2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：概率與統(tǒng)計(jì)

1、概率考試內(nèi)容：隨機(jī)事件的概率.等可能性事件的概率. 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率. 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā) 生的概率.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).考試要求：(1) 了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義.(2) 了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率。(3) 了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件 的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率.(4) 會(huì)計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.§ 11 概率知識(shí)要點(diǎn)1 .概率：隨機(jī)事件 A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值2 .等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可

2、能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每一個(gè)基本事件的概率都是1,如果某個(gè)事件 A包含的Z果有 m個(gè)，那n么事件A的概率P(A) m. n3 .互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件.如果事件 A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A+B尸P(A)+P(B),推廣：P(A1 A2 A。)P(A。P(A2) P(An).對(duì)立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件.例如：從152張撲克牌中任 取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)不可能同時(shí)發(fā)生，但又不 能保證其中一個(gè)必然發(fā)生，故不是

3、對(duì)立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對(duì)立事件，因?yàn)槠渲幸粋€(gè)必發(fā)生.注意：i.對(duì)立事件的概率和等于 1 : P(A) P(A) P(A A) 1.ii.互為對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥不一定是對(duì)立事件相互獨(dú)立事件：事件 A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件 B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響.這樣的兩個(gè)事 件叫做相互獨(dú)立事件.如果兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A - B)=P(A) - P(B).由此，當(dāng)兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P (AB)等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之和，這時(shí)我們也可稱(chēng)這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件.例如：從一副撲克牌(52張)中任抽一張?jiān)O(shè)A: “抽到老K” ； B:

4、 “抽到紅牌”則 A應(yīng)與B互為獨(dú)立事件看上去A與B有關(guān)系 很有可能不是獨(dú)立事件，但P(A) , P(B) 26 -, P(A) P(B)工.又事件AB表示“既52 1352226抽到老 K對(duì)抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老 K”有P(A B) 工，因此有5226P(A) P(B) P(A B).推廣：若事件 A1,A2, ,An 相互獨(dú)立，則 P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An).注意：i. 一般地，如果事件 A與B相互獨(dú)立，那么 A與B,K與B, A與B也都相互獨(dú)立ii. 必然事件與任何事件都是相互獨(dú)立的.iii. 獨(dú)立事件是對(duì)任意多個(gè)事件來(lái)講，而互斥事件是對(duì)同一實(shí)驗(yàn)

5、來(lái)講的多個(gè)事件，且這多個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨(dú)立事件.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴(lài)于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果， 則稱(chēng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率：Pn(k)c：pk(i p)nk.4.對(duì)任何兩個(gè)事件都有 P(A B) P(A) P(B) P(A B)第十二章-概率與統(tǒng)計(jì)考試內(nèi)容：抽樣方法.總體分布的估計(jì).總體期望值和方差的估計(jì).考試要求：(1) 了解隨機(jī)抽樣了解分層抽樣的意義，會(huì)用它們對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽樣.(2)會(huì)用樣本頻率分布估計(jì)總體分布.(

6、3)會(huì)用樣本估計(jì)總體期望值和方差.§ 12 概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)要點(diǎn)一、隨機(jī)變量.1 .隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿(mǎn)足下述條件:試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.它就被稱(chēng)為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).2 .離散型隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨 機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量 .若E是一個(gè)隨機(jī)變量，a, b是常數(shù).則 a b也是一個(gè)隨機(jī)變量.一般地，若E是隨機(jī)變量，f (x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f ()也是隨機(jī)變量.也需是說(shuō)

7、，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量E可能取的值為：xi,x2, ,xi,E取每一個(gè)值xi(i 1,2,)的概率P( xi) p則表稱(chēng)為隨機(jī)變量E的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)E分布列.XiX2xiPpip2pi有性質(zhì) P1 0,i 1,2,； P1 P2Pi1.注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如:0,5即 可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無(wú)理數(shù).3 .二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是巳那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這 個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：P" k) C：pkqnk其中k 0,1, ,n,q 1 p于是得到隨機(jī)變量E的概

8、率分布如下：我們稱(chēng)這樣的隨機(jī)變量E服從二項(xiàng)分布，記作(n p),其中 n, p 為參數(shù)，并記 Cnpkqn k b(k; n p).二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.二項(xiàng)分布，實(shí)際是對(duì) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿(mǎn)足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來(lái)說(shuō)又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列4 .幾何分布：“ k”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把 k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為Ak ,事A不發(fā)生記為Ak,P(Ak) q ,那么P(

9、E k) P(AiAl A7> k).根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：P(W k) P(A1)P(A2) P(Ak 1)P(Ak) qk 1p (k 1,2,3,)于是得到隨機(jī)變量E的概率分布列123kPqqp2q pk 1q p我們稱(chēng)E服從幾何分布，并記 g(k, p) qk1p,其中q 1 p. k 1,2,35 .超幾何分布：一批產(chǎn)品共有 N件，其中有 M (Mk N)件次品，今抽取 n(1 n N)件， 則其中的次品數(shù)E是一離散型隨機(jī)變量，分布列為k件，從N-M件正品k n kP(H k) 3 (0 k M,0 n k N M).分子是從M件次品中取 CN中取n-k件的取法數(shù)，如

10、果規(guī)定 mV r時(shí)Cm 0,則k的范圍可以寫(xiě)為k=0, 1,，n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件(1wnwa+b),k n k則次品數(shù)E的分布列為 P(£ k) Ca C b k 0,1, ,n. Ca b超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時(shí)，其中次品數(shù)E服從超幾何分布 . 若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把 a b個(gè)產(chǎn)品編號(hào)，則抽取 n次共有(a b)n個(gè)可能結(jié)果，等可能：(刀k)含C：akbn k個(gè)結(jié)果，故k k n kP" k) Cna bnCk()k(1 )nk,k 0,

11、1,2, ,n，即 B(n-a-).我們先為 k 個(gè)次(a b) a b a ba b品選定位置，共Cn種選法；然后每個(gè)次品位置有a種選法，每個(gè)正品位置有b種選法可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個(gè)數(shù)不多時(shí)，P(E k) P" k),因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無(wú)放回抽樣可近似看作放回抽樣二、數(shù)學(xué)期望與方差.1.期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量E的概率分布為XiX 2XiPPiP2Pi則稱(chēng)EXiPi X2p2Xnpn 為E的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱(chēng)期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平2.隨機(jī)變量a b的數(shù)學(xué)期望：E E(a b) aE b當(dāng)a 0時(shí)，

12、E(b) b ,即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個(gè)常數(shù)本身.當(dāng)a 1時(shí)，E( b) E b,即隨機(jī)變量E與常數(shù)之和的期望等于E的期望與這個(gè)常數(shù) 的和.當(dāng)b 0時(shí)，E(a ) aE ，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量期望的 乘積.單點(diǎn)分布:兩點(diǎn)分布:q = 1 )E c 1 c其分布列為： P( 1) c .E 0 q 1 p p ,其分布列為：(p +01Pqp01pqpE E ,D() D DE ) E( ) E(E )(因?yàn)?E 為一常數(shù))x軸上方，E落在任一區(qū)間a,b)內(nèi)1.2.正態(tài)分布與正態(tài)曲線(xiàn)：如果隨機(jī)變量E的概率密度為：二項(xiàng)分布：e k n!pk qn k np其分布列為B(

13、n, p). ( P為發(fā)生 的概率)k!(n k)!1 幾何分布：E 其分布列為q(k,p). (P為發(fā)生 的概率)p3 .方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量E的分布列為P( xk) pk(k 1,2,)時(shí)，則稱(chēng)D(X1 E )2p1 (X2 E )2p2(Xn E )2pn 為 E 的方差.顯然 D 0 ,故 4D . 為 E 的 根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量E的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量E取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中 與離散的程度.D越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小 . * 4 .方差的性質(zhì).隨機(jī)變量 a b的方差D( ) D(a b) a2D . (a、b均為常數(shù)) 單點(diǎn)分布：D 0其分布列為P( 1

14、) p兩點(diǎn)分布：D pq其分布列為：(p + q = 1)二項(xiàng)分布：D npq幾何分布：D 3p5 .期望與方差的關(guān)系.如果E和E者B存在，則E( ) E E設(shè)E和 是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則 E()期望與方差的轉(zhuǎn)化：D E 2 (E )2E(E E 0.三、正態(tài)分布.(基本不列入考試范圍)1.密度曲線(xiàn)與密度函數(shù)：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量E,位于 的概率等于它與x軸.直線(xiàn)x a與直線(xiàn)x b所圍成的曲邊林形的面積(如圖陰影部分)的曲線(xiàn)叫E的密度曲線(xiàn)，以其作為 圖像的函數(shù)f (x)叫做E的密度函數(shù)，由于“ x ( 是必然事件，故密度曲線(xiàn)與 x軸所夾部分面積等于(x R,為常數(shù)，且 0),稱(chēng)E服從參數(shù)為

15、 ，的正態(tài)分布，用 N( , 2)表示.f(x)的表達(dá)式可簡(jiǎn)記為 N( , 2),它的密度曲線(xiàn)簡(jiǎn)稱(chēng)為正態(tài)曲線(xiàn)正態(tài)分布的期望與方差：若N( , 2),則E的期望與方差分別為:,D正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì) 曲線(xiàn)在x軸上方，與x軸不相交.曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng).當(dāng)x時(shí)曲線(xiàn)處于最高點(diǎn)，當(dāng) x向左、向右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線(xiàn)不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、 兩邊低”的鐘形曲線(xiàn).當(dāng)x< 時(shí)，曲線(xiàn)上升；當(dāng)x> 時(shí)，曲線(xiàn)下降，并且當(dāng)曲線(xiàn)向左、向右兩邊無(wú)限延伸時(shí), 以x軸為漸近線(xiàn)，向x軸無(wú)限的靠近.當(dāng) 一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由確定， 越大，曲線(xiàn)越“矮胖”.表示總體的分布越分散;越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量E的概率函數(shù)為1(x)e (服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即的計(jì)算則是P(a b)注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的N(0,1)有(x) P( x),(b)(a).(x)的X取。時(shí)，有 (x)(x) 1( x)求出，而 P (a< 個(gè) b)0.5當(dāng)(x)的X取大于0的數(shù)時(shí)，有Ste =0.5 Sa=0.5+S(x) 05比如(05一) 0.0793 0.5則05必然小于0,如圖.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若N( , 2)則E的分布函數(shù)通常用 F(x)表示，且有 P(E x) F(x)(-一).(T4.“ 3 ”原則.假設(shè)檢驗(yàn)是