勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系

1、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移圖2.3-1位移x對(duì)應(yīng)著矩形的面積做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間t內(nèi)的位移xvt 取運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻（t0）物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，這樣，物體從開始到時(shí)刻t所發(fā)生的位移等于這時(shí)的坐標(biāo)x，從開始到時(shí)刻t的時(shí)間間隔為t。在它的v-t圖象中（圖2.3-1），著色的矩形的邊長正好是v和t，矩形的面積正好是vt?？梢?，對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體的位移對(duì)應(yīng)著v-t圖象下面的面積。對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，它的位移與它的v-t圖象，是不是也有類似的關(guān)系？思考與討論一次課上，老師拿來了一位往屆同學(xué)所做的“探究小車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律”的測量記錄，表中“速度v”一行是這位同學(xué)用某種方法（方

2、法不詳）得到的物體在0，1，2，5幾個(gè)位置的瞬時(shí)速度。原始的紙帶沒有保存。位置編號(hào)012345時(shí)間t/s00.10.20.30.40.5速度v(ms-1)0.380.630.881.111.381.62以下是關(guān)于這個(gè)問題的討論。老 師：能不能根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最簡便的方法估算實(shí)驗(yàn)中小車從位置0到位置5的位移？學(xué)生A：能。可以用下面的方法估算：x0.38×0.10.63×0.10.88×0.11.11×0.11.38×0.1學(xué)生B：這個(gè)方法不好。從表中看出，小車的速度在不斷增加，0.38只是0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，以后的速度比這個(gè)數(shù)值大。用這個(gè)數(shù)值乘以

3、0.1 s，得到的位移要比實(shí)際位移小。后面的幾項(xiàng)也有同樣的問題。學(xué)生A：老師要求的是“估算”，這樣做是可以的。老師：你們兩個(gè)人說得都有道理。這樣做的確會(huì)帶來一定誤差，但在時(shí)間間隔比較小、精確程度要求比較低的時(shí)候，可以這樣估算。要提高估算的精確程度，可以有多種方法。其中一個(gè)方法請(qǐng)大家考慮：如果當(dāng)初實(shí)驗(yàn)時(shí)，時(shí)間間隔不是取0.1 s，而是取得更小些，比如0.06 s，同樣用這個(gè)方法計(jì)算，誤差是不是會(huì)小一些？如果取0.04 s，0.02 s，誤差會(huì)怎樣？歡迎大家發(fā)表意見。勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移按照上面討論中提出的思想，我們通過v-t圖象，研究以初速度v0，做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在時(shí)間t內(nèi)發(fā)生的位移。物

4、體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖2.3-2甲所示。圖2.3-2位移等于v-t直線下面的面積先把物體的運(yùn)動(dòng)分成幾個(gè)小段，例如t算一個(gè)小段，在v-t圖中，每小段起始時(shí)刻物體的瞬時(shí)速度由相應(yīng)的縱坐標(biāo)表示（圖2.3-2乙）。我們以每小段起始時(shí)刻的速度乘以時(shí)間t，近似地當(dāng)做各小段中物體的位移。在v-t圖中，各段位移可以用一個(gè)又窄又高的小的面積代表。5個(gè)小矩形的面積之和近似地代表物體在整個(gè)過程中的位移。當(dāng)然，上面的做法是粗糙的。為了精確一些，可以把運(yùn)動(dòng)過程劃分為更多的小段，如圖2.3-2丙，用所有這些小段的位移之和，近似代表物體在整個(gè)過程中的位移。從v-t圖象上看，就是用更多的但是更窄的小矩形的面積之和代表物體的位

5、移。可以想像，如果把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程劃分得非常非常細(xì)，很多很多小矩形的面積之和就能非常準(zhǔn)確地代表物體的位移了。這時(shí)，“很多很多”小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來了，這些小矩形合在一起成了一個(gè)梯形OABC。梯形OABC的面積就代表做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體從0（此時(shí)速度是v0）到t（此時(shí)速度是v）這段時(shí)間間隔的位移。請(qǐng)你復(fù)習(xí)：1怎樣計(jì)算梯形的面積？2圖2.3-2丁中，哪兩條線段是梯形的底，哪兩條是梯形的腰？在圖2.3-2丁中，CB斜線下梯形OABC的面積是S（OCAB）×OA把面積及各條線段換成所代表的物理量，上式變成x( v0v ) t把前面已經(jīng)得出的vv0at代入，得到xv0 tat2 這

6、就是表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系的公式 這一小節(jié)討論的前提是，計(jì)時(shí)開始（t0）時(shí)物體位于坐標(biāo)原點(diǎn)，所以在t時(shí)刻位移的大小等于這時(shí)刻物體的坐標(biāo)x。如果計(jì)時(shí)開始時(shí)物體位于坐標(biāo)為x0的位置，那么在t時(shí)刻位移的大小就是xx0，上面的公式就應(yīng)該寫為xx0v0tat2。如果初速度為0，這個(gè)公式簡化為xat2。例題圖2.3-3求汽車的初速度一輛汽車以1 m/s2的加速度加速行駛了12s，駛過了180 m。汽車開始加速時(shí)的速度是多少？分析我們研究的是汽車從開始加速到駛過180m這個(gè)過程。以開始加速的位置為原點(diǎn)，沿汽車前進(jìn)的方向建立坐標(biāo)軸（圖2.3-3）。過程結(jié)束時(shí)汽車的位移x180 m。由于汽車在加速行

7、駛，加速度的方向與速度方向一致，也沿坐標(biāo)軸的正方向，所以加速度取正號(hào)，即a1 m/s2。整個(gè)過程經(jīng)歷的時(shí)間是t12 s。汽車的運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，待求的量是這個(gè)過程的初速度v0。解由xv0tat2可以解出v0at把已知數(shù)值代入v0×1 m/s2×12 s9m/s汽車開始加速時(shí)的速度是9 m/s。一般應(yīng)該先用字母代表物理量進(jìn)行運(yùn)算，得出用已知量表達(dá)未知量的關(guān)系式，然后再把數(shù)值代入式中，求出未知量的值。這樣做能夠清楚地看出未知量與已知量的關(guān)系，計(jì)算也比較簡便。用圖象表示位移圖2.3-4機(jī)車運(yùn)動(dòng)的位移-時(shí)間圖象物體的位移也可以用圖象描述。例如，火車的機(jī)車在沿直線軌道移動(dòng)，圖2.

8、3-4描述了它對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的情況，這個(gè)圖象稱為位移一時(shí)間圖象（x-t圖象）。從圖象中可以看出，在t0到t2.5 min這段時(shí)間，位移在不斷增加，說明機(jī)車在遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)；而在t2.5 min和t3 min之間位移沒有變化，總是x80 m，說明這段時(shí)間里機(jī)車停在距出發(fā)點(diǎn)80 m的位置。這個(gè)圖象是用來描述機(jī)車運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，機(jī)車并不是沿著這樣的路線運(yùn)動(dòng)的。思考與討論運(yùn)用初中數(shù)學(xué)課中學(xué)過的函數(shù)圖象的知識(shí)，你能畫出初速度為0的勻變速直線運(yùn)動(dòng)xat2的x-t圖象的草圖嗎？如果一位同學(xué)問：“我們研究的是直線運(yùn)動(dòng)，為什么你畫出來的x-t圖象不是直線？”你應(yīng)該怎樣向他解釋？問題與練

9、習(xí)1A、A兩個(gè)物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度分別為v、v（vv），從計(jì)時(shí)開始到時(shí)刻t的位移分別為x、x。（1）寫出兩個(gè)物體的位移與時(shí)間的關(guān)系式。（2）在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)物體的速度-時(shí)間圖象的草圖。（3）在同一個(gè)坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)物體的位移-時(shí)間圖象的草圖。2以36 km/h速度行駛的列車開始下坡，在坡路上的加速度等于0.2 m/s2，經(jīng)過30 s到達(dá)坡底，求坡路的長度和列車到達(dá)坡底時(shí)的速度。3以18 m/s的速度行駛的汽車，制動(dòng)后做勻減速運(yùn)動(dòng)，在3s內(nèi)前進(jìn)36 m，求汽車的加速度。4速度、加速度的測量通常比位移的測量要復(fù)雜些，而有的時(shí)候我們只需比較兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的加速度，并不需要知道加速度的大小，例如比較兩輛汽車的加速性能就是這樣。如果已知兩個(gè)物體在相同時(shí)間內(nèi)從靜止開始運(yùn)動(dòng)的位移之比，怎樣根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律由此求出它們的加速度之比？圖2.3-5汽