新人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)-借助方程求解數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題匯編

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載借助方程求解數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題離不開數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于初一年級(jí)學(xué)生對(duì)這類問題的分析，不妨先明確以下幾個(gè)問題：1 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值，也即用右邊的數(shù)減去 左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)一左邊點(diǎn)表示的數(shù)。2.點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较?，因此向右運(yùn)動(dòng)的速度看作正速 度，而向作運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動(dòng) b 個(gè)單位后表示的數(shù)為 a b;向右運(yùn)動(dòng)b 個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。3 數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分

2、析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn) 動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。例 1 .已知數(shù)軸上有 A、B、C 三點(diǎn)，分別代表一 24, 10, 10,兩只電子螞蟻甲、乙 分別從 A、C 兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4 個(gè)單位/秒。問多少秒后，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位？若乙的速度為 6 個(gè)單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C 兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？在的條件下，當(dāng)甲到A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說明理由。分析：如圖 1,易求得 AB=14 , BC=20

3、, AC=34甲乙A BC-*-*- 4-4-24-100 W設(shè) x 秒后，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位。此時(shí)甲表示的數(shù)為一 24+4x。1甲在 AB 之間時(shí)，甲到 A、B 的距離和為 AB=14甲到 C 的距離為 10( 24+4x) =34 4x依題意，14+ ( 34 4x) =40,解得 x=22甲在 BC 之間時(shí)，甲到 B、C 的距離和為 BC=20，甲到 A 的距離為 4x依題意，20+4x) =40 ,解得 x=5即 2 秒或 5 秒，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位。是一個(gè)相向而行的相遇問題。設(shè)運(yùn)動(dòng)t 秒相遇。依題意有，4t+6t=34，解得 t=3.4

4、相遇點(diǎn)表示的數(shù)為一 24+4X3.4= 10.4 (或：10 6X3.4= 10.4)甲至 U A、B、C 的距離和為 40 個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C 的距離和為40 個(gè)單位時(shí)，即的位置有兩種情況，需分類討論。甲從 A 向右運(yùn)動(dòng) 2 秒時(shí)返回。設(shè) y 秒后與乙相遇。此時(shí)甲、乙表示在數(shù)軸上為同一 點(diǎn)，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：一24+4X2 4y ;乙表示的數(shù)為：106X2 6y學(xué)習(xí)必備歡迎下載依題意有，一 24+4X2 4y=10 6X2 6y，解得 y=7相遇點(diǎn)表示的數(shù)為：一 24+4X24y= 44 (或：106X2 6y= 44)甲從 A 向右運(yùn)動(dòng) 5 秒時(shí)返回。設(shè) y

5、 秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：一24+4X5 4y;乙表示的數(shù)為：10 6X5 6y依題意有，一 24+4X5 4y=10 6X5 6y，解得 y= 8 (不合題意，舍去)即甲從 A 點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng) 2 秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點(diǎn)表示的數(shù)為一44。點(diǎn)評(píng)：分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進(jìn)行分析。 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù)， 以起點(diǎn)所表示的數(shù)為基準(zhǔn)， 向右運(yùn)動(dòng)加上運(yùn)動(dòng)的距離， 即終點(diǎn)所表示的數(shù)； 向左運(yùn)動(dòng)減去運(yùn) 動(dòng)的距離，即終點(diǎn)所表示的數(shù)。例 2.如圖，已知 A、B 分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一 20, B 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100。too求 AB 中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的數(shù)；現(xiàn)有一只電

6、子螞蟻 P 從 B 點(diǎn)出發(fā)，以 6 個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子 螞蟻 Q 恰好從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 4 個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 C 點(diǎn) 相遇，求 C 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻 P 從 B 點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以 6 個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞 蟻 Q 恰好從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 4 個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 D 點(diǎn) 相遇，求 D 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。分析：設(shè) AB 中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 x，由 BM=MA所以 x( 20) =100 X,解得 x=40 即 AB 中點(diǎn) M 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 40易知數(shù)軸上兩點(diǎn) AB 距離，AB=140

7、，設(shè) PQ 相向而行 t 秒在 C 點(diǎn)相遇，依題意有，4t+6t=120 ,解得 t=12(或由 P、Q 運(yùn)動(dòng)到 C 所表示的數(shù)相同，得一 20+4t=100 6t，t=12)相遇 C 點(diǎn)表示的數(shù)為：一 20+4t=28 (或 1006t=28)設(shè)運(yùn)動(dòng) y 秒，P、Q 在 D 點(diǎn)相遇，則此時(shí) P 表示的數(shù)為 1006y，Q 表示的數(shù)為一 20 4y。P、Q 為同向而行的追及問題。依題意有，6y 4y=120，解得 y=60(或由 P、Q 運(yùn)動(dòng)到 C 所表示的數(shù)相同，得一 204y=100 6y，y=60)D 點(diǎn)表示的數(shù)為：一 20 4y= 260 (或 100 6y= 260)點(diǎn)評(píng)：熟悉數(shù)軸上

8、兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵。是一個(gè)相向而行的相遇問題；是一個(gè)同向而行的追及問題。在、中求出相遇或追及的時(shí)間是基礎(chǔ)。例 3 .已知數(shù)軸上兩點(diǎn) A、B 對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為一 1，3,點(diǎn) P 為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的 數(shù)為 X。學(xué)習(xí)必備歡迎下載若點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等，求點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的數(shù)；數(shù)軸上是否存在點(diǎn) P,使點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離之和為 5 ?若存在，請(qǐng)求出 x 的值。若不存在，請(qǐng)說明理由？當(dāng)點(diǎn) P 以每分鐘一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從 0 點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) A 以每分鐘 5 個(gè)單位長(zhǎng) 度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) B 一每分鐘 20 個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，問它們同時(shí)出發(fā)

9、，幾分鐘后P 點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn) B 的距離相等？分析：如圖，若點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等，P 為 AB 的中點(diǎn)，BP=PA。AE- *- -*-103依題意，3x=x ( 1)，解得 x=1由 AB=4，若存在點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離之和為 5，P 不可能在線段 AB 上，只能 在 A 點(diǎn)左側(cè)，或 B 點(diǎn)右側(cè)。1P 在點(diǎn) A 左側(cè)，PA= 1 x，PB=3x依題意，(一 1 x)+ ( 3 x)=5，解得 x= 1.52P 在點(diǎn) B 右側(cè)，PA=x ( 1) =x+1 , PB=x 3依題意，(x+1 ) + (x 3) =5，解得 x=3.5點(diǎn) P、點(diǎn) A、點(diǎn) B 同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)

10、，點(diǎn) B 的運(yùn)動(dòng)速度最快，點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度最慢。故 P 點(diǎn)總位于 A 點(diǎn)右側(cè)，B 可能追上并超過 A。P 到 A、B 的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運(yùn)動(dòng) t 分鐘，此時(shí) P 對(duì)應(yīng)的數(shù)為一 t, B 對(duì)應(yīng)的數(shù)為 3 20t, A 對(duì)應(yīng)的數(shù)為一 1 5t。1B 未追上 A 時(shí)，PA=PA，貝 U P 為 AB 中點(diǎn)。B 在 P 的右側(cè)，A 在 P 的左側(cè)。PA= t ( 1 5t) =1+4t, PB=3 20t ( t) =3 19t2依題意有，1+4t=3 19t，解得 t= U2B 追上 A 時(shí)，A、B 重合，此時(shí) PA=PB。A、B 表示同一個(gè)數(shù)。4_依題意有，一 1 5t=3 20t

11、，解得 t= j即運(yùn)動(dòng) 二或二分鐘時(shí)，P 到 A、B 的距離相等。點(diǎn)評(píng)：中先找出運(yùn)動(dòng)過程中 P、A、B 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩 點(diǎn)間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程。例 4.點(diǎn) A?、A3、An(n 為正整數(shù))都在數(shù)軸上，點(diǎn)Aj在原點(diǎn) 0 的左邊，且A10=1，點(diǎn) A2在點(diǎn) A1的右邊，且 A2A1=2，點(diǎn) A3在點(diǎn) A?的左邊，且 AsA2=3，點(diǎn) AA在點(diǎn) A3的右邊，且 AAA3=4 ,，依照上述規(guī)律點(diǎn)A2008、A2009所表示的數(shù)分別為()。A . 2008, 2009 B. 2008, 2009 C. 1004, 1005 D. 1004, 1004分析：如

12、圖,學(xué)習(xí)必備歡迎下載Ag血0 A2A4點(diǎn) Ai表示的數(shù)為一 1 ;點(diǎn) A2表示的數(shù)為一 1+2=1 ;點(diǎn) A3表示的數(shù)為一 1+2 3= 2;點(diǎn) A4表示的數(shù)為一 1+2 3+4=2 點(diǎn) A2008表示的數(shù)為一 1+2 3+42007+2008=1004點(diǎn) A2009表示的數(shù)為一 1+2 3+42007+2008 2009=1005點(diǎn)評(píng)：數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為 a,向左運(yùn)動(dòng) b 個(gè)單位后表示的數(shù)為 a b;向右運(yùn)動(dòng) b 個(gè)單位后所表示的數(shù)為 a+bo運(yùn)用這一特征探究變化規(guī)律時(shí)，要注意在循環(huán)往返運(yùn)動(dòng)過程中 的方向變化。練習(xí)題：1.已知數(shù)軸上 A、B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為一 2, 4, P 為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為xo若 P 為線段 AB 的三等分點(diǎn)，求 P 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在 P 點(diǎn)，使 P 點(diǎn)到 A、B 距離和為 10 ?若存在，求出 x 的值；若不存 在，請(qǐng)說明理由。若點(diǎn) A、點(diǎn) B 和 P 點(diǎn)（P 點(diǎn)在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)。它們的速度分別為1、2、1 個(gè)單位長(zhǎng)度/分鐘，則第幾分鐘時(shí) P 為 AB 的中點(diǎn)？（參考答案：0 或 2;一 4 或 6 :2）2電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn) K0,第一