322圓的切線的判定、性質(zhì)和畫法

1、點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線圓的切線本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容3.23.2.2 圓的切線的判定、圓的切線的判定、 性質(zhì)和畫法性質(zhì)和畫法 工人用砂輪磨一把銼刀，火花是順著工人用砂輪磨一把銼刀，火花是順著什么方向飛出去的？什么方向飛出去的？觀察觀察畫一個(gè)圓畫一個(gè)圓O和一條半徑和一條半徑OA，探究探究過點(diǎn)過點(diǎn)A作直線作直線l與與OA垂直，如圖垂直，如圖3-32.圖圖3-32l（1）圓心）圓心O到直線到直線l的垂線段是什么？的垂線段是什么？垂線段是垂線段是 .半徑半徑（2）圓心）圓心O到直線到直線l的距離等于多少？的距離等于多少？距離等于距離等于 .半徑半徑（3）直線）直線l與圓與圓

2、O的位置關(guān)系怎樣？的位置關(guān)系怎樣？直線直線l是圓是圓O的的 線線.切切結(jié)論結(jié)論切線的判定定理切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于經(jīng)過半徑的外端并且垂直于 這條半徑的直線是圓的切線這條半徑的直線是圓的切線.例例2 已知：如圖已知：如圖3-33，AD是圓是圓O的直徑，的直徑， 直線直線BC經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)D，并且，并且AB=AC， BAD=CAD. 求證：直線求證：直線BC是圓是圓O的切線的切線.舉舉例例圖圖3-33證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)?AB=AC，( (已知已知) )所以所以ABC是等腰三角形是等腰三角形.因?yàn)橐驗(yàn)锽AD=CAD，所以所以AD是等腰三角形是等腰三角形ABC的頂角平分線的頂角平分線.

3、從而從而 ADBC.( (等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的性質(zhì)定理) )于是于是 ODBC.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镺D是圓是圓O的半徑，的半徑，且且BC經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)D，所以直線所以直線BC是圓是圓O的切線的切線.( (切線的判定定理切線的判定定理) )1. 垂直于半徑的直線一定是圓的切線嗎？垂直于半徑的直線一定是圓的切線嗎？練習(xí)練習(xí)答：答：不一定不一定. 如圖如圖2. 經(jīng)過半徑外端的直線一定是圓經(jīng)過半徑外端的直線一定是圓 的切線嗎？的切線嗎？答：不一定，答：不一定，如圖如圖3. 已知：如圖已知：如圖3-34，直線，直線AB經(jīng)過圓經(jīng)過圓O上的上的 點(diǎn)點(diǎn)C，并且，并且OA=OB，AC=BC. 求證：直線求證

4、：直線AB是圓是圓O的切線的切線.答：連接答：連接OC，由由OAC OBC得得ACO=BCO=90，OCAB于于C.直線直線AB是圓是圓O的切線的切線 ( (切線的判定定理切線的判定定理) ). . 如圖如圖3-35，直線，直線l是圓是圓O的切線，切點(diǎn)的切線，切點(diǎn)為為A，圓，圓O的半徑為的半徑為r.探究探究（1）圓心）圓心O到切線到切線l的垂線段的長度等于什么？的垂線段的長度等于什么？ 圓心圓心O到切線到切線l的垂線段的垂線段的長度是圓心的長度是圓心O到切線到切線l的距的距離離d，從而它等于半徑，從而它等于半徑r.圖圖3-35r（2）由于圓心由于圓心O到切線到切線l的垂線段的長度等于的垂線段的

5、長度等于 半徑半徑OA的長度，且點(diǎn)的長度，且點(diǎn)A在切線在切線l上，因此上，因此 圓心圓心O到切線到切線l的垂線段就是的垂線段就是 .圓的半徑圓的半徑圖圖3-35r結(jié)論結(jié)論切線的性質(zhì)定理切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于過切點(diǎn)圓的切線垂直于過切點(diǎn) 的半徑的半徑.例例3 如圖如圖3-36，直線，直線l是圓是圓O的切線，切的切線，切 點(diǎn)為點(diǎn)為A，OBA=40，求，求AOB.舉舉例例解解 由于線段由于線段OA是過切點(diǎn)的半徑，是過切點(diǎn)的半徑，因此因此OAl，從而從而OAB=90，于是于是 AOB= 90- -OBA= 90- -40= 50.圖圖3-36例例4 求證：經(jīng)過直徑兩端點(diǎn)的切線互相平行求證：經(jīng)過直

6、徑兩端點(diǎn)的切線互相平行. 已知：如圖已知：如圖3-37，AB是圓是圓O的直徑，的直徑，l1， l2 分別是經(jīng)過點(diǎn)分別是經(jīng)過點(diǎn)A，B的切線的切線 求證：求證： .舉舉例例證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)镺A是圓是圓O的半徑，的半徑，l1是過點(diǎn)是過點(diǎn)A的切線，的切線，所以所以 l1 OA.( ( ) )同理同理 l2 OB.從而從而 l1 AB，且，且l2 AB.因此因此 l1 l2 .( ( ) )圖圖3-37l1l2切線性質(zhì)定理切線性質(zhì)定理 在同一平面內(nèi)，在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩條直線平行例例5 過圓過圓O上一點(diǎn)上一點(diǎn)A畫圓畫圓O的切線的切線.舉舉例例分析分析 過圓過

7、圓O上一點(diǎn)上一點(diǎn)A的切線的切線l與半徑與半徑OA有什有什 么關(guān)系？么關(guān)系？作法作法：（：（1）連結(jié)）連結(jié)OA；據(jù)切線的性質(zhì)定理，據(jù)切線的性質(zhì)定理，lOA，由此受到啟發(fā)，過點(diǎn)由此受到啟發(fā)，過點(diǎn)A作一條直線作一條直線l與與OA垂直，據(jù)切線的判定定理，垂直，據(jù)切線的判定定理，l就是圓就是圓O的的切線切線（2）過點(diǎn)）過點(diǎn)A作直線作直線l與與OA垂直垂直.直線直線l就是所求作的切線，就是所求作的切線，如圖如圖.Al1. 圖圖3-39是某手表的圓形表盤的示意圖，是某手表的圓形表盤的示意圖， 兩個(gè)圓的圓心都是兩個(gè)圓的圓心都是O，大圓的弦，大圓的弦AB所所 在直線是小圓的切線，切點(diǎn)為在直線是小圓的切線，切點(diǎn)為C. 求證：求證：C是線段是線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn).練習(xí)練習(xí)答：答：連接連接OA，OB，OC，則則OA=OB. AB是小圓的切線，是小圓的切線， OCAB. AC=BC.( (等腰三角形性質(zhì)定理等腰三角形性質(zhì)定理).).2. 證明：圓心到圓的割線的距離小于半徑證明：圓心到圓的割線的距離小于半徑.答：答：已知：如圖，已知：如圖， 直線直線PAB是圓是圓O的割線，的割線， OCPB，垂足為，垂足為C. 求證：求證：OCOB. 證明：證明：OC是垂線段，是垂線段， OCOB( (垂線段最短垂線段最短).).中考中考 試