數(shù)學(xué)思維_百度文庫(kù)

1、二、解密數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是指從理解問(wèn)題開(kāi)始，經(jīng)過(guò)探索思路，轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題，進(jìn)行回顧的全過(guò)程的思維活動(dòng)。對(duì)于數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程，G . 波利亞提出了四個(gè)階段*（見(jiàn)附錄），即弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段思維過(guò)程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個(gè)字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。第一階段：理解問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的開(kāi)始。第二階段：轉(zhuǎn)換問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是思維策略的選擇和調(diào)整過(guò)程。 第三階段：計(jì)劃實(shí)施是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過(guò)程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成

2、部分。第四階段：反思問(wèn)題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開(kāi)始。數(shù)學(xué)解題的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，即把面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過(guò)對(duì)新題的考察，發(fā)現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的。基于這樣的認(rèn)識(shí)，常用的解題策略有：熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。一、 熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒(méi)有接觸過(guò)的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過(guò)的或

3、比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來(lái)分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問(wèn)題）兩個(gè)方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的途徑有：（一）、充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型：按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問(wèn)題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問(wèn)題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問(wèn)題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問(wèn)題。（二）、全方位、多角度分析題意：對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常常可以不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，根據(jù)自己

4、的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問(wèn)題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。（三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素：數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問(wèn)題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問(wèn)題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見(jiàn)的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。二、簡(jiǎn)單化策略所謂簡(jiǎn)單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化

5、為一道或幾道比較簡(jiǎn)單、易于解答的新題，以便通過(guò)對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡(jiǎn)馭繁，解出原題。簡(jiǎn)單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說(shuō)來(lái)，我們對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。解題中，實(shí)施簡(jiǎn)單化策略的途徑是多方面的，常用的有: 尋求中間環(huán)節(jié)，分類(lèi)考察討論，簡(jiǎn)化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。1、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡(jiǎn)單的基本題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)

6、題簡(jiǎn)單化的一條重要途徑。2、分類(lèi)考察討論：在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問(wèn)題）包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)標(biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡(jiǎn)單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。3、簡(jiǎn)單化已知條件：有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡(jiǎn)化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開(kāi)不顧，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題。這樣簡(jiǎn)單化了的問(wèn)題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。4、恰當(dāng)分解結(jié)論：有些問(wèn)題，解題的主要困難，來(lái)自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來(lái)，這時(shí)，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。三、直觀化策略：所

7、謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問(wèn)題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對(duì)象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。（一）、圖表直觀：有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。對(duì)于這類(lèi)題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對(duì)具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。（二）、圖形直觀：有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治觯貙捊忸}思

8、路，找出簡(jiǎn)捷、合理的解題途徑。（三）、圖象直觀：不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡(jiǎn)馭繁，獲取簡(jiǎn)便，巧妙的解法。四、特殊化策略所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡(jiǎn)單的特殊問(wèn)題，以便從特殊問(wèn)題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。五、一般化策略所謂一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問(wèn)題時(shí)，要設(shè)法把特殊問(wèn)題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題。六、整體化策略所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨

9、的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問(wèn)題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問(wèn)題的途徑和辦法。七、間接化策略所謂間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場(chǎng)合甚至找不到解題依據(jù)的題目時(shí)，要隨時(shí)改變思維方向，從結(jié)論（或問(wèn)題）的反面進(jìn)行思考，以便化難為易解出原題。數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是指從理解問(wèn)題開(kāi)始，從經(jīng)過(guò)探索思路，轉(zhuǎn)換問(wèn)題直至解決問(wèn)題，進(jìn)行回顧的全過(guò)程的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)中，通?？蓪⒔忸}過(guò)程分為四個(gè)階段：第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中

10、的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識(shí)信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識(shí)上的準(zhǔn)備。第二階段是尋求解題途徑。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類(lèi)型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃。 第三階段是實(shí)施計(jì)劃。將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過(guò)與已知條件所選擇的根據(jù)作對(duì)比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^(guò)程的方法，并且書(shū)寫(xiě)解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。探討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識(shí)。將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的

11、開(kāi)始。第二階段的轉(zhuǎn)換問(wèn)題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是思維策略的選擇和調(diào)整過(guò)程。第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過(guò)程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。第四階段的反思問(wèn)題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開(kāi)始。通過(guò)以下探索途徑來(lái)提高解題能力：（1） 研究問(wèn)題的條件時(shí)，在需要與可能的情況下，可畫(huà)出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因?yàn)檫@意味著你對(duì)題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解。（2） 清晰地理解情境中的各個(gè)元素；一定要弄清楚其中哪些元

12、素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。（3） 深入地分析并思考習(xí)題敘述中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有重要發(fā)現(xiàn)。（4） 盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過(guò)類(lèi)似題目。（5） 仔細(xì)考慮題意是否有其他不同理解。題目的條件有無(wú)多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？（6） 認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。通過(guò)目標(biāo)找出哪些理論的法則同題目或其他元素有聯(lián)系。（7） 如果在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學(xué)方法，就盡可能用這種方法的語(yǔ)言表示題的元素，以利于解題思路的展

13、開(kāi)。以上途徑特別有利于開(kāi)始解題者能迅速“登堂入室”，找到解題的起步點(diǎn)。在制定計(jì)劃尋求解法階段，最好利用下面這套探索方法：（1） 設(shè)法將題目與你會(huì)解的某一類(lèi)題聯(lián)系起來(lái)。或者盡可能找出你熟悉的、最符合已知條件的解題方法。（2） 記住：題的目標(biāo)是尋求解答的主要方向。在仔細(xì)分析目標(biāo)時(shí)即可嘗試能否用你熟悉的方法去解題。（3） 解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問(wèn)題的條件、結(jié)論作比較。用這種辦法檢查解題途徑是否合理，以便及時(shí)進(jìn)行修正或調(diào)整。（4） 嘗試能否局部地改變題目，換種方法敘述條件，故意簡(jiǎn)化題的條件（也就是編擬條件簡(jiǎn)化了的同類(lèi)題）再求其解。再試試能否擴(kuò)大題目條件（編一個(gè)更一般的題目），并將與題有關(guān)的概念

14、用它的定義加以替代。（5） 分解條件，盡可能將分成部分重新組合，擴(kuò)大騍條件的理解。（6） 嘗試將題分解成一串輔助問(wèn)題，依次解答這些輔助問(wèn)題即可構(gòu)成所給題目的解。（7） 研究題的某些部分的極限情況，考察這樣會(huì)對(duì)基本目標(biāo)產(chǎn)生什么影響。（8） 改變題的一部分，看對(duì)其他部分有何影響；依據(jù)上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果，嘗試能否對(duì)題的目標(biāo)作出一個(gè)“展望”。（9） 萬(wàn)一用盡方法還是解不出來(lái)，你就從課本中或科普數(shù)學(xué)小冊(cè)子中找一個(gè)同類(lèi)題，研究分析其現(xiàn)成答案，從中找出解題的有益啟示。* 附錄：波利亞給出了詳細(xì)的“怎樣解題”表，在這張表中啟發(fā)你找到解題途徑的一連串問(wèn)句與建議，來(lái)表示思維過(guò)程的正確搜索程

15、序，其解題思想的核心在于不斷地變換問(wèn)題，連續(xù)地簡(jiǎn)化問(wèn)題，把數(shù)學(xué)解題看成為問(wèn)題化歸的過(guò)程，即最終歸結(jié)為熟悉的基本問(wèn)題加以解決。怎樣解題 G . 波 利 亞第一：你必須弄清問(wèn)題弄清問(wèn)題：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把條件的各部分分開(kāi)。你能否把它們寫(xiě)下來(lái)？第二：找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題，你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。擬訂計(jì)劃：你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？看著未知數(shù)

16、！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類(lèi)比的問(wèn)題？你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如

17、果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念？第三：實(shí)現(xiàn)你的計(jì)劃 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃：實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。你能否清楚地看出這一步驟是否正確的？你能否證明這一步驟是正確的？第四：驗(yàn)證所得的解回顧：你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出來(lái)？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其它的問(wèn)題？數(shù)學(xué)解題方法一、換元法“換元”的思想和方法，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，靈活運(yùn)用換元法解題，有助于數(shù)量關(guān)系明朗化，變繁為簡(jiǎn)，化難為易，給出簡(jiǎn)便、巧妙的解答。在解題過(guò)

18、程中，把題中某一式子如f(x，作為新的變量y或者把題中某一變量如x，用新變量t的式子如g(t替換，即通過(guò)令f(x=y或x=g(t進(jìn)行變量代換，得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單便于求解的新解題方法，通常稱(chēng)為換元法或變量代換法。用換元法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，選擇能以簡(jiǎn)馭繁，化難為易的代換f(x=y或x=g(t。就換元的具體形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數(shù)式代換，對(duì)數(shù)式代換，三角式代換，反三角式代換，復(fù)變量代換等，宜在解題實(shí)踐中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，掌握有關(guān)的技巧。例如，用于求解代數(shù)問(wèn)題的三角代換，在具體設(shè)計(jì)時(shí)，宜遵循以下原則：（1）全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關(guān)的公式、性質(zhì)；（2）

19、力求減少變量的個(gè)數(shù)，使問(wèn)題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化；（3）便于借助已知三角公式，建立變量間的內(nèi)在聯(lián)系。只有全面考慮以上原則，才能謀取恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q。換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在多項(xiàng)式的因式分解，代數(shù)式的化簡(jiǎn)計(jì)算，恒等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數(shù)表達(dá)式、定義域、值域或最值的推求，以及解析幾何中的坐標(biāo)替換，普通方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等問(wèn)題中，都有著廣泛的應(yīng)用。二、消元法對(duì)于含有多個(gè)變數(shù)的問(wèn)題，有時(shí)可以利用題設(shè)條件和某些已知恒等式（代數(shù)恒等式或三角恒等式），通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，消去一部分變?shù)，使問(wèn)題得以解決，這種解題方法，通常稱(chēng)為消元法，又稱(chēng)消去法。消元法

20、是解方程組的基本方法，在推證條件等式和把參數(shù)方程化成普通方程等問(wèn)題中，也有著重要的應(yīng)用。用消元法解題，具有較強(qiáng)的技巧性，常常需要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活選擇合適的消元方法。三、待定系數(shù)法按照一定規(guī)律，先寫(xiě)出問(wèn)題的解的形式（一般是指一個(gè)算式、表達(dá)式或方程），其中含有若干尚待確定的未知系數(shù)的值，從而得到問(wèn)題的解。這種解題方法，通常稱(chēng)為待定系數(shù)法；其中尚待確定的未知系數(shù)，稱(chēng)為待定系數(shù)。確定待定系數(shù)的值，有兩種常用方法：比較系數(shù)法和特殊值法。（一）比較系數(shù)法比較系數(shù)法，是指通過(guò)比較恒等式兩邊多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得到關(guān)于待定系數(shù)的若干關(guān)系式（通常是多元方程組），由此求得待定系數(shù)的值。比較系數(shù)法的理論根據(jù)，是

21、多項(xiàng)式的恒等定理：兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充分必要條件是對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，即a0xn+a1xn-1+ +anb0xn+b1xn-1+ +bn 的充分必要條件是 a0=b0, a1=b1, an=bn 。 （二）特殊值法特殊值法，是指通過(guò)取字母的一些特定數(shù)據(jù)值代入恒等式，由左右兩邊數(shù)值相等得到關(guān)于待定系數(shù)的若干關(guān)系式，由此求得待定系數(shù)的值。特殊值法的理論根據(jù)，是表達(dá)式恒等的定義：兩個(gè)表達(dá)式恒等，是指用字母容許值集內(nèi)的任意值代替表達(dá)式中的字母，恒等式左右兩邊的值總是相等的。待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，主要用于處理涉及多項(xiàng)式恒等變形問(wèn)題，如分解因式、證明恒等式、解方程、將分式表示為部分分式、確定函數(shù)的解析

22、式和圓錐曲線的方程等。四、判別式法實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0 的判別式=b2-4ac具有以下性質(zhì)：0，當(dāng)且僅當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 0，當(dāng)且僅當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；0，當(dāng)且僅當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0它的判別式=b2-4ac具有以下性質(zhì)：0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)； 0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)；0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。利用判別式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要方法，在探求某些實(shí)變數(shù)之間的關(guān)系，研究方程的根和函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，以及研究圓錐曲線與直線的關(guān)系等方面，都有著廣泛的應(yīng)用。在具體運(yùn)用判別式時(shí)，中的系數(shù)都可

23、以是含有參數(shù)的代數(shù)式。從總體上說(shuō)，解答數(shù)學(xué)題，即需要富有普適性的策略作宏觀指導(dǎo)，也需要各種具體的方法和技巧進(jìn)行微觀處理，只有把策略、方法、技巧和諧地結(jié)合起來(lái)，創(chuàng)造性地加以運(yùn)用，才能成功地解決面臨的問(wèn)題，獲取良好的效果。五、 分析法與綜合法分析法和綜合法源于分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過(guò)程中具有十分重要的作用。在數(shù)學(xué)中，又把分析看作從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導(dǎo)到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的另一種思維方法。通常把前者稱(chēng)為分析法，后者稱(chēng)為綜合法。具體的說(shuō)，分析法是從題目的等證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步的探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件；綜合法則是

24、從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論或需求問(wèn)題。六、 數(shù)學(xué)模型法數(shù)學(xué)模型法，是指把所考察的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，使實(shí)際問(wèn)題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法。利用數(shù)學(xué)模型法解答實(shí)際問(wèn)題（包括數(shù)學(xué)應(yīng)用題），一般要做好三方面的工作：（1） 建模。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。從總體上說(shuō)，建模的基本手段，是數(shù)學(xué)抽象方法。建模的具體過(guò)程，大體包括以下幾個(gè)步驟：1o考察實(shí)際問(wèn)題的基本情形。分析問(wèn)題所及的量的關(guān)系，弄清哪些是常量，哪些是變量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其對(duì)象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，確定問(wèn)題所及的具體系統(tǒng)。2o分析系統(tǒng)的矛

25、盾關(guān)系。從實(shí)際問(wèn)題的特定關(guān)系和具體要求出發(fā)，根據(jù)有關(guān)學(xué)科理論，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的關(guān)系。3o進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。對(duì)事物對(duì)象及諸對(duì)象間的關(guān)系進(jìn)行抽象，并用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)和表達(dá)式去刻畫(huà)事物對(duì)象及其關(guān)系。如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用，可以根據(jù)實(shí)際情況，建立新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法去表現(xiàn)數(shù)學(xué)模型。（2）推理、演算。在所得到的數(shù)學(xué)模型上，進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果。（3） 評(píng)價(jià)、解釋。對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)和解釋?zhuān)祷氐皆瓉?lái)的實(shí)際問(wèn)題中去，形成最終的解答。七、試驗(yàn)法解答數(shù)學(xué)題，需要多方面的信息。數(shù)學(xué)中的各種試驗(yàn)，常常能給人以有益的信息，為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題提供必要的

26、依據(jù)。用試驗(yàn)法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須從問(wèn)題的實(shí)際情形出發(fā)，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，恰當(dāng)選擇試驗(yàn)的對(duì)象和范圍；在制定試驗(yàn)方案時(shí)，要全面考慮試驗(yàn)的各種可能情形，不能有所遺漏；在實(shí)施試驗(yàn)方案時(shí)，要講究試驗(yàn)技巧，充分利用各次試驗(yàn)所提供的信息，以縮小試驗(yàn)范圍，減少試驗(yàn)次數(shù)，盡快找出原題的解答。任何試驗(yàn)都和觀察相聯(lián)系。觀察依賴(lài)于試驗(yàn)，試驗(yàn)離不開(kāi)觀察。因此，要用好試驗(yàn)法，必須勤于觀察，善于觀察，有目的、有計(jì)劃、有條理地進(jìn)行觀察。八、分類(lèi)法分類(lèi)法是數(shù)學(xué)中的一種基本方法，對(duì)于提高解題能力，發(fā)展思維的縝密性，具有十分重要的意義。不少數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題過(guò)程中，常常需要借助邏輯中的分類(lèi)規(guī)則，把題設(shè)條件所確定的集合，分成若干個(gè)

27、便于討論的非空真子集，然后在各個(gè)非空真子集內(nèi)進(jìn)行求解，直到獲得完滿的結(jié)果。這種把邏輯分類(lèi)思想移植到數(shù)學(xué)中來(lái)，用以指導(dǎo)解題的方法，通常稱(chēng)為分類(lèi)或分域法。用分類(lèi)法解題，大體包含以下幾個(gè)步驟：第一步：根據(jù)題設(shè)條件，明確分類(lèi)的對(duì)象，確定需要分類(lèi)的集合A；第二步：尋求恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)根據(jù)，按照分類(lèi)的規(guī)則，把集合A分為若干個(gè)便于求解的非空真子集A1，A2，An;第三步：在子集A1，A2，An內(nèi)逐類(lèi)討論；第四步：綜合子集內(nèi)的解答，歸納結(jié)論。以上四個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，尋求分類(lèi)的根據(jù)，是其中的一項(xiàng)關(guān)鍵性的工作。從總體上說(shuō)，分類(lèi)的主要依據(jù)有：分類(lèi)敘述的定義、定理、公式、法則，具有分類(lèi)討論位置關(guān)系的幾何圖形，題目中含有某

28、些特殊的或隱含的分類(lèi)討論條件等。在實(shí)際解題時(shí)，僅憑這些還不夠，還需要有較強(qiáng)的分類(lèi)意識(shí)，需要思維的靈活性和縝密性，特別要善于發(fā)掘題中隱含的分類(lèi)條件。 九、數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)基本觀點(diǎn)，對(duì)于溝通代數(shù)、三角與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，具有重要的指導(dǎo)意義。理解并掌握數(shù)形結(jié)合法，有助于增強(qiáng)人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。數(shù)和形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石。數(shù)學(xué)就是圍繞這兩個(gè)概念發(fā)展起來(lái)的。在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合的基本思想，是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把

29、圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案。中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合法包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是運(yùn)用代數(shù)、三角知識(shí)，通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論，去處理幾何圖形問(wèn)題；二是運(yùn)用幾何知識(shí)，通過(guò)對(duì)圖形性質(zhì)的研究，去解決數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題。就具體方法而論，前者常用的方法有解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法等；后者常用的方法主要是圖解法。十、反證法與同一法反證法和同一法是間接證明的兩種方法，在解題中有著廣泛的應(yīng)用。（一）反證法是一種重要的證明方法。這里主要研究反證法的邏輯原理、解題步驟和適用范圍。反證法的解題步驟：第一步：反

30、設(shè)。假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真。第二步：歸謬。由反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果。這里所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理、公式矛盾，與已知條件矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形。第三步：存真。由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。反證法的三個(gè)步驟是互相聯(lián)系的。反設(shè)是前提，歸謬是關(guān)鍵，存真是目的。只有正確地作出反設(shè)，合乎邏輯地進(jìn)行推導(dǎo)，才能間接地證出原題。十一、同一法互逆的兩個(gè)命題未必等效。但是，當(dāng)一個(gè)命題條件和結(jié)論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念時(shí)，這個(gè)命題和它的逆命題等效。這個(gè)道理通常稱(chēng)為同一原理。對(duì)于符合

31、同一原理的命題，當(dāng)直接證明有困難時(shí)，可以改證和它等效的逆命題，只要它的逆命題正確，這個(gè)命題就成立。這種證明方法叫做同一法。同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。應(yīng)用同一法解題，一般包括下面幾個(gè)步驟：第一步：作出符合命題結(jié)論的圖形。第二步：證明所作圖形符合已知條件。第三步：根據(jù)唯一性，確定所作的圖形與已知圖形重合。第四步：斷定原命題的真實(shí)性。三、高考數(shù)學(xué)解題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（選擇題）（一）數(shù)學(xué)選擇題的解題思路要想確保在有限的時(shí)間內(nèi)，對(duì)10多條選擇題作出有效的抉擇，明晰解題思路是十分必要的。一般說(shuō)來(lái)， 數(shù)學(xué)選擇題有著特定的解題思路，具體概括如下：1、仔細(xì)審題，吃透題意 審題是正確解題的前題條件，通過(guò)審題，可以掌握用于解題的第一手資料已知條件，弄清題目要求。審題的第一個(gè)關(guān)鍵在于：將有關(guān)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)加以集中整理。凡在題中出現(xiàn)的概念、公式、性質(zhì)等內(nèi)容都是平時(shí)理解、記憶、運(yùn)用的重點(diǎn)，也是我們?cè)诮膺x擇題時(shí)首先需要回憶的對(duì)象。審題的第二個(gè)關(guān)鍵在于：發(fā)現(xiàn)題材中的“機(jī)關(guān)” 題目中的一些隱含條件，往往是該題“價(jià)值”之所在，也是我們失分的“隱患”。除此而外，審題的過(guò)程還是一個(gè)解題方法的抉擇過(guò)程，開(kāi)拓的解題思路能使我們心涌