式中式中12,.mp pp是是1的廣義實(shí)特征向量，滿足：的廣義實(shí)特征向量，滿足：mmpppAppp2111121111mp，

56、np是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。是互異特征值對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量。 2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院74【例【例2.3.62.3.6】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。 uxx100032100010 xy0010) 2() 1(23)det(23AI1231,2 111p111pAp0)(11pAI0132110011131211ppp1111p解：解：（1 1）系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為）系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為解出特征值為解出特征值為 （2 2）對(duì)應(yīng)于特征值）對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量的特征向量，有，有，即，即解出：解出：2009-08CAUC-空中交通管理學(xué)院空中交通管理學(xué)院752)(1 AIrank11123)(1AIrankn2322212pppp 21210321000101011pppp2322212322211110321000101011111pppppp2221232322