100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問(wèn)題

1、第01題 阿基米德分牛問(wèn)題Archimedes Problema Bovinum 太陽(yáng)神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成.在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的1/4+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1/7.在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+1/4；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)1/4+1/5；花牛數(shù)是全體棕牛數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7.問(wèn)這牛群是怎樣組成的？ 第02題 德梅齊里亞克的法碼問(wèn)題The Weight Problem of Bachet de Meziri

2、ac 一位商人有一個(gè)40磅的砝碼，由于跌落在地而碎成4塊.后來(lái)，稱(chēng)得每塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來(lái)稱(chēng)從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物.問(wèn)這4塊砝碼碎片各重多少？第03題 牛頓的草地與母牛問(wèn)題Newtons Problem of the Fields and Cows a頭母牛將b塊地上的牧草在c天內(nèi)吃完了；a頭母牛將b塊地上的牧草在c天內(nèi)吃完了；a頭母牛將b塊地上的牧草在c天內(nèi)吃完了；求出從a到c9個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系？第04題 貝韋克的七個(gè)7的問(wèn)題Berwicks Problem of the Seven Sevens 在下面除法例題中，被除數(shù)被除數(shù)除盡：* * 7 * * *

3、* * * * * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * 7 * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * *用星號(hào)（*）標(biāo)出的那些數(shù)位上的數(shù)字偶然被擦掉了，那些不見(jiàn)了的是些什么數(shù)字呢？第05題 柯克曼的女學(xué)生問(wèn)題Kirkmans Schoolgirl Problem 某寄宿學(xué)校有十五名女生，她們經(jīng)常每天三人一行地散步，問(wèn)要怎樣安排才能使每個(gè)女生同其他每個(gè)女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06題 伯努利-歐拉關(guān)于裝錯(cuò)信封的問(wèn)題The Bernou

4、lli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n個(gè)元素的排列，要求在排列中沒(méi)有一個(gè)元素處于它應(yīng)當(dāng)占有的位置.第07題 歐拉關(guān)于多邊形的剖分問(wèn)題Eulers Problem of Polygon Division 可以有多少種方法用對(duì)角線(xiàn)把一個(gè)n邊多邊形（平面凸多邊形）剖分成三角形？第08題 魯卡斯的配偶夫婦問(wèn)題Lucas Problem of the Married Couples n對(duì)夫婦圍圓桌而坐，其座次是兩個(gè)婦人之間坐一個(gè)男人，而沒(méi)有一個(gè)男人和自己的妻子并坐，問(wèn)有多少種坐法？第09題 卡亞姆的二項(xiàng)展開(kāi)式Omar Khayyams Binomi

5、al Expansion 當(dāng)n是任意正整數(shù)時(shí)，求以a和b的冪表示的二項(xiàng)式a+b的n次冪.第10題 柯西的平均值定理Cauchys Mean Theorem 求證n個(gè)正數(shù)的幾何平均值不大于這些數(shù)的算術(shù)平均值.第11題 伯努利冪之和的問(wèn)題Bernoullis Power Sum Problem 確定指數(shù)p為正整數(shù)時(shí)最初n個(gè)自然數(shù)的p次冪的和S=1p+2p+3p+np.第12題 歐拉數(shù)The Euler Number 求函數(shù)(x)=(1+1/x)x及(x)=(1+1/x)x+1當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)的極限值.第13題 牛頓指數(shù)級(jí)數(shù)Newtons Exponential Series 將指數(shù)函數(shù)ex變換成各項(xiàng)

6、為x的冪的級(jí)數(shù).第14題 麥凱特爾對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)Nicolaus Mercators Logarithmic Series 不用對(duì)數(shù)表，計(jì)算一個(gè)給定數(shù)的對(duì)數(shù).第15題 牛頓正弦及余弦級(jí)數(shù)Newtons Sine and Cosine Series 不用查表計(jì)算已知角的正弦及余弦三角函數(shù).第16題 正割與正切級(jí)數(shù)的安德烈推導(dǎo)法Andres Derivation of the Secant and Tangent Series 在n個(gè)數(shù)1，2，3，,n的一個(gè)排列c1，c2，cn中，如果沒(méi)有一個(gè)元素ci的值介于兩個(gè)鄰近的值ci-1和ci+1之間，則稱(chēng)c1，c2，cn為1，2，3，,n的一個(gè)屈折排列. 試?yán)?/p>

7、用屈折排列推導(dǎo)正割與正切的級(jí)數(shù).第17題 格雷戈里的反正切級(jí)數(shù)Gregorys Arc Tangent Series 已知三條邊，不用查表求三角形的各角.第18題 德布封的針問(wèn)題Buffons Needle Problem 在臺(tái)面上畫(huà)出一組間距為d的平行線(xiàn)，把長(zhǎng)度為l（小于d）的一根針任意投擲在臺(tái)面上，問(wèn)針觸及兩平行線(xiàn)之一的概率如何？第19題 費(fèi)馬-歐拉素?cái)?shù)定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem 每個(gè)可表示為4n+1形式的素?cái)?shù)，只能用一種兩數(shù)平方和的形式來(lái)表示.第20題 費(fèi)馬方程The Fermat Equation 求方程x2dy2=1的整數(shù)解，其中d

8、為非二次正整數(shù).第21題 費(fèi)馬-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem 證明兩個(gè)立方數(shù)的和不可能為一立方數(shù).第22題 二次互反律The Quadratic Reciprocity Law （歐拉-勒讓德-高斯定理）奇素?cái)?shù)p與q的勒讓德互反符號(hào)取決于公式（p/q）（q/p）=（1）(p-1)/2(q-1)/2.第23題 高斯的代數(shù)基本定理Gauss Fundamental Theorem of Algebra 每一個(gè)n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+cn=0具有n個(gè)根.第24題 斯圖謨的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題Sturms Problem of

9、 the Number of Roots 求實(shí)系數(shù)代數(shù)方程在已知區(qū)間上的實(shí)根的個(gè)數(shù).第25題 阿貝爾不可能性定理Abels Impossibility Theorem 高于四次的方程一般不可能有代數(shù)解法.第26題 赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 系數(shù)A不等于零，指數(shù)為互不相等的代數(shù)數(shù)的表達(dá)式A1e1+A2e2+A3e3+不可能等于零.第27題 歐拉直線(xiàn)Eulers Straight Line 在所有三角形中，外接圓的圓心，各中線(xiàn)的交點(diǎn)和各高的交點(diǎn)在一直線(xiàn)歐拉線(xiàn)上，而且三點(diǎn)的分隔為：各高線(xiàn)的交點(diǎn)（垂心）至各中線(xiàn)的交點(diǎn)（

10、重心）的距離兩倍于外接圓的圓心至各中線(xiàn)的交點(diǎn)的距離.第28題 費(fèi)爾巴哈圓The Feuerbach Circle 三角形中三邊的三個(gè)中點(diǎn)、三個(gè)高的垂足和高的交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的線(xiàn)段的三個(gè)中點(diǎn)在一個(gè)圓上.第29題 卡斯蒂朗問(wèn)題Castillons Problem 將各邊通過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)的一個(gè)三角形內(nèi)接于一個(gè)已知圓.第30題 馬爾法蒂問(wèn)題Malfattis Problem 在一個(gè)已知三角形內(nèi)畫(huà)三個(gè)圓，每個(gè)圓與其他兩個(gè)圓以及三角形的兩邊相切.第31題 蒙日問(wèn)題Monges Problem 畫(huà)一個(gè)圓，使其與三已知圓正交.第32題 阿波洛尼斯相切問(wèn)題The Tangency Problem of Apollon

11、ius. 畫(huà)一個(gè)與三個(gè)已知圓相切的圓.第33題 馬索若尼圓規(guī)問(wèn)題Macheronis Compass Problem. 證明任何可用圓規(guī)和直尺所作的圖均可只用圓規(guī)作出.第34題 斯坦納直尺問(wèn)題Steiners Straight-edge Problem 證明任何一個(gè)可以用圓規(guī)和直尺作出的圖，如果在平面內(nèi)給出一個(gè)定圓，只用直尺便可作出.第35題 德里安倍立方問(wèn)題The Deliaii Cube-doubling Problem 畫(huà)出體積為一已知立方體兩倍的立方體的一邊.第36題 三等分一個(gè)角Trisection of an Angle 把一個(gè)角分成三個(gè)相等的角.第37題 正十七邊形The Reg

12、ular Heptadecagon 畫(huà)一正十七邊形.第38題 阿基米德值確定法Archimedes Determination of the Number Pi 設(shè)圓的外切和內(nèi)接正2vn邊形的周長(zhǎng)分別為av和bv，便依次得到多邊形周長(zhǎng)的阿基米德數(shù)列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，其中av+1是av、bv的調(diào)和中項(xiàng)，bv+1是bv、av+1的等比中項(xiàng). 假如已知初始兩項(xiàng)，利用這個(gè)規(guī)則便能計(jì)算出數(shù)列的所有項(xiàng). 這個(gè)方法叫作阿基米德算法.第39題 富斯弦切四邊形問(wèn)題Fuss Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral 找出半徑與雙心四邊形的外接圓和內(nèi)切

13、圓連心線(xiàn)之間的關(guān)系.（注：一個(gè)雙心或弦切四邊形的定義是既內(nèi)接于一個(gè)圓而同時(shí)又外切于另一個(gè)圓的四邊形）第40題 測(cè)量附題Annex to a Survey 利用已知點(diǎn)的方位來(lái)確定地球表面未知但可到達(dá)的點(diǎn)的位置.第41題 阿爾哈森彈子問(wèn)題Alhazens Billiard Problem 在一個(gè)已知圓內(nèi)，作出一個(gè)其兩腰通過(guò)圓內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)的等腰三角形.第42題 由共軛半徑作橢圓An Ellipse from Conjugate Radii 已知兩個(gè)共軛半徑的大小和位置，作橢圓.第43題 在平行四邊形內(nèi)作橢圓An Ellipse in a Parallelogram, 在規(guī)定的平行四邊形內(nèi)作一內(nèi)切橢圓

14、，它與該平行四邊形切于一邊界點(diǎn).第44題 由四條切線(xiàn)作拋物線(xiàn)A Parabola from Four Tangents 已知拋物線(xiàn)的四條切線(xiàn)，作拋物線(xiàn).第45題 由四點(diǎn)作拋物線(xiàn)A Parabola from Four Points. 過(guò)四個(gè)已知點(diǎn)作拋物線(xiàn).第46題 由四點(diǎn)作雙曲線(xiàn)A Hyperbola from Four Points. 已知直角（等軸）雙曲線(xiàn)上四點(diǎn)，作出這條雙曲線(xiàn).第47題 范施古登軌跡題Van Schootens Locus Problem 平面上的固定三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)沿平面上一個(gè)角的兩個(gè)邊滑動(dòng)，第三個(gè)頂點(diǎn)的軌跡是什么？第48題 卡丹旋輪問(wèn)題Cardans Spur Whe

15、el Problem. 一個(gè)圓盤(pán)沿著半徑為其兩倍的另一個(gè)圓盤(pán)的內(nèi)緣滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)圓盤(pán)上標(biāo)定的一點(diǎn)所描出的軌跡是什么？第49題 牛頓橢圓問(wèn)題Newtons Ellipse Problem. 確定內(nèi)切于一個(gè)已知（凸）四邊形的所有橢圓的中心的軌跡.第50題 彭賽列-布里昂匈雙曲線(xiàn)問(wèn)題The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 確定內(nèi)接于直角（等邊）雙曲線(xiàn)的所有三角形的頂垂線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡.第51題 作為包絡(luò)的拋物線(xiàn)A Parabola as Envelope 從角的頂點(diǎn)，在角的一條邊上連續(xù)n次截取任意線(xiàn)段e，在另一條邊上連續(xù)n次截取線(xiàn)段f，并將線(xiàn)段的端點(diǎn)注以數(shù)字，從頂

16、點(diǎn)開(kāi)始，分別為0，1，2，n和n，n1，2，1，0.求證具有相同數(shù)字的點(diǎn)的連線(xiàn)的包絡(luò)為一條拋物線(xiàn).第52題 星形線(xiàn)The Astroid 直線(xiàn)上兩個(gè)標(biāo)定的點(diǎn)沿著兩條固定的互相垂直的軸滑動(dòng)，求這條直線(xiàn)的包絡(luò).第53題 斯坦納的三點(diǎn)內(nèi)擺線(xiàn)Steiners Three-pointed Hypocycloid 確定一個(gè)三角形的華萊士（Wallace）線(xiàn)的包絡(luò).第54題 一個(gè)四邊形的最接近圓的外接橢圓The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral 一個(gè)已知四邊形的所有外接橢圓中，哪一個(gè)與圓的偏差最??？第55題 圓錐曲線(xiàn)的曲率

17、The Curvature of Conic Sections 確定一個(gè)圓錐曲線(xiàn)的曲率.第56題 阿基米德對(duì)拋物線(xiàn)面積的推算Archimedes Squaring of a Parabola 確定包含在拋物線(xiàn)內(nèi)的面積.第57題 推算雙曲線(xiàn)的面積Squaring a Hyperbola 確定雙曲線(xiàn)被截得的部分所含的面積.第58題 求拋物線(xiàn)的長(zhǎng)Rectification of a Parabola 確定拋物線(xiàn)弧的長(zhǎng)度.第59題 笛沙格同調(diào)定理（同調(diào)三角形定理）Desargues Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 如果兩個(gè)三角形的對(duì)

18、應(yīng)頂點(diǎn)連線(xiàn)通過(guò)一點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線(xiàn)上.反之，如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線(xiàn)上，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線(xiàn)通過(guò)一點(diǎn).第60題 斯坦納的二重元素作圖法Steiners Double Element Construction 由三對(duì)對(duì)應(yīng)元素所給定的重迭射影形，作出它的二重元素.第61題 帕斯卡六邊形定理Pascals Hexagon Theorem 求證內(nèi)接于圓錐曲線(xiàn)的六邊形中，三雙對(duì)邊的交點(diǎn)在一直線(xiàn)上.第62題 布里昂匈六線(xiàn)形定理Brianchons Hexagram Theorem 求證外切于圓錐曲線(xiàn)的六線(xiàn)形中，三條對(duì)頂線(xiàn)通過(guò)一點(diǎn).第63題 笛沙格對(duì)合定理Des

19、argues Involution Theorem 一條直線(xiàn)與一個(gè)完全四點(diǎn)形*的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)與外接于該四點(diǎn)形的圓錐曲線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)對(duì)合的四個(gè)點(diǎn)偶. 一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)完全四線(xiàn)形*的三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)和從該點(diǎn)向內(nèi)切于該四線(xiàn)形的圓錐曲線(xiàn)所引的切線(xiàn)構(gòu)成一個(gè)對(duì)合的四個(gè)射線(xiàn)偶.*一個(gè)完全四點(diǎn)形（四線(xiàn)形）實(shí)際上含有四點(diǎn)（線(xiàn)）1，2，3，4和它們的六條連線(xiàn)交點(diǎn)23，14，31，24，12，34；其中23與14、31與24、12與34稱(chēng)為對(duì)邊（對(duì)頂點(diǎn)）.第64題 由五個(gè)元素得到的圓錐曲線(xiàn)A Conic Section from Five Elements 求作一個(gè)圓錐曲線(xiàn)，它的五個(gè)元素點(diǎn)和切線(xiàn)是已知的.第65題 一條圓

20、錐曲線(xiàn)和一條直線(xiàn)A Conic Section and a Straight Line 一條已知直線(xiàn)與一條具有五個(gè)已知元素點(diǎn)和切線(xiàn)的圓錐曲線(xiàn)相交，求作它們的交點(diǎn).第66題 一條圓錐曲線(xiàn)和一定點(diǎn)A Conic Section and a Point 已知一點(diǎn)及一條具有五個(gè)已知元素點(diǎn)和切線(xiàn)的圓錐曲線(xiàn)，作出從該點(diǎn)列到該曲線(xiàn)的切線(xiàn).第67題 斯坦納的用平面分割空間Steiners Division of Space by Planes n個(gè)平面最多可將整個(gè)空間分割成多少份？第68題 歐拉四面體問(wèn)題Eulers Tetrahedron Problem 以六條棱表示四面體的體積.第69題 偏斜直線(xiàn)之間的最

21、短距離The Shortest Distance Between Skew Lines 計(jì)算兩條已知偏斜直線(xiàn)之間的角和距離.第70題 四面體的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 確定一個(gè)已知所有六條棱的四面體的外接球的半徑.第71題 五種正則體The Five Regular Solids 將一個(gè)球面分成全等的球面正多邊形.第72題 正方形作為四邊形的一個(gè)映象The Square as an Image of a Quadrilateral 證明每個(gè)四邊形都可以看作是一個(gè)正方形的透視映象.第73題 波爾凱-許瓦爾茲定理The Pohlke-Sc

22、hwartz Theorem 一個(gè)平面上不全在同一條直線(xiàn)上的四個(gè)任意點(diǎn)，可認(rèn)為是與一個(gè)已知四面體相似的四面體的各隅角的斜映射.第74題 高斯軸測(cè)法基本定理Gauss Fundamental Theorem of Axonometry 正軸測(cè)法的高斯基本定理：如果在一個(gè)三面角的正投影中，把映象平面作為復(fù)平面，三面角頂點(diǎn)的投影作為零點(diǎn)，邊的各端點(diǎn)的投影作為平面的復(fù)數(shù)，那么這些數(shù)的平方和等于零.第75題 希帕查斯球極平面射影Hipparchus Stereographic Projection 試舉出一種把地球上的圓轉(zhuǎn)換為地圖上圓的保形地圖射影法.第76題 麥卡托投影The Mercator Pro

23、jection 畫(huà)一個(gè)保形地理地圖，其坐標(biāo)方格是由直角方格組成的.第77題 航海斜駛線(xiàn)問(wèn)題The Problem of the Loxodrome 確定地球表面兩點(diǎn)間斜駛線(xiàn)的經(jīng)度.第78題 海上船位置的確定Determining the Position of a Ship at Sea 利用天文經(jīng)線(xiàn)推算法確定船在海上的位置.第79題 高斯雙高度問(wèn)題Gauss Two-Altitude Problem 根據(jù)已知兩星球的高度以確定時(shí)間及位置.第80題 高斯三高度問(wèn)題Gauss Three-Altitude Problem 從在已知三星球獲得同高度瞬間的時(shí)間間隔，確定觀(guān)察瞬間，觀(guān)察點(diǎn)的緯度及星球的

24、高度.第81題 刻卜勒方程The Kepler Equation 根據(jù)行星的平均近點(diǎn)角，計(jì)算偏心及真近點(diǎn)角.第82題 星落Star Setting 對(duì)給定地點(diǎn)和日期，計(jì)算一已知星落的時(shí)間和方位角.第83題 日晷問(wèn)題The Problem of the Sundial 制作一個(gè)日晷.第84題 日影曲線(xiàn)The Shadow Curve 當(dāng)直桿置于緯度的地點(diǎn)及該日太陽(yáng)的赤緯有值時(shí)，確定在一天過(guò)程中由桿的一點(diǎn)投影所描繪的曲線(xiàn).第85題 日食和月食Solar and Lunar Eclipses 如果對(duì)于充分接近日食時(shí)間的兩個(gè)瞬間太陽(yáng)和月亮的赤經(jīng)、赤緯以及其半徑均為已知，確定日食的開(kāi)始和結(jié)束，以及太陽(yáng)表

25、面被隱蔽部分的最大值.第86題 恒星及會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期Sidereal and Synodic Revolution Periods 確定已知恒星運(yùn)轉(zhuǎn)周期的兩共面旋轉(zhuǎn)射線(xiàn)的會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期.第87題 行星的順向和逆向運(yùn)動(dòng)Progressive and Retrograde Motion of Planets 行星什么時(shí)候從順向轉(zhuǎn)為逆向運(yùn)動(dòng)（或反過(guò)來(lái)，從逆向轉(zhuǎn)為順向運(yùn)動(dòng)）？第88題 蘭伯特慧星問(wèn)題Lamberts Comet Prolem 借助焦半徑及連接弧端點(diǎn)的弦，來(lái)表示慧星描繪拋物線(xiàn)軌道的一段弧所需的時(shí)間.第89題 與歐拉數(shù)有關(guān)的斯坦納問(wèn)題Steiners Problem Concerning the Euler Number 如果x為正變數(shù)，x取何值時(shí)，x的x次方根為最大？第90