初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第29講由正難則反切入

1、1第二十九講由正難則反切入人們習(xí)慣的思維方式是正向思維，即從條件手，進(jìn)行正面的推導(dǎo)和論證，使問(wèn)題得到解決但有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若直接從正面求解，則思維較易受阻，而“正難則反，順難則逆，直 難則曲”是突破思維障礙的重要策略.數(shù)學(xué)中存在著大量的正難則反的切入點(diǎn). 數(shù)學(xué)中的定義、公式、法則和等價(jià)關(guān)系都是雙 向的，具有可逆性；對(duì)數(shù)學(xué)方法而言，特殊與一般、具體與抽象、分析與綜合、歸納與演繹, 其思考方向也是可逆的；作為解題策略，當(dāng)正向思考困難時(shí)可逆向思考， 直接證明受阻時(shí)可 間接證明，探索可能性失敗時(shí)轉(zhuǎn)向考察不可能性由正難則反切入的具體途徑有：1.定義、公式、法則的逆用；2.常量與變量的換位；3 反客為主；4

2、.反證法等.【例題求解】【例 1】已知x滿足 _x2_2x=2，那么 x22x 的值為_.x 2x思路點(diǎn)撥 視 x22x 為整體，避免解高次方程求x的值.【例 2】已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足 a= b，且2002(a -b) 2002 (b -c) (c _a) = 0求(c)9-a)(a-b)2的值.思路點(diǎn)撥顯然求a、b、c的值或?qū)で骯、b、c的關(guān)系是困難的，令.2000二x，則 2002= x2,原等式就可變形為關(guān)于x的一元二次方程，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系求解.注：(1)人們總習(xí)慣于用凝固的眼光看待常量與變量，認(rèn)為它們涇渭分明，更換不得，實(shí)際 上將常量設(shè)為變量，或?qū)⒆兞繒簳r(shí)看作常量，都會(huì)給人以有益的

3、啟示.(2)人的思維活動(dòng)既有“求同”和“定勢(shì)”的方面，又有“求異”和“變通”的方面.求 同與求異，定勢(shì)與變通是人的思維個(gè)性的兩極，充分利用知識(shí)和方法的雙向性，是培養(yǎng)思維能力的重要途徑.正難則反在具體的解題中，還表現(xiàn)為下列各種形式：(1) 不通分母通分子；(2) 不求局部求整體；(3) 不先開方先平方；2(4) 不用直接挖隱含；(5) 不算相等算不等；(6) 不求動(dòng)態(tài)求靜態(tài)等.【例 3】 設(shè)a、b、c為非零實(shí)數(shù)，且 ax22bx c =0 , bx22cx a = 0 , ex22ax b = 0 , 試問(wèn)：a、b、c滿足什么條件時(shí)，三個(gè)二次方程中至少有一個(gè)方程有不等的實(shí)數(shù)根.思路點(diǎn)撥如從正面考

4、慮，條件“三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有不等的實(shí)數(shù)根”所涉及的情況比較復(fù)雜，但從其反面考慮情況卻十分簡(jiǎn)單，只有一種可能，即三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 然后從全體實(shí)數(shù)中排除三個(gè)方程都無(wú)實(shí)數(shù)根的a、b、c的取值即可.注：受思維定勢(shì)的消極影響，人們?cè)诮鉀Q有幾個(gè)變量的問(wèn)題時(shí)，總抓住主元不放，使有些問(wèn)題的解決較為復(fù)雜，此時(shí)若變換主元，反客為主，問(wèn)題常常能獲得簡(jiǎn)解.【例 4】 已知一平面內(nèi)的任意四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在一條直線上，試問(wèn)：是否一定能從這樣的四點(diǎn)中選出三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，使得這個(gè)三角形至少有一內(nèi)角不大于45 ?請(qǐng)證明你的結(jié)論.思路點(diǎn)撥 結(jié)論是以疑問(wèn)形式出現(xiàn)的， 不妨先假定是肯定的，然后推理.若推出矛盾

5、，則說(shuō)明結(jié)論是否定的；若推不出矛盾，則可考慮去證明結(jié)論是肯定的.【例 5】能夠找到這樣的四個(gè)正整數(shù)， 使得它們中任兩個(gè)數(shù)的積與 數(shù)嗎？若能夠，請(qǐng)舉出一例；若不能夠，請(qǐng)說(shuō)明理由.思路點(diǎn)撥先假設(shè)存在正整數(shù) n1, n2, n3, n4滿足mnj，2000 =m2(i , j =1 , 2, 3, 4, m 為正整數(shù))運(yùn)用完全平方數(shù)性質(zhì)、奇偶性分析、分類討論綜合推理，若推出矛盾，則原 假設(shè)不成立.注：反證法是從待證命題的結(jié)論的反面出發(fā)，進(jìn)行推理，通過(guò)導(dǎo)出矛盾來(lái)判斷待證命題成立的方法，其證明的基本步驟是：否定待證命題的結(jié)論、推理導(dǎo)出矛盾、肯定原命題的結(jié)論.宜用反證法的三題特征是：(1) 結(jié)論涉及無(wú)限；

6、(2) 結(jié)論涉及唯一性；2002 的和都是完全平方3(3) 結(jié)論為否定形式；(4) 結(jié)論涉及“至多，至少”；(5) 結(jié)論以疑問(wèn)形式出現(xiàn)等.學(xué)力訓(xùn)練1 由小到大排列各分?jǐn)?shù)：-，10，12，15，20，60是1117192333912. 分解因式x3亠(1 a)x22ax亠a2=_3.解關(guān)于x的方程：2x4-7x3-3ax23x24ax a2=0(a -)得x=.84.一111_ 的結(jié)果是.2 1 1,23 2 2 3100.99 99、1005 . 若關(guān)于x的三個(gè)方程，x2亠 4mx 亠 4m2亠 2m 亠 3 =0 ,x2亠(2m T)x、m2=0,(m -1)x22mx m _1 =0中至少

7、有一個(gè)方程有實(shí)根，則m 的取值范圍是 _ .6.有甲、乙兩堆小球，如果第一次從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆，第二次從乙 堆拿出和甲堆剩下的同樣多的小球放到甲堆，如此挪動(dòng)4 次后，甲、乙兩堆小球恰好都是16 個(gè)，那么，甲、乙兩堆最初各有多少個(gè)小球？27.求這樣的正整數(shù)a，使得方程ax - 2(2a -1)x，4a_7 =0至少有一個(gè)整數(shù)解.&某班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的 19 名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼恰是119 號(hào)，這些運(yùn)動(dòng)員隨意地站成一個(gè)圓圈，則一定有順次相鄰的3 名運(yùn)動(dòng)員，他們運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼之和不小于32,請(qǐng)說(shuō)明理由.9.如正整數(shù)a和b之和是n，則n可變?yōu)?ab，問(wèn)能不能用這種方法數(shù)次，將 22

8、變成 2001 ?10.證明：如果整系數(shù)二次方程 ax2，bx，c=0a (a 嚴(yán) 0)有有理根，那么a, b ,c中至少有 一個(gè)是偶數(shù).11.在 ABC 中是否存在一點(diǎn) P,使得過(guò) P 點(diǎn)的任意一直線都將該 ABC 分成等面積的兩 部分？為什么？12.求證：形如 4n+3 的整數(shù)是(n 為整數(shù))不能化為兩個(gè)整數(shù)的平方和.13.13 位小運(yùn)動(dòng)員，他們著裝的運(yùn)動(dòng)服號(hào)碼分別是113 號(hào).問(wèn)：這 13 名運(yùn)動(dòng)員能否站成一個(gè)圓圈，使得任意相鄰的兩名運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼數(shù)之差的絕對(duì)值都不小于3，且不大于 5?如果能，試舉一例；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.14.有 12 位同學(xué)圍成一圈，其中有些同學(xué)手中持有鮮花，鮮花總數(shù)

9、為 13 束，他們進(jìn)行分花游戲，每次分花按如下規(guī)則進(jìn)行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學(xué)拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學(xué)，每人一束.試證：在持續(xù)進(jìn)行這種分花游戲的過(guò)程中，一定會(huì)出 現(xiàn)至少有 74位同學(xué)手中持有鮮花的情況.參考答案固由正難則反切入【例題求解】鋼 1 I 由親件得血十+ 但工+ 3=(工十】戶十 2 二碁故*+2H-12 V afr. A 可得到關(guān)于工的一元二撫方程 tjr!+ (6C)JT-I-(cn) = 0.V (a fr) + (6c) + tf a)=0i A 方程必有 i|fi 為 1 設(shè)另一根為 x/2002-則由韋達(dá)定理得 f y2352+lz4_ LJa.

10、原式-(c Z_ /2002 720024-1) =-2002 +22,_rtiaa abS/2002X1 = -7.2b列 3 設(shè)三個(gè)二皮方程都沒(méi)有不檸實(shí)整.則5 4w 耳 04rJ三式相加，f# 護(hù)+A： abAffa 莖 0；、(a fr)1+ (6 r)i-r ca)f04J-4dr*+-0.A C +t)1-1(c-a，BOr；= s 這蠱明，若三個(gè)方程罪栓有不等的實(shí)棍，期 a = 6=c.W 此當(dāng) fl.fr.r 為不全相零的菲零實(shí)數(shù)時(shí)*三個(gè) 方程至少有一個(gè)方程有不等的實(shí)救眾.4 能補(bǔ)若四點(diǎn) A.B.c,n 構(gòu)成凸四邊形，則必有-個(gè)內(nèi)不帥設(shè)為 這足因?yàn)榧贈(zèng)]四個(gè)內(nèi)角祁北于旳+則 36

11、OD= Z+ZB+Zf，+ZP 4X90 = 360*. irXZAZ呂 AC+CAD：180 = 60*.不姑設(shè) ZAC605tZA = ZBD+ZCAD60*.則BAD 與CAD 之中必有一傘瘟* X 6O*C45.戰(zhàn) 結(jié)論底立.W5 不能找和這樣的四它們中任兩牛敦的積與 2Q02 的和抵是先全平方數(shù)，理由如下；個(gè)數(shù)的孚方龍翹 4 廉陳+奇敢的平方嫌 4 除余 L,也就是正整數(shù)的平方鍛4除余?；?L若存在正廉歡 Er+地，也境足小叫+闔帖=存卅 J= 1.2,3,4, wr 是正施數(shù)；因?yàn)?2002 檢 4 篠余氛所及n.ttr魅 1 粽磁 余23.門若正第歡 m 皿 5 皿中有兩牛是側(cè)數(shù)

12、*不婿設(shè) W E 是偶數(shù).則 rt，nt-2002按 4 除余氛與正整救的平方破 4 除余 Q 或 1 不苻.所以正整數(shù)眄.噸.叫砥中至爹有一牛是偶數(shù).至少有三牛屆奇數(shù)-） 在這三個(gè)奇數(shù)中菽 4 除的余數(shù)可芬.為余 1 或 3 兩類.抿據(jù)捕屜原則.亦有兩個(gè)奇數(shù)屬于同一類.則它怕的乘枳被! 馨余 1 與啟吃，啟 4 醸余左或 3 的結(jié)論尹庖.媒上所述.不能找到這樣的四個(gè)疋螯數(shù)，粳得它們中任蒔個(gè)蛙的積與 2002 的和郁足完全平方數(shù).【學(xué)力訓(xùn)練】ltA10U155O25_刃“一申產(chǎn)$319=2391川xI3 龍解方程訶 +4 工一 3 才加十（2xqj 7 十十 3 丁 = 0 側(cè)“4 工一 3、

13、或 um 2F 上*逬一涉梆得 Ji.t1 土i/Ea卜丨_9_二”105-當(dāng)心 1 時(shí)且三牛方程均無(wú)實(shí)根則一 y*-y（當(dāng)材=1 時(shí).第三牛方祥報(bào)為T= 0.故當(dāng) g-弓或心一+時(shí)，三牛方稈至少有一亍方程育實(shí)報(bào).6.逆推7.耙原方理改為英于的一觀方程j + 2）!a = 2j-+7（ 2）,a_ - t J- + Z） 2J+ 7*/. +21 蒼 0.解得一 3 莖1、:.JM3T-10,1.|E.r= 3 1.0l 井劇代人得 a 1=呂皿=1.啟 4 =或 q-5 時(shí).顒方程至少有一沖整數(shù)解.*在圓周上按逆時(shí)針亟.序以 1 號(hào)為起點(diǎn)記尿動(dòng)艇號(hào)的數(shù)為 ai 出， wttu*口葉*顯然 Q

14、i q】 *両旳皿 *+“ *a 護(hù)就是 2 5-,18413 的一個(gè)排列，令 A, +j +gtAt=at,+at+商 *兒=口） 十血 +aLt,* .At=aT+a,?4 則 4 +兒 - H九=2 + 3 + 4 - J7+L8 + 1S=189若兒*比嚴(yán)/八兒 中毎一沖都$31,則樂(lè)十& -卜+十九 X 31 = 186 與上式孝W-6罠逆向推算,2Wl=X667h由&+667 = 670,得列強(qiáng) 0= 10X 64 由 10+67-77 得到 i77=/Xil 由 7+11=1得到從任意* = l+可得到(n-D-lXtu-lJ,因此，從攀開始可依氏得到 2i,20

15、.S.)8t77t67G 和 2OT1,HL 偃設(shè)S全疑奇址.且旦是方思的一牛有理 ftb 且,Fr)-=l.fl(a()i +r = 0 即砒卅+加眄+?=0 井別就 H JIFT附郵為奇數(shù)，E 為奇數(shù)*為偶處，訊対儲(chǔ)數(shù)曲為奇蠹三科摘況時(shí)論，推導(dǎo)矛盾.11. 偃設(shè)存在點(diǎn) P 備足撇芹+連 AP 井延怏去比： 于 6 逹 BF 井廷栓交 A1：于&則 氐陽(yáng)D=$”H枚BD=CD,同理 AE= CE.fliJ P AAABC的直 4 故爺=專， 過(guò)卩柞 SHBC,并別空AH.AC于G、 H*由?!； 用“相(？有進(jìn)簽乂 (籍)=(箸八缶則靈榔才弘訓(xùn)鈿=4 5,SPSg#%沖故點(diǎn) P 不鴨

16、櫚足條件.即不存在述樣的點(diǎn) P*12. 假設(shè) F=4n+m=J+酹 3 怡為整敦八則與卜磁為一牛奇敢，一牛農(nóng)敗.不姑設(shè) = 2s+l,6=2f(i.r 為整枕.昂尸-仆+ 3=a1+fr2=2( (+l)l+ (St) )1-4Gl+i+/I) + l即尸既是 4+3 基泊誑* 丈是型的數(shù)，出現(xiàn)尹 ALIX 不麗辦到，躍由如下；悝設(shè)能骼排號(hào)鷗購(gòu)足萌設(shè)要求.遺們將號(hào)砰敬廿為兩 A &為】2 川*ll L2.13B 組為 145 諾*匚乩 41 們”顯棘A 組中的任曲牛數(shù)的菱的絶對(duì)帙要也小于氛要會(huì)丈于氣所以在捧辰的園圈中 A 組中的任不能榨嘟*也 就足八組中的枉兩片散之問(wèn)至少郵宴摘放 1

17、牛 E 組中的數(shù).迴 A 堆中的戳排或一羸后有石牛阿隔組中有丁牛歎*所 口排好陪有一牛間陽(yáng)且只有亠牛阿陽(yáng)描放有 3 組中的兩 GtS2t(6a)()(e)(63(fldDt(7.12)ffif3X6.11XSlS)(8118) )K.l)( (rUi( (ioa3)I從中町見(jiàn)，B 堀申的數(shù) 5 氣 7 硏 9 都能與掩姐中的闊牛不同的數(shù)相郭族賣 4 只與艷對(duì)昇。只與 13 配時(shí)因此排虛團(tuán) 膽石匚40 郵不能單獨(dú)插在 A 組中的陳牛不網(wǎng)牡之冊(cè)，4、1。只能偉為相鄰的前tlfc 捕在 A 蛆中前兩牛不同甦之間.也就 是 4 與 10 .相鄰，此時(shí) IQ-4=$A5,勾悶設(shè)護(hù)甬！因肚題設(shè)要求的邯林不

18、繇辦到.14.不肪個(gè)設(shè)開始時(shí)手中持有鮮花的同學(xué) JF 足丁位，殺幻熾哉缶、占彳“、人口按世時(shí)什方向依歡分別拆記這12位祠舉.U)在井耙游戲過(guò)程中，任何相鄆的兩扯冋學(xué)一涇其中亠也手中持有鮮花，那會(huì)在此后的母帆分花之百，他和兩人中加 妊至少冇一人乎中持有悍花一事實(shí)上，毎武分花如卑務(wù)龍的同于來(lái)是這曲應(yīng)同學(xué)中的一也瞬么他們儁手屮的鮮吧只左増加，不趙微少” in 果怖們 誦甲的一糧是分花青.那么.井花后男一位冏學(xué)一定持有聲花.任何一也同學(xué)不町能手中始聲無(wú)花.可用反證迭旺明這_點(diǎn).不紡假設(shè)凡手中曲趺無(wú)花這竜竦著遇姑彈沒(méi)柞為步花瓠松手中蟬花 R 栩堰加.不密威少.國(guó)總共只欄 13 貶幣 花所 E 經(jīng)過(guò)有限氏分花之后.缶不再接曼醉?E.這