最新北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系14解直角三角形

1、2014.122014.12第四節(jié)第四節(jié) 解直角三角形解直角三角形bABCac北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊2014.122014.12事實上，在直角三角形的六個元素中，除直事實上，在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果再知道兩個元素（其中至少有一角外，如果再知道兩個元素（其中至少有一個是邊），這個三角形就可以確定下來，這個是邊），這個三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素元素ABabcC解直角三角形解直角三角形: :在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程在解直角三角

2、形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：解直角三角形解直角三角形2014.122014.123.邊角之間的關(guān)系邊角之間的關(guān)系caAAsin 斜邊斜邊的對邊的對邊cbBBsin 斜邊斜邊的對邊的對邊cbAAcos 斜邊斜邊的鄰邊的鄰邊caBBcos 斜邊斜邊的鄰邊的鄰邊baAAAtan 的鄰邊的鄰邊的對邊的對邊abBBBtan 的鄰邊的鄰邊的對邊的對邊ABabcC在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：2.直角三角形兩銳角的關(guān)系直角三角形兩銳角的關(guān)系:兩銳角互余兩銳角互余 A+ B=900.1.直

3、角三角形三邊的關(guān)系直角三角形三邊的關(guān)系: 勾股定理勾股定理 a2+b2=c2.4.互余兩角互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系之間的三角函數(shù)關(guān)系:sinA=cosB. tanAtanB=15.同角同角之間的三角函數(shù)關(guān)系之間的三角函數(shù)關(guān)系:sin2A+cos2A=1.AcosAsinAtan 2014.122014.12特殊角的三角函數(shù)值表特殊角的三角函數(shù)值表三角函數(shù)三角函數(shù)銳角銳角正弦正弦sin余弦余弦cos正切正切tan30045060021233322221232132014.122014.12在直角在直角ABC中，如果已知其中兩邊的長，你能求出這個三中，如果已知其中兩邊的長，你能求出這個三角形的其

4、他元素嗎？角形的其他元素嗎？由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的過程，叫做素的過程，叫做解直角三角形解直角三角形。做做一一做做ABabcC2014.122014.12在直角在直角ABC中，如果已知一邊和一個銳角，你能求出這個中，如果已知一邊和一個銳角，你能求出這個三角形的其他元素嗎？三角形的其他元素嗎？在直角三角形的在直角三角形的6個元素中，直角是已知元素，如果再知道一個元素中，直角是已知元素，如果再知道一條邊和第三個元素，這個三角形的所有元素就可以確定下來。條邊和第三個元素，這個三角形的所有元素就可以確定下來。ABabcC2014.122014

5、.12隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)在在RtABC中，中，C=90，根據(jù)下列條件求出直角三角形，根據(jù)下列條件求出直角三角形的其他幾個元素（角精確到的其他幾個元素（角精確到1）（1）已知）已知b=10， B=60（2）已知）已知c=20， A=603320, 3310,301caA）（10, 310,302baB）（2014.122014.12知識技能知識技能45,45,191BAb）（60,30,212)2(BAc2014.122014.123.3.如圖如圖, ,工件上有一工件上有一V V型槽型槽, ,測得它的上口寬測得它的上口寬20mm,20mm,深深19.19.2mm.2mm.求求V V型角型角(ACB

6、)(ACB)的大小的大小( (結(jié)果精確到結(jié)果精確到1 10 0 ).).問題解決問題解決2014.122014.12問題：問題： 要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角地面所成的角a一般要滿足一般要滿足50a75.現(xiàn)有一個長現(xiàn)有一個長6m的梯子，的梯子，問：問：（1）使用這個梯子最高可以安全攀上多高的）使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻（精確到墻（精確到0.1m）（2）當(dāng)梯子底端距離墻面）當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時，梯子與地時，梯子與地面所成的角面所成的角a等于多少（精確到等于多少（精確到1）？這時人）？這時人是否能

7、夠安全使用這個梯子？是否能夠安全使用這個梯子？這樣的問題怎么解決這樣的問題怎么解決問題解決問題解決4ABC解：如圖，在解：如圖，在Rt ABC中，中，C=90 (1)由題可知，當(dāng)由題可知，當(dāng)A75，對邊，對邊BC的長度就攀上的長度就攀上的最高高度。的最高高度。 sinA= BCAB BC=ABsinA=6sin7560.975.8 使用這個梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是使用這個梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是5.8m 2014.122014.12問題：問題： 要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角地面所成的角a一般

8、要滿足一般要滿足50a75.現(xiàn)有一個長現(xiàn)有一個長6m的梯子，的梯子，問：問：（1）使用這個梯子最高可以安全攀上多高的）使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻（精確到墻（精確到0.1m）（2）當(dāng)梯子底端距離墻面）當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時，梯子與地時，梯子與地面所成的角面所成的角a等于多少（精確到等于多少（精確到1）？這時人）？這時人是否能夠安全使用這個梯子？是否能夠安全使用這個梯子？這樣的問題怎么解決這樣的問題怎么解決問題解決問題解決4ABC解：解： (2)由題可知，當(dāng)由題可知，當(dāng) AC2.4m，AB=6m。 cosA= ACAB = 2.46 =4 由計算器可得由計算器可得 66 梯子與地面

9、所在的角大約是梯子與地面所在的角大約是 66 由由 要滿足要滿足 50a75可知， 這時梯子是安全的?？芍?， 這時梯子是安全的。 2014.122014.12 解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問題 設(shè)塔頂中心點(diǎn)為設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過，過B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C（如圖），在（如圖），在RtABC中，中，C90，BC5.2m，AB54.5mABCABC解：如圖，在解：如圖，在 Rt ABC 中，中，C=90 sinA= BCAB = 5.254.5 0.0954 A528 20

10、14.122014.121.（2014四川自貢）如圖，某學(xué)校新建了一座吳玉章雕塑，小四川自貢）如圖，某學(xué)校新建了一座吳玉章雕塑，小林站在距離雕塑林站在距離雕塑 2.7 米的米的 A 處自處自 B 點(diǎn)看雕塑頭頂點(diǎn)看雕塑頭頂 D 的仰角為的仰角為45，看雕塑底部，看雕塑底部 C 的仰角為的仰角為 30，求塑像，求塑像 CD 的高度 （最后結(jié)的高度 （最后結(jié)果精確到果精確到 0.1 米，參考數(shù)據(jù)：米，參考數(shù)據(jù)： 31.7） 中考鏈接中考鏈接解：解：由由題題可可知知，BE=2.7 米米 在在 RtDEB 中，中，DEB=90 DE=BEtan45=2.7 米，米， 在在 RtCEB 中，中，CEB=9

11、0 CE=BEtan30=0.9 3米，米， 則則 CD=DECE=2.70.9 31.2 米米 故塑像故塑像 CD 的高度大約為的高度大約為 1.2 米米 2014.122014.122.（2014珠海）如圖，一艘漁船位于小島珠海）如圖，一艘漁船位于小島 M 的北偏東的北偏東 45方向、距方向、距離小島離小島 180 海里的海里的 A 處，漁船從處，漁船從 A 處沿正南方向航行一段距離后，處沿正南方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東到達(dá)位于小島南偏東 60方向的方向的 B 處處 （1）求漁船從）求漁船從 A 到到 B 的航行過程中與小島的航行過程中與小島 M 之間的最小距離（結(jié)之間的最小距

12、離（結(jié)果用根號表示） ；果用根號表示） ； 中考鏈接中考鏈接解： （解： （1）過點(diǎn)）過點(diǎn) M 作作 MDAB 于點(diǎn)于點(diǎn) D， AME=45，AMD=MAD=45， AM=180 海里，海里， MD=AMcos45=90 2（海里） ，（海里） ， 答：漁船從答：漁船從 A 到到 B 的航行過程中與小島的航行過程中與小島 M之間的最小距離是之間的最小距離是 90 2海里。海里。 D A B 2014.122014.122.（2014珠海）如圖，一艘漁船位于小島珠海）如圖，一艘漁船位于小島 M 的北偏東的北偏東 45方向、距方向、距離小島離小島 180 海里的海里的 A 處，漁船從處，漁船從 A

13、 處沿正南方向航行一段距離后，處沿正南方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東到達(dá)位于小島南偏東 60方向的方向的 B 處處 （2）若漁船以）若漁船以 20 海里海里/小時的速度從小時的速度從 B 沿沿 BM 方向行駛，求漁船方向行駛，求漁船從從 B 到達(dá)小島到達(dá)小島 M 的航行時間（結(jié)果精確到的航行時間（結(jié)果精確到 0.1 小時） （參考數(shù)據(jù)：小時） （參考數(shù)據(jù)：21.41， 31.73， 62.45） 中考鏈接中考鏈接解： （解： （2）在）在 RtDMB 中，中，ADM=90 BMF=60，DMB=30， MD=90 2海里，海里，MB= MD cos30 =60 6， 漁船從漁船從 B

14、到達(dá)小島到達(dá)小島 M 的航行時間的航行時間為為 60 620=3 6=32.45=7.357.4（小時） ，（小時） ， 答：漁船從答：漁船從 B 到達(dá)小島到達(dá)小島 M 的航行時間約為的航行時間約為 7.4小時小時 D A B 2014.122014.12 3 如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中， AB=2，CD=1， A= 60， D= B= 90，求此四邊形求此四邊形ABCD的面積。的面積。ACDB2601A2014.122014.12ABCDE260132BE3DE323312132221CDEABEABCDSSS四邊形ABBEA tanDECDE tan2014.122014.

15、12的長，求線的平分，中，如圖，在BCABADAACCABCRt34690. 2BACD34612233461cos0301030B12sinBACAB補(bǔ)充習(xí)題補(bǔ)充習(xí)題2014.122014.12的長，求的面積為，邊上一點(diǎn)，為中，在ABACDCDADBDBCDABC33012146ABCDE，的延長線于，交解：如圖，作ECBCBAE 12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED5611BDEDBE105)35(2222EBAEABABERt中，在614123552014.122014.12的長，求的面積為，邊上一點(diǎn)，為中，在AB

16、ACDCDADBDBCDABC33012146ECBAE于點(diǎn)解：如圖，作12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED17611BDEDBE91217)35(2222EBAEABABERt中，在ABCDE6141235112014.122014.12ABC例例3 .如圖，如圖，ABC中，中， B=45， C=30， AB=2，求，求AC的長的長.解：過A作ADBC于D， 在Rt ABD中,B=45,AB=2，2222D45302AD= sinB =ABAD在RtACD中，C=30ABsinB=2sin45=2AC=2AD=2220

17、14.122014.12 如圖，在小島上有一觀如圖，在小島上有一觀察察站站A.A.據(jù)測，燈塔據(jù)測，燈塔B B在觀察站在觀察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，燈塔的方向，燈塔C C在在B B正東方向，且相距正東方向，且相距1010海里，燈塔海里，燈塔C C與觀察與觀察站站A A相距相距10 10 海里，請你測算燈塔海里，請你測算燈塔C C處在觀察站處在觀察站A A的什么方向？的什么方向？解：過點(diǎn)解：過點(diǎn)C C作作CD AB,CD AB,垂足為垂足為D D北A A B BC CD D21052210F燈塔燈塔B在觀察站在觀察站A北偏西北偏西45的方向的方向 B=45sinB =CBCDCD

18、=BCsinB=10sin45=10 =22在在RtDAC中，中， sin DAC=ACCD2102521 DAC=30CAF=BAF -DAC=45-30=154545燈塔燈塔C處在觀察站處在觀察站A的北偏西的北偏西15的方向的方向252014.122014.12 如圖，在小島上有一觀察站如圖，在小島上有一觀察站A.A.據(jù)測，燈塔據(jù)測，燈塔B B在觀察站在觀察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，燈塔的方向，燈塔C C在在B B正東方向，且相距正東方向，且相距1010海里，燈塔海里，燈塔C C與觀察與觀察站站A A相距相距10 10 海里，請你測算燈塔海里，請你測算燈塔C C處在觀察站處

19、在觀察站A A的什么方向？的什么方向？北A BC解：過點(diǎn)解：過點(diǎn)A A作作AEBCAEBC，垂足為，垂足為E,E,E21021010設(shè)CE=x在在RtRtBAEBAE中，中，BAE=45BAE=45AE=BE=10+xAE=BE=10+x在在RtRtCAECAE中，中，AEAE2 2+CE+CE2 2=AC=AC2 2x2+(10+x)2=(10)22即：x2+10 x-50=0355, 35521xx(舍去)355燈塔燈塔C C處在觀察站處在觀察站A A的北偏西的北偏西1515 的方向的方向sin CAE=ACCE210355CAE15452014.122014.124.（2014揚(yáng)州）如圖

20、，在四邊形揚(yáng)州）如圖，在四邊形 ABCD 中，中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，點(diǎn)，點(diǎn) M、N 分別在分別在 AB、AD 邊上，若邊上，若 AM：MB=AN：ND=1：2，則，則 tanMCN=（ ） A. 3 313 B.2 511 C. 2 39 D. 52 A E 中考鏈接中考鏈接O 242014.122014.12w例例1 如圖如圖:在在RtABC中中,B=900,AC=200,sinA=0.6.w求求:BC的長的長. 例題欣賞例題欣賞請你求出請你求出cosA,tanA,sinC,cosC和和tanC的值的值.200ACBw解解:在在RtABC中中, B=900ACBCAsin .1206 . 0200AsinACBC 1201602014.122014.12A 中考鏈接中考鏈接B 2014.122014.12D 圖3中考鏈接中考鏈接D E 2014.122014.12A 中考鏈接中考鏈接ABC2014.122014.12D E 中考鏈接中考鏈接532014.122014.122中考鏈接中考鏈接解解：四邊形四邊形 ABCD 是菱形，是菱形，AD=AB， cosA=35 ，BE=4，DEAB， 設(shè)設(shè) AD=AB=5x，AE=3x， 則則 5x3x=4，x=2，即