第4章各態(tài)歷經(jīng)性與隨機(jī)實(shí)驗(yàn)

1、第4章 各態(tài)歷經(jīng)性與隨機(jī)實(shí)驗(yàn)2022-4-112目錄4.1 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性4.2 參數(shù)的估計(jì)與測量方法4.3 隨機(jī)模擬方法與實(shí)驗(yàn)4.4 簡單隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法2022-4-113為什么要研究各態(tài)歷經(jīng)性？ 要得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，需要觀察大量的樣本函數(shù)； 求統(tǒng)計(jì)平均的試驗(yàn)工作量很大，處理方法也很復(fù)雜； 隨機(jī)信號具有各態(tài)歷經(jīng)性時(shí)，對統(tǒng)計(jì)特性的測量與實(shí)驗(yàn)只需要在其一個(gè)樣本函數(shù)上進(jìn)行即可。2022-4-114 各態(tài)歷經(jīng)性的定義各態(tài)歷經(jīng)性的定義：在一定條件下，隨機(jī)信號的任何一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均（觀察時(shí)間足夠時(shí)間平均（觀察時(shí)間足夠長）長），從概率意義上趨近于或等于統(tǒng)計(jì)平均值趨近于或等于統(tǒng)計(jì)平均值（

2、或集平均）（或集平均），稱為各態(tài)歷經(jīng)性(Ergodicity)(或埃爾哥德性或遍歷性)。1,( )2TTTAX tX tdtE X tT4.1 各態(tài)歷經(jīng)性2022-4-115各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性的理解各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性的理解 隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)都同樣經(jīng)歷了隨機(jī)隨機(jī)過程的各樣本函數(shù)都同樣經(jīng)歷了隨機(jī)過程的各種可能狀態(tài)，或者說彷佛過程的各種可能狀態(tài)，或者說彷佛“遍歷遍歷”信號的全部狀態(tài)；信號的全部狀態(tài)； 從隨機(jī)過程的任何一個(gè)樣本函數(shù)都可以得從隨機(jī)過程的任何一個(gè)樣本函數(shù)都可以得到隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息；到隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息； 任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性可以充分代表整任何一個(gè)樣本函數(shù)的特性可以充分代表整

3、個(gè)隨機(jī)過程的特性。個(gè)隨機(jī)過程的特性。2022-4-116名稱分類依據(jù)基本特征均值各態(tài)歷經(jīng)信號均值樣本統(tǒng)計(jì)平均樣本時(shí)間平均相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)相關(guān)函數(shù)樣本統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)樣本時(shí)間相關(guān)函數(shù)一階分布各態(tài)歷經(jīng)一階概率分布一階概率分布一階分布時(shí)間平均各態(tài)歷經(jīng)性的分類各態(tài)歷經(jīng)性的分類2022-4-117 如果隨機(jī)信號的所有參數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該信號為嚴(yán)格（或狹義）各態(tài)歷經(jīng)的。 如果隨機(jī)信號的均值和相關(guān)函數(shù)同時(shí)具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該信號為廣義各態(tài)歷經(jīng)的或廣義遍歷的，簡稱為各態(tài)歷經(jīng)的或遍歷的。嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)和廣義各態(tài)歷經(jīng)嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)和廣義各態(tài)歷經(jīng)2022-4-118各態(tài)歷經(jīng)過程或遍歷過程的實(shí)際應(yīng)用各態(tài)歷經(jīng)過程或遍

4、歷過程的實(shí)際應(yīng)用 l 一般隨機(jī)過程的時(shí)間平均是隨機(jī)變量，但各態(tài)歷經(jīng)(或遍歷)過程的時(shí)間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均代替整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)平均，在實(shí)際工作中，時(shí)間不可能無限長，只要足夠長即可。l 例如，測量接收機(jī)的噪聲，用一般的方法，需要在同一條件下對數(shù)量極多的相同接收機(jī)進(jìn)行測量和記錄，然后用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出所需的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征，對輸出噪聲做長時(shí)間記錄，然后用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算數(shù)字特征。若利用隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性，則只要一部接收機(jī)，在環(huán)境條件不變的情況下，對輸出噪聲做長時(shí)間記錄，然后用求時(shí)間平均的方法求出數(shù)字特征。2022-4-119各態(tài)歷經(jīng)（或遍歷）過程與平穩(wěn)過程的關(guān)系各態(tài)歷

5、經(jīng)（或遍歷）過程與平穩(wěn)過程的關(guān)系l 各態(tài)歷經(jīng)(或遍歷)過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)（或遍歷）的。l 只有平穩(wěn)隨機(jī)過程才可能具有各態(tài)歷經(jīng)性l 在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。2022-4-1110( )( );E X tx t f x t dx實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):（一段）樣本函數(shù)X(t,) 121212,;,XRx x f x x tt dx dx 均值和相關(guān)函數(shù)為：隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)均值和統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)均值和統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)2022-4-1111由隨機(jī)信號的某一樣本函數(shù)X(t,)測量均值EX(t)=m(t) ,1,2TTTAX tX tdtT稱為局部時(shí)間

6、平均，當(dāng)T足夠大，上式趨于EX(t)。 12TTTAdtT均值各態(tài)歷經(jīng)性均值各態(tài)歷經(jīng)性其中 ， 稱為局部時(shí)間平均算子。當(dāng)T時(shí)，上式變?yōu)槿謺r(shí)間平均（或算術(shù)平均）。 1limlim2TTTTTAAdtT，稱為全局時(shí)間平均算子。1,lim,lim,2TTTTTA X tAX tX tdtT2022-4-1112 ,1P E X tA X t均值各態(tài)歷經(jīng)性是指：等價(jià)于(1) EX(t)=m（常量），稱該信號均值平穩(wěn)；(2) VarAX(t,)=0, 即時(shí)間平均只取一個(gè)固定值。物理含義：只要觀測的時(shí)間足夠長，每個(gè)樣本函物理含義：只要觀測的時(shí)間足夠長，每個(gè)樣本函數(shù)都將經(jīng)歷信號的所有狀態(tài)，因此，從任一樣本

7、數(shù)都將經(jīng)歷信號的所有狀態(tài)，因此，從任一樣本函數(shù)中可以計(jì)算出其均值。函數(shù)中可以計(jì)算出其均值。2022-4-1113定義定義如果它依概率如果它依概率1收斂于集合均值，即收斂于集合均值，即則稱則稱X(t)均值具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。均值具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。則稱則稱X(t)自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性 。如果它依概率如果它依概率1收斂于集合自相關(guān)函數(shù)，即收斂于集合自相關(guān)函數(shù)，即TTTdttXTtXtXA)(21lim)()(TTTXdttXtXTtXtXtt)()(21lim)()(),(XmtXEtXtXA)()()()()()()()(),(XXRtXtXE

8、tXtXtt為時(shí)間均值，為時(shí)間均值， 定義時(shí)間自相關(guān)函數(shù)為：定義時(shí)間自相關(guān)函數(shù)為：時(shí)間平均和時(shí)間相關(guān)函數(shù)的其他表示符號時(shí)間平均和時(shí)間相關(guān)函數(shù)的其他表示符號2022-4-1114 lim0,0CC 且 1lim02TTTCdT 221lim1022TTTCdTT定理4.1 若實(shí)信號X(t)廣義平穩(wěn)，協(xié)方差函數(shù)為C()，則其均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的判斷條件如下。充分條件：充要條件：充要條件：2022-4-11151,lim,21NNnNA X nX nN對于離散隨機(jī)序列，時(shí)間平均由下式計(jì)算。其均值各態(tài)歷經(jīng)性的判斷條件與連續(xù)隨機(jī)信號相仿。例如，如果 ，則X(n)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。 lim0mC m202

9、2-4-1116 1lim2TTTA X tCdtCT222,ccR ttE Cm常量 cE X tE Cm常量例例 4.1 隨機(jī)信號隨機(jī)信號X(t)=C，其中，其中C為某隨機(jī)變量為某隨機(jī)變量(C的方差不為零的方差不為零)，討論其均值各態(tài)歷經(jīng)性。，討論其均值各態(tài)歷經(jīng)性。解：X(t)的均值和相關(guān)函數(shù)分別為：故X(t)為廣義平穩(wěn)信號。但是即AX(t)為一隨機(jī)變量，雖然均值為mc，但方差不為0，故X(t)不是均值各態(tài)歷經(jīng)的。2022-4-1117例例4.2 設(shè)隨機(jī)信號設(shè)隨機(jī)信號X(t)=A+n(t)，其中，其中A為常量，為常量，n(t)是白噪聲，且是白噪聲，且Rn()=q()。討論其均值的各。討論其

10、均值的各態(tài)歷經(jīng)性。態(tài)歷經(jīng)性。解：因?yàn)榘自肼暤木禐榱?，又因?yàn)?CX()=Rn()=q()，利用定理4.1的條件, 判定X(t)的均值是各態(tài)歷經(jīng)的。 022121limlimlimTqdqTdCTTTTTTTT2022-4-1118( ),( , )1P E X tX tA X tX t 1,( , )lim(, )2TXXTTE A X tX tRtt dtRT 相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性指X(t)滿足：EX(t+)X(t)與t無關(guān)，表示為R()，則相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性等價(jià)于：RX(t+,t)=RX()，即該信號的相關(guān)函數(shù)是平穩(wěn)的；VarAX(t+,)X(t,)=0, 即時(shí)間平均以概率1取一個(gè)確定函數(shù)。

11、2022-4-1119定理定理4.2 若實(shí)信號若實(shí)信號X(t)廣義平穩(wěn)，相關(guān)函數(shù)為廣義平穩(wěn)，相關(guān)函數(shù)為RX()，其相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為，其相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為: 2201lim102TZXTuRuRduTT其中Z(t)=X(t+)X(t)， RX()=EZ(t) 。2022-4-1120對于正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若均值為零，自相關(guān)函數(shù) 連續(xù)，則此過程具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性的充要條件為)(XRdRX0)(注意：注意：判斷一個(gè)平穩(wěn)過程是否各態(tài)歷經(jīng)或遍歷的，我們判斷一個(gè)平穩(wěn)過程是否各態(tài)歷經(jīng)或遍歷的，我們總是先假設(shè)其是各態(tài)歷經(jīng)或遍歷的，然后看是否滿足定總是先假設(shè)其是各態(tài)歷經(jīng)或遍歷的，然

12、后看是否滿足定義要求（即時(shí)間平均以概率義要求（即時(shí)間平均以概率1 1等于統(tǒng)計(jì)平均），一般不等于統(tǒng)計(jì)平均），一般不用兩個(gè)判別定理。用兩個(gè)判別定理。 2022-4-1121 00111( )Tt TTtE X ts tdsdsdTTT常量 011,() ()() ( )Tt TXXtRtts ts tdssdRTT例例4.3 設(shè)設(shè)S(t)是一個(gè)周期為是一個(gè)周期為T的函數(shù)，隨機(jī)變量的函數(shù)，隨機(jī)變量在在0,T)上均勻分布，稱上均勻分布，稱X(t)=s(t+)為隨機(jī)周期函數(shù)。例如，為隨機(jī)周期函數(shù)。例如，X(t)=acos(w0t+)。試討論。試討論X(t)的平穩(wěn)性及各態(tài)歷經(jīng)性。的平穩(wěn)性及各態(tài)歷經(jīng)性。解：

13、(1)分析平穩(wěn)性。令=t+，因?yàn)閟(t)的周期為T，它在任一周期內(nèi)的積分相等，則利用s()s(+)關(guān)于是周期為T的函數(shù)，故X(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號。2022-4-1122（2）分析各態(tài)歷經(jīng)性。011,lim()()21( )( )LTLLTA X ts tdts tdtLTsdE X tT 001,lim() ()211() ()() ( )1() ( )LLLTTTXA X tX ts ts tdtLs ts tdtssdTTssdRT 因?yàn)闀r(shí)間平均等于統(tǒng)計(jì)平均，故X(t)的均值和相關(guān)函數(shù)都是各態(tài)歷經(jīng)的。2022-4-1123000cossin1( )limcoslim02TTTTaw TA X taw tdtTw T2200001()( )limcoscoscos22TTTaA X tX taw tw twdtwT 設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程X(t)=acos(w0t+)，其中，其中a,w0為常數(shù)，為常數(shù)，是在區(qū)間是在區(qū)間(0,2)上均勻分布的隨機(jī)變量，討論上均勻分布的隨機(jī)變量，討論X(t)的各態(tài)歷經(jīng)性。的各態(tài)歷經(jīng)性。補(bǔ)充例1解：由于EX(t)=AX(t), EX(