常微分方程試卷A及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上鹽城師范學院考查試卷2014 - 2015 學年 第 一 學期數(shù)學科學學院 金融數(shù)學專業(yè)常微分方程試卷A班級 學號 姓名 一、單項選擇題（在每小題的4個備選答案中，選出一個最佳答案，共5小題；每小題3分，共15分）1. 方程不是 （ ）（A）齊次微分方程. （B）貝努利微分方程. （C）變量分離方程. （D）非線性微分方程.2. 微分方程滿足條件的解有 （ ）（A）1個. （B）2個. （C）3個. （D）無窮多個.3. 微分方程的基本解組的朗斯基行列式的值為 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.4. 微分方程的一個特解應具有形式 （ ）（A）. （B）. （

2、C）. （D）.5. 可以成為微分方程組的基解矩陣是 （ ）（A）. （B）. （C）. （D）.二、填空題（本大題5空 ,每空3分,共15分）1. 當_時，是微分方程的解.2. 微分方程有積分因子_.3. 微分方程與直線相切的解是_ _.4. 通解為的三階常系數(shù)齊線性微分方程為_.5. 證明微分方程組滿足初值條件的解的存在唯一性定理時所構(gòu)造的皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列為_。三、計算題（本大題共5小題,每小題10分,共50分）1. 設連續(xù)，且滿足，求.2. 利用解的存在唯一性定理確定初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解,.3. 解方程 . 4 求解方程.5 解方程組 四、應用題（本大題共1題

3、，共10分）求一曲線，使其具有性質(zhì)：曲線上每一點處的切線，切點到原點的向徑以及軸圍成一個等腰三角形(以軸為底)，且通過點(1，2).五、證明題（本大題共1題，共10分）設為常數(shù)矩陣,為微分方程組的定義在上的標準基解矩陣,所謂標準是指還滿足，試證明: ,有，其中為某一確定的值.鹽城師范學院20142015學年第一學期期末考查常微分方程試卷A參考答案及評分標準一、單項選擇題(本大題共5題，每題3分，共15分)題 號12345答 案CDAAB二、填空題(本大題共5空，每空3分，共15分) 1. 2； 2. ；3. ; 4. ； 5. , .三、計算題（本大題共5題，每題10分，共50分）1解: 所給

4、積分方程兩邊關于求導,得 , (4分)由積分方程還可以得到.上述方程為一階線性微分方程,它的通解為 , (8分)由，故. (10分)1 解: 這里. 由解的存在唯一性定理知該初值問題的解的存在區(qū)間為。 (5分)我們可以作如下的近似解表達式： (10分)3解: 令直接計算可得，代入原方程,得, (4分) 即，由后一方程積分后得 , 即.(8分)由, 而當. 于是, (10分)4解: 所給方程的特征方程為，解之得特征根為.(3分)因是特征根,所以可設特解為 , (5分)求導得 ， .代入所給方程得 .比較系數(shù)得 ，則特解為. (7分)于是原方程通解為 . (10分)5解：所給方程組的特征方程為 .

5、解之得特征根為，. (3分) 解方程組得與對應的特征向量為;解方程組得與對應的特征向量為;解方程組得與對應的特征向量為. (9分)于是所求方程組的通解為 (10分)四、應用題（本大題共1題，共10分）解：設所求曲線方程為，為其上的任一點，則過該點曲線的切線方程為， (3分)它與x軸的交點的坐標為，由題意有 ,即.因所求曲線經(jīng)過點(1,2), 顯然不合題意, 事實上,曲線上過點(1,2)處的切線為和點(1,2)處的向徑所在的直線重合, 這與題設相矛盾. 所以有 ， （7分）它的通解為，將條件代入得所求曲線方程為。 （10分）五、證明題（本大題共1題，共10分）證明: 因為為所給方程組的解,所以,有 , 又矩陣為常數(shù)矩陣,所以,