七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)二元一次方程組的應(yīng)用典型例題素材湘教

1、二元一次方程組的應(yīng)用典型例題例1 小明家去年結(jié)余5000元，估計(jì)今年可結(jié)余9500元，并且今年收入比去年高15，支出比去年低10，求去年的收入與支出各是多少？例2 要配制成濃度為30的燒堿溶液50千克，需要濃度為10和60的兩種燒堿溶液多少千克？例3 一輛汽車(chē)在相距70千米的甲、乙兩地往返行駛，由于行駛中有一坡度均勻的小山，該汽車(chē)由甲地到乙地需用2小時(shí)30分，而從乙地回到甲地需用2小時(shí)18分.若汽車(chē)在平地上的速度為30千米/時(shí)，上坡的速度為20千米/時(shí)，下坡的速度為40千米/時(shí)，求從甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？例4 某中學(xué)初三（1）班計(jì)劃用66元錢(qián)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為3元

2、、2元、1元的甲、乙、丙三種紀(jì)念品，獎(jiǎng)勵(lì)參加藝術(shù)節(jié)活動(dòng)的同學(xué)，已知購(gòu)買(mǎi)乙種紀(jì)念品的件數(shù)比購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)多2件，而購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)不少于10件，且購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的費(fèi)用不超過(guò)總費(fèi)用的一半.若購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種紀(jì)念品恰好用了66元錢(qián)，那么可有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？每種方案中，購(gòu)買(mǎi)的甲、乙、丙三種紀(jì)念品各是多少件？例5某工程隊(duì)計(jì)劃在695米線路上分別裝米和米長(zhǎng)兩種規(guī)格的水管共100根，問(wèn)這兩種水管各需多少根？例6若甲、乙兩庫(kù)共存糧95噸，現(xiàn)從甲庫(kù)運(yùn)出存糧的，從乙?guī)爝\(yùn)出存糧的40%，那么乙?guī)焖嗉Z食是甲庫(kù)的2倍，問(wèn)甲、乙兩庫(kù)原各存多少噸糧食？例7 甲、乙兩人從相距36千米的兩地相向而行.如果甲比乙先走

3、2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)后經(jīng)2.5小時(shí)相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)后經(jīng)3小時(shí)相遇；求甲、乙兩人的速度.例8 通訊員在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由A地前往B地.如果他每小時(shí)走35公里，那么他就要遲到2小時(shí)；如果他每小時(shí)走50公里，那么他就可以比規(guī)定時(shí)間早到1小時(shí)，求A、B兩地間的距離.例9 某車(chē)間加工螺釘和螺母，當(dāng)螺釘和螺母恰好配套（一個(gè)螺釘配一個(gè)螺母）時(shí)就可以運(yùn)進(jìn)庫(kù)房.若一名工人每天平均可以加工螺釘120個(gè)或螺母96個(gè)，該車(chē)間共有工人81名.問(wèn)應(yīng)怎樣分配人力，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的零件及時(shí)包裝運(yùn)進(jìn)庫(kù)房？例10 要修一段420千米長(zhǎng)的公路.甲工程隊(duì)先干2天乙工程隊(duì)加入，兩隊(duì)再合干2天完成任務(wù)；如

4、果乙隊(duì)先干2天，甲、乙兩隊(duì)再合干3天完成任務(wù)，問(wèn)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各能修路多少千米？例11甲乙兩物體分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為600米的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，甲的速度較快，當(dāng)兩物體反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每15秒鐘相遇一次，當(dāng)兩物體同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每1分鐘相遇一次，求各物體的速度？參考答案例1 分析 若設(shè)去年收收x元，支出y元，則可由去年結(jié)余5000元，今年結(jié)余9500元這兩個(gè)條件列出兩個(gè)方程.解 設(shè)去年收入x元，支出y元，根據(jù)題意，得解得答：去年小明家收入20000元，支出15000元.例2 分析 本題中要抓住兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，一是兩種燒堿溶液重量和為50千克，二是10和60的燒堿溶液中純燒堿的量的和等于50千克30

5、的燒堿溶液中的純燒堿量.解 設(shè)需要濃度為10的燒堿溶液x千克，濃度為60的燒堿溶液y千克，根據(jù)題意，得 解得 答：需要濃度為10的燒堿溶液30千克，濃度為60的燒堿溶液20千克.例3 解 設(shè)甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，則平路為千米，根據(jù)題意，得解得 則答：從甲地到乙地上坡路12千米，下坡路4千米，平路54千米.例4 分析 可設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種紀(jì)念品的件數(shù)分別為x、y、z.在題目中有兩個(gè)相等關(guān)系：“購(gòu)買(mǎi)乙種紀(jì)念品的件數(shù)比購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)多2件”，“購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種紀(jì)念品恰好用了66元錢(qián)”.根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系可以列出兩個(gè)關(guān)于x、y、z的方程.但這里有三個(gè)未知數(shù)，只列出了兩個(gè)

6、方程是無(wú)法求出它們的解的，注意到題目中還有兩個(gè)限制條件：“購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的件數(shù)不少于10件”，“購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品的費(fèi)用不超過(guò)總費(fèi)用的一半”.有了這兩個(gè)條件，就確定了x的取值范圍，而x必為正整數(shù)，因此可求出x的值，從而求出另外兩個(gè)求知數(shù).解 設(shè)購(gòu)買(mǎi)的甲、乙、丙三種紀(jì)念品的件數(shù)分別為x、y、z，根據(jù)題意，有 則 ，且， ，又 x為整數(shù)， 或.（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，答：可有兩種購(gòu)買(mǎi)方案：第一種方案：購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品10件、乙種12件、丙種12件；第二種方案：購(gòu)買(mǎi)甲種紀(jì)念品11件、乙種13件、丙種7件.例5 分析 本題中有兩個(gè)未知數(shù)規(guī)格為米長(zhǎng)水管的根數(shù)與規(guī)格為米長(zhǎng)水管的根數(shù).題目中恰有兩個(gè)相等關(guān)系：（1

7、） 米長(zhǎng)的水管根數(shù)十米長(zhǎng)水管根數(shù)=100根（2） 米長(zhǎng)水管總米數(shù)十米長(zhǎng)水管的總米數(shù)=線路的總米數(shù)解 設(shè)米長(zhǎng)規(guī)格的水管需根，米長(zhǎng)規(guī)格的水管根，根據(jù)題意，得解這個(gè)方程組，得答：需規(guī)格為米長(zhǎng)的水管35根，需規(guī)格為米長(zhǎng)的水管65根.說(shuō)明：在實(shí)際生活中，我們常常遇到象例1這樣的問(wèn)題，我給出的解法是列出二元一次方程組求解.同學(xué)們想一想，還有沒(méi)有其他的方法？能不能列出一元一次方程來(lái)解呢？如果能，比較兩者的不同，看一看哪種方法簡(jiǎn)單？然后自己歸納出列二元一次方程組解應(yīng)用題的步驟.例6 分析 本題有兩個(gè)未知數(shù)甲倉(cāng)庫(kù)原存糧與乙?guī)煸婕Z；有兩個(gè)相等關(guān)系：（1）甲倉(cāng)庫(kù)原存糧噸數(shù)乙倉(cāng)庫(kù)原存糧噸數(shù)=95噸（2）乙倉(cāng)庫(kù)剩余糧

8、食噸數(shù)=2倍甲庫(kù)剩余糧食噸數(shù)解 設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)原存糧食噸，乙倉(cāng)庫(kù)原存糧食y噸，根據(jù)題意，得解這個(gè)方程組，得 答：甲倉(cāng)庫(kù)原存糧食45噸，乙倉(cāng)庫(kù)原存糧食50噸.例7 分析 這里有兩個(gè)未知數(shù)甲、乙兩人的速度.有兩個(gè)相等關(guān)系：（1）甲先走2小時(shí)的行程+甲乙在2.5小時(shí)內(nèi)走的行程=36千米（2）甲乙3小時(shí)走的行程+乙在2小時(shí)內(nèi)走的行程=36千米解 設(shè)甲的速度為千米/小時(shí)，乙的速度為y千米/小時(shí)，根據(jù)題意，得解方程組，得 答：甲的速度為6千米/小時(shí)，乙的速度為3.6千米/小時(shí).例8 分析 這里有兩個(gè)未知數(shù)規(guī)定時(shí)間和A、B兩地間距離.有兩個(gè)相等關(guān)系：（1）員速度以35公里/小時(shí)走完全程用的時(shí)間2小時(shí)=規(guī)定時(shí)間（2

9、）通訊員速度為50公里/小時(shí)走完全程用的時(shí)間+1小時(shí)=規(guī)定時(shí)間解 設(shè)A、B兩地間的距離為公里，規(guī)定時(shí)間為y小時(shí).根據(jù)題意，得解方程組，得 答：A、B兩地間的距離為350公里.例9 分析 這里有兩個(gè)未知數(shù)生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)和生產(chǎn)螺母的人數(shù).有兩個(gè)相等關(guān)系：（1）生產(chǎn)螺釘?shù)娜藬?shù)生產(chǎn)螺母的人數(shù)=總?cè)藬?shù)（81名）（2）每天生產(chǎn)的螺釘數(shù)=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)解 設(shè)生產(chǎn)螺釘?shù)墓と擞忻a(chǎn)螺母的工人有y名，根據(jù)題意，得解方程組，得 答：生產(chǎn)螺釘?shù)墓と擞?6名，有45名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的零件及時(shí)包裝運(yùn)進(jìn)庫(kù)房.例10 分析 這里有兩個(gè)未知數(shù)甲工程隊(duì)每天修路的千米數(shù)和乙工程隊(duì)每天修路的千米數(shù)；有兩個(gè)相等關(guān)系：（1）甲2天修路的長(zhǎng)甲、乙合修2天的公路長(zhǎng)=公路總長(zhǎng)（2）乙2天修路的長(zhǎng)甲、乙合修3天的公路長(zhǎng)=公路總長(zhǎng)解 設(shè)甲每天修公路千米，乙每天修公路y千米，根據(jù)題意，得 解方程組，得 答：甲每天修公路90千米，乙每天修公路30千米.例11 分析 題中有兩個(gè)未知數(shù)，即甲乙兩物體速度，題中“每15秒相遇一次”就是15秒兩物體經(jīng)過(guò)路程之和是60