演繹完美——數(shù)學與音樂的巧妙結(jié)合1

1、xx大學畢業(yè)設計（論文）題 目：演繹完美數(shù)學與音樂的巧妙結(jié)合 指導教師： 職稱： 學生姓名： 學號： 專 業(yè)： 院 （系）： 完成時間： 年 月 日演繹完美數(shù)學與音樂的巧妙結(jié)合摘要主要介紹了音樂與數(shù)學之間的聯(lián)系、數(shù)學知識在音樂中的應用。包括：音樂理論中的數(shù)學推導，樂譜書寫時的數(shù)學知識，音樂中出現(xiàn)的的數(shù)學變換、比例、黃金分割和數(shù)列等知識。結(jié)合物理聲波的疊加原理，揭示了樂器制造中的一些數(shù)學計算過程和計算方法。講述了一些數(shù)學家與音樂的故事，以及音樂家在作曲時對數(shù)學知識的應用，讓我們對數(shù)學與音樂的結(jié)合有一個全新的理解。通過研究會發(fā)現(xiàn)，音樂和數(shù)學之間的聯(lián)系并不是偶然而是很自然的結(jié)合。這是一種感性與理性的

2、完美結(jié)合，一種美與另一種美之間的融通！關鍵詞樂理、樂律、樂器、數(shù)學原理Deduction perfect unique combination of mathematics and musicAbstractThis paper mainly introduces the relationship between music and mathematics and the application of mathematics to music. The application includes: using mathematics to analyze some theories on mus

3、ic; mathematical knowledge required to compose a concerto; and mathematical transformations, golden ration and numerical sequence and the like. This paper also tells some stories about mathematicians who have a special interest in music. Whats more, in order to compose a piece of music in an elegent

4、 way, some world-class musicians always have to have a understanding on mathematics. The stories of mathematicians and musicians mentioned above, would offer us a brand new insight into the close link between music and mathematics. In a word, this is a perfect combination of sensitivity and rational

5、ity and of two different kinds of ethereal beauties!KeywordsMusic Theory, Temperament, Musical Instruments, Principia Mathematica目 錄中英文摘要及關鍵詞（1）1引言（3）2基礎樂理與數(shù)學（3）3數(shù)學知識在音樂中的綜合應用（9）4樂器制作中的數(shù)學原理（13）5數(shù)學家與音樂（17）6結(jié)論（18）致謝（19）參考文獻（19）1 引言2500年前的一天，古希臘哲學家畢達哥拉斯外出散步，經(jīng)過一家鐵匠鋪，發(fā)現(xiàn)里面?zhèn)鞒龅拇蜩F聲響，要比別的鐵匠鋪更加協(xié)調(diào)、悅耳。他走進鋪子，量了又量

6、鐵錘和鐵砧的大小,發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律，音響的和諧與發(fā)聲體體積的一定比例有關。之后，他又在琴弦上做了許多試驗，進一步發(fā)現(xiàn)只要按比例去劃分一根振動著的弦，就可以產(chǎn)生悅耳的音程。如1:2產(chǎn)生八度，2:3產(chǎn)生五度，3:4產(chǎn)生四度等等。就這樣，畢達哥拉斯在世界上第一次發(fā)現(xiàn)了音樂和數(shù)學的聯(lián)系。若干世紀以來，音樂和數(shù)學一直被聯(lián)系在一起。從基本的阿拉伯數(shù)字到“黃金分割”，音樂中不僅包含了數(shù)學中的“數(shù)列”、“變換”、等知識，樂譜的書寫乃至樂器的制作無不透著數(shù)學的蹤影。數(shù)學家們研究音樂，音樂家也和數(shù)學密切相關。正因如此，越來越多的人開始關注音樂，研究數(shù)學與音樂的聯(lián)系。了解這種關系無論是在生活中聆聽音樂感受數(shù)學，還是利

7、用數(shù)學知識制作音樂都會有意想不到的收獲！音樂是一種雅俗共賞的藝術，文人雅士有文人雅士的品味，庸俗之人有庸俗之人的欣賞自由，高興時我們可以制造音樂聆聽音樂，同樣悲傷時也可以；數(shù)學則是最為普遍的人類知識，是人類智慧不斷的凝聚和積累，從原始時代到現(xiàn)在，再到是遙遠的未來，數(shù)學之花只會越開越燦爛。了解和研究音樂與數(shù)學的個中關系，將會是一件非常有趣而且有用的事情。2 基礎樂理與數(shù)學數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式的數(shù)量關系的一門科學，它早已從一門計數(shù)的學問變成一門形式符號體系的學問。符號的使用使數(shù)學具有高度的抽象。而音樂則是研究現(xiàn)實世界音響形式及對其控制的藝術。它同樣使用符號體系，是所有藝術中最抽象的藝術。數(shù)學

8、給人的印象是單調(diào)、枯燥、冷漠，而音樂則是豐富、有趣，充溢著感情及幻想。表面看，音樂與數(shù)學是“絕緣”的，風馬牛不相及，其實不然。德國著名哲學家、數(shù)學家萊布尼茨曾說過：“音樂，就它的基礎來說，是數(shù)學的；就它的出現(xiàn)來說，是直覺的?！倍鴲垡蛩固拐f得更為風趣：“我們這個世界可以由音樂的音符組成也可以由數(shù)學公式組成?！睌?shù)學是以數(shù)字為基本符號的排列組合，它是對事物在量上的抽象，并通過種種公式，揭示出客觀世界的內(nèi)在規(guī)律：而音樂是以音符為基本符號加以排列組合，它是對自然音響的抽象，并通過聯(lián)系著這些符號的文法對它們進行組織安排，概括我們主觀世界的各種活動罷了，正是在抽象這一點上將音樂與數(shù)學連結(jié)在一起，它們都是通過

9、有限去反映和把握無限。2.1音符與數(shù)字萊布尼茨說過：“音樂是數(shù)學在靈魂中無意識的運算?！北娝苤?，古今中外的音樂雖然千姿百態(tài)，但都是由7個音符（音名）組成的，數(shù)字17在音樂中是神奇數(shù)字：數(shù)字1音樂上許多發(fā)展樂思的手法，如重復、變奏、衍生、展開、對比等等，有時強調(diào)統(tǒng)一，有時強調(diào)變化，綜合起來，就是在統(tǒng)一中求變化，在變化中求統(tǒng)一。單音是音樂中最小的“細胞”，一個個單音按水平方向連結(jié)成為旋律、節(jié)奏，按垂直方向縱合成為和弦，和聲。樂段（一段體）是表達完整樂思的最小結(jié)構單位。 數(shù)字2巴洛克、古典、浪漫派音樂使用大小調(diào)調(diào)式體系，形成音階與和聲學的二元論（dualistic theory）。數(shù)字3三個音按三

10、度音程疊置成為各種各弦。三和弦是最常用的和聲建筑材料。愛因斯坦認為不管是音樂家還是科學家都有一個強烈的愿望，“總想以最適合的方式來畫出一幅簡化的和易于領悟的世界圖像。”數(shù)字4人聲天然地劃分為四個聲部，任何復雜的多聲部音樂作品都可以規(guī)范為四部和聲。我們平時所彈奏的鋼琴作品的曲式結(jié)構，大多數(shù)都是“古典四方體”方整結(jié)構，即4+4+4+4 ，4小節(jié)為一樂句，8小節(jié)為一樂段。 數(shù)字5五度相生律（畢達哥拉斯律）及五度循環(huán)揭示了樂音組織的奧秘，而和聲五度關系法則是構筑和聲大廈的基石。 數(shù)字6六和弦、六聲音階、一個八度之內(nèi)有六個全音，常用的調(diào)是主調(diào)及其五個近關系副調(diào)。數(shù)字7更顯神秘莫測，常用的七聲音階由七個音

11、級組成，巴洛克時期以前采用中古教會七種調(diào)式，19世紀民族樂派之后中古教會七聲調(diào)式部分地得到復興。數(shù)字0除去數(shù)字1-7之外，音樂中數(shù)字0是不可或缺的音符。在數(shù)學中，0表示什么都沒有，而在音樂中，0表示停止所有的聲音，給人一個想象和會問的空間，增添了抑揚頓挫的美感。所謂的“別有憂愁暗恨生，此時無聲勝有聲”！數(shù)字8在記譜時，為了方便同樣的旋律平移8度之后來演奏，會給人耳目一新的感覺，在表現(xiàn)靈動或者說低沉是不可或缺，所以不管在簡譜還是五線譜中，數(shù)字8都有很廣泛的應用。2.2 音階中的數(shù)學原理學習音樂總是從音階開始，我們常見的音階有7個基本音組成：1234567音doremifasolasi唱名CDEF

12、GAB 音名用7個音以及比它們高一個或幾個八度的音，低一個或幾個八度的音組成各種組合就是“曲調(diào)”。7聲音階按“高度”自低向高排列，要搞清音階原理，知道什么是“音高”，音與音之間的“高度差”是多少。2.振動的快慢在物理學上用頻率表示，頻率定義為每秒鐘物體振動的次數(shù)，用每秒振動 1 次作為頻率的單位稱為赫茲。頻率為 261.63 赫茲的音在音樂里用字母 c1 表示。相應地音階表示為c, d, e, f, g, a, b在將 C 音唱成“do”時稱為 C 調(diào)。頻率過高或過低的聲音人耳不能感知或感覺不舒服，音樂中常使用的頻率范圍大約是 164000 赫茲，而人聲及器樂中最富于表現(xiàn)力的頻率范圍大約是 6

13、01000 赫茲。在弦樂器上撥動一根空弦，它發(fā)出某個頻率的聲音，如果要求你唱出這個音你怎能知道你的聲帶振動頻率與空弦振動頻率完全相等呢？這就需要“共鳴原理”：當兩種振動的頻率相等時合成的效果得到最大的加強而沒有絲毫的減弱。因此你應當通過體驗與感悟去調(diào)整你的聲帶振動頻率使聲帶振動與空弦振動發(fā)生共鳴，此時聲帶振動頻率等于空弦振動頻率。人們很早就發(fā)現(xiàn)，一根空弦所發(fā)出的聲音與同一根空弦但長度減半后發(fā)出的聲音有非常和諧的效果，或者說接近于“共鳴”，后來這兩個音被稱為具有八度音的關系。我們可以用“如影隨形”來形容一對八度音，除非兩音頻率完全相等的情形，八度音是在聽覺和諧方面關系最密切的音。18 世紀初英國

14、數(shù)學家泰勒（Taylor，1685-1731）獲得弦振動頻率f的計算公式：l 表示弦的長度、T 表示弦的張緊程度、 表示弦的密度。2.假定一根空弦發(fā)出的音是do，則二分之一長度的弦發(fā)出高八度的 do；8/9 長度的弦發(fā)出 re，64/81 長度的弦發(fā)出 mi，3/4 長度的弦發(fā)出 fa，2/3 長度的弦發(fā)出 so，16/27 長度的弦發(fā)出 la，128/243 長度的弦發(fā)出 si 等等類推。例如高八度的 so 應由 2/3 長度的弦的一半就是 1/3 長度的弦發(fā)出。為了方便將 c 音的頻率算作一個單位，高八度的 c 音的頻率就是兩個單位，而 re 音的頻率是 9/8 個單位，將音名與各自的頻率

15、列成下表：表 1音名 C D E F G A B C 頻率 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2 知道了 do, re, mi, fa, so, la, si 的數(shù)字關系之后，新的問題是為什么要用具有這些頻率的音來構成音階？實際上首先更應回答的問題是為什么要用 7 個音來構成音階？這可是一個千古之謎，由于無法從逝去的歷史進行考證，古今中外便有各種各樣的推斷、臆測，例如西方文化的一種說法基于“7”這個數(shù)字的神秘色彩，認為運行于天穹的 7 大行星（這是在只知道有 7 個行星的年代）發(fā)出不同的聲音組成音階。我們將從數(shù)學上揭開謎底。我們用不同的音組合成曲調(diào)，當然要考慮

16、這些音放在一起是不是很和諧，前面已談到八度音是在聽覺和諧效果上關系最密切的音，但是僅用八度音不能構成動聽的曲調(diào)至少它們太少了，例如在音樂頻率范圍內(nèi) c1 與 c1 的八度音只有如下的 8 個：C2（16.35赫茲）、C1（32.7赫茲）、C（65.4赫茲）、c（130.8赫茲）、c1（261.6赫茲）、c2（523.2赫茲）、c3（1046.4赫茲）、c4（2092.8赫茲），對于人聲就只有C、c、c1、c2這 4 個音了。為了產(chǎn)生新的和諧音，回顧一下前面說的一對八度音和諧的理由是近似于共鳴。數(shù)學理論告訴我們：每個音都可分解為由一次諧波與一系列整數(shù)倍頻率諧波的疊加。仍然假定 c 的頻率是 1

17、，那么它分解為頻率為 1，2，4，8，的諧波的疊加，高八度的 c 音的頻率是 2，它分解為頻率為 2，4，8，16，的諧波的疊加，這兩列諧波的頻率幾乎相同，這是一對八度音近似于共鳴的數(shù)學解釋。由此可推出一個原理：兩音的頻率比若是簡單的整數(shù)關系則兩音具有和諧的關系，因為每個音都可分解為由一次諧波與一系列整數(shù)倍諧波的疊加，兩音的頻率比愈是簡單的整數(shù)關系意味著對應的兩個諧波列含有相同頻率的諧波愈多。次于 21 的簡單整數(shù)比是 32。試一試，一根空弦發(fā)出的音（假定是表 1 的 C，且作為 do）與 2/3 長度的弦發(fā)出的音無論先后奏出或同時奏出其效果都很和諧。可以推想當古人發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象時一定非常興奮，

18、事實上我們比古人更有理由興奮，因為我們明白了其中的數(shù)學道理。接下來，奏出 3/2 長度弦發(fā)出的音也是和諧的。它的頻率是 C 頻率的 2/3，已經(jīng)低于 C 音的頻率，為了便于在八度內(nèi)考察，用它的高八度音即頻率是 C 的 4/3 的音代替。很顯然我們已經(jīng)得到了表 1 中的 G（so）與 F（fa）。問題是我們并不能這樣一直做下去，否則得到的將是無數(shù)多音而不是 7 個音！如果從 C 開始依次用頻率比 32 制出新的音，在某一次新的音恰好是 C 的高若干個八度音，那么再往后就不會產(chǎn)生新的音了。很可惜，數(shù)學可以證明這是不可能的，因為沒有自然數(shù)m、n會使下式成立：(3/2)m = 2n 此時，理性思維的自

19、然發(fā)展是可不可以成立近似等式？經(jīng)過計算有 (3/2)5 = 7.594 23 = 8，因此認為與 1 之比是 3/2 即高三個八度關系算作是同一音，而 (3/2 )6 與 (3/2)1 之比也是 23 即高三個八度關系等等也算作是同一音。在“八度相同”的意義上說，總共只有 5 個音，他們的頻率是：1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4折合到八度之內(nèi)就是：1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16對照表 1 知道這 5 個音是 C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la），這是所謂五聲音階，它在世界各民族的音樂文化中用得不是很廣，中國古代名曲春江花

20、月夜、梅花三弄等絕大部分名曲都是五聲音階。音律的產(chǎn)生發(fā)展與數(shù)學的關系根據(jù) (3/2)7 = 17.09 24 = 16，總共應由 7 個音組成音階，我們在 上一節(jié) 的基礎上用 32 的頻率比上行一次、下行一次得到由 7 個音組成的音列，其頻率是(2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5折合到八度之內(nèi)就是：1, 8/9, 64/81, 3/4, 2/3, 16/27, 128/243 得到常見的五度律七聲音階大調(diào)式如表一?？疾煲幌乱綦A中相鄰兩音的頻率之比，通過計算知道只有兩種情況：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 頻率

21、之比是 98，稱為全音關系；mi-fa、si-do 頻率之比是 256243，稱為半音關系。以 21與32的頻率比關系產(chǎn)生和諧音的法則稱為五度律。在中國，五度律最早的文字記載見于典籍管子的地員篇，由于管子的成書時間跨度很大，學術界一般認為五度律產(chǎn)生于公元前 7 世紀至公元前 3 世紀。西方學者認為是公元前 6 世紀古希臘的畢達哥拉斯學派最早提出了五度律。根據(jù)近似等式 (3/2)12 = 129.7 27 = 128 并仿照以上方法又可制出五度律十二聲音階如下：表 2音名 C #C D #D E F #F 頻率 1 (37)/(211) (32)/(23) (39)/(214) (34)/(26

22、) (22)/(3) (36)/(29) 音名 G #G A #A B C 頻率 3/2 (38)/(212) (33)/(24) (310)/(215) (35)/(27) 2 五度律十二聲音階相鄰兩音的頻率之比有兩種：256243與 21872048，分別稱為自然半音與變化半音。從表中可看到，音名不同的兩音例如 #C-D 的關系是自然半音，音名相同的兩音例如 C-#C 的關系是變化半音。五度律以外的形形色色的樂律中應用最廣的是十二平均律與純律。十二平均律 人們注意到五度律十二聲音階中的兩種半音相差不大，如果消除這種差別對于鍵盤樂器的轉(zhuǎn)調(diào)將是十分方便的，因為鍵盤樂器的每個鍵的音高是固定的，而

23、不象撥弦或拉弦樂器的音高由手指位置決定。消除兩種半音差別的辦法是使相鄰各音頻率之比相等，這是一道中學生的數(shù)學題在 1 與 2 之間插入 11 個數(shù)使它們組成等比數(shù)列，顯然其公比就是 ，并且有如下的不等式1.05350 = 256 / 243 這樣獲得的是十二平均律，它的任何相鄰兩音頻率之比都是，沒有自然半音與變化半音之分。用十二平均律構成的七聲音階如下：表 3音名CDEFGABC頻率1()2()4()5()7()9()112在西方，巴赫是首先提出十二平均律的，即將C-c一個八度平均分成十二隔音，這就是為什么鋼琴鍵盤聲總是以七個白鍵，五個黑鍵作為一組：7+5=12節(jié)拍與分數(shù)在樂譜中節(jié)拍一般用一個

24、固定的音符來代表，這個音符可以是二分音符、四分音符、八分音符甚至是十六分音符。我們稱這個固定的音符為拍子，也就是說：一個音可以以二分音符為一拍，也可以以四分音符、八分音符甚至是十六分音符為一拍。拍子以分數(shù)的形式來表示。這個分數(shù)形式我們稱之為拍號。拍號一般在五線譜譜號的后面。分子表示每小節(jié)拍子的數(shù)量，而分母表示單位音符的時值長度，即以幾分音符為一拍。例：3/4以四分音符為一拍，每小節(jié)三拍。我們規(guī)定一個全音符=兩個二分音符=四個四分音符即：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4一個四分音符=兩個八分音符1/4=1/8+1/8總的可以表示為：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1

25、/4=2*（1/8）=4*（1/16）*43 數(shù)學知識在音樂中的綜合運用除了第二章中所述的數(shù)學與音樂理論的關系之外，數(shù)學知識在音樂中有很多的綜合運用，如指數(shù)曲線，周期函數(shù)等等。這里我們先介紹一種簡單的運用。音樂中的數(shù)學變換數(shù)學中存在著平移變換,音樂中是否也存在著平移變換 2呢 ?我們可以通過圖 2 的兩個音樂小節(jié)1來尋找答案. 顯然可以把第一個小節(jié)中的音符平移到第二個小節(jié)中去,就出現(xiàn)了音樂中的平移, 這實際上就是音樂中的反復. 把圖 2 的兩個音節(jié)移到直角坐標系中,那么就表現(xiàn)為圖 3. 顯然,這正是數(shù)學中的平移. 我們知道作曲者創(chuàng)作音樂作品的目的在于想淋漓盡致地抒發(fā)自己內(nèi)心情感,可是內(nèi)心情感的

26、抒發(fā)是通過整個樂曲來表達的,并在主題處得到升華,而音樂的主題有時正是以某種形式的反復出現(xiàn)的. 比如, 圖 4 就是西方樂曲 When the Saints GoMarching In 的主題2 ,顯然 ,這首樂曲的主題就可以看作是通過平移得到的。 此外，在音樂作品當中的轉(zhuǎn)調(diào)（移調(diào)）也是一種很普遍的方式，將一首曲子全曲或者某個部分整體上行或者下行幾度變成另一個調(diào)性的曲子，在音樂中可以給人一種耳目一新的層次感。這也是好多作曲家管用的手法，其實質(zhì)就是將曲子整體的平移幾度而已。如果我們把五線譜中的一條適當?shù)臋M線作為時間軸(橫軸 x) ,與時間軸垂直的直線作為音高軸(縱軸y) ,那么我們就在五線譜中建立

27、了時間 - 音高的平面直角坐標系. 于是, 圖 4 中一系列的反復或者平移,就可以用函數(shù), , 近似地表示出來2 , 如圖 5 所示,其中 x 是時間, y 是音高. 當然我們也可以在時間 - 音高的平面直角坐標系中用函數(shù)把圖2中的兩個音節(jié)近似地表示出來.在這里我們需要提及十九世紀的一位著名的數(shù)學家,他就是約瑟夫.傅里葉 (Joseph Fourier) ,正是他的努力使人們對樂聲性質(zhì)的認識達到了頂峰. 他證明了所有的樂聲, 不管是器樂還是聲樂, 都可以用數(shù)學式來表達和描述,而且證明了這些數(shù)學式是簡單的周期正弦函數(shù)的和2。音樂中不僅僅只出現(xiàn)平移變換,可能會出現(xiàn)其他的變換及其組合,比如反射變換等

28、等. 圖6 的兩個音節(jié)就是音樂中的反射變換3. 如果我們?nèi)詮臄?shù)學的角度來考慮,把這些音符放進坐標系中, 那么它在數(shù)學中的表現(xiàn)就是我們常見的反射變換,如圖 7所示. 同樣我們也可以在時間 - 音高直角坐標系中把這兩個音節(jié)用函數(shù)近似地表示出來.通過以上分析可知,一首樂曲就有可能是對一些基本曲段進行各種數(shù)學變換的結(jié)果.數(shù)列與音樂看一下樂器之王 鋼琴的鍵盤吧,其上也恰好與斐波那契數(shù)列 4 有關. 我們知道在鋼琴的鍵盤上,從一個 C 鍵到下一個 C 鍵就是音樂中的一個八度音程(如圖1) . 其中共包括13 個鍵,有8 個白鍵和5 個黑鍵 ,而 5 個黑鍵分成 2 組 ,一組有 2 個黑鍵 ,一組有 3

29、個黑鍵.2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個數(shù)。如果說斐波那契數(shù)在鋼琴鍵上的出現(xiàn)是一種巧合, 那么等比數(shù)列在音樂中的出現(xiàn)就決非偶然了: 1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數(shù)列規(guī)定的. 再來看圖1,顯然這個八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個半音,并且我們知道下一個 C鍵發(fā)出樂音的振動次數(shù)(即頻率) 是第一個 C 鍵振動次數(shù)的 2倍,因為用2 來分割,所以這個劃分是按照等比數(shù)列而作出的. 我們?nèi)菀浊蟪龇指畋?x ,顯然 x 滿足 x(12)= 2 ,解這個方程可得 x 是個無理數(shù) , 大約是0. 1106。于是我們說某個半音的音高是那個音的音高的0.1106 倍

30、,而全音的音高是那個音的音高 0.1106*2 倍. 實際上,在吉它中也存在著同樣的等比數(shù)列4。黃金分割在音樂中的應用菲波那齊數(shù)列在音樂中得到普遍的應用，如常見的曲式類型與菲波那齊數(shù)列頭幾個數(shù)字相符，它們是簡單的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鳴曲式也是三部性結(jié)構，如再增加前奏及尾聲則又從三發(fā)展到五部結(jié)構。黃金分割比例與音樂中高潮的位置有密切關系。所謂黃金分割 5，其定義為：將線段AC分為線段AB和BC，AB/AC=BC/AB，則稱此線段之比為黃金分割比例。比值為0.618。如圖我們分析許多著名的音樂作品，發(fā)覺其中高潮的出現(xiàn)多和黃金分割點相接近，位于結(jié)構中點偏后的位置：小型曲式中8

31、小節(jié)一段式，高潮點約在第5小節(jié)左右；16小節(jié)二段式，高潮點約在第10小節(jié)左右；24小節(jié)帶再現(xiàn)三段式，高潮點在第15小節(jié)左右。如夢幻曲是一首帶再現(xiàn)三段曲式，由A、B和A三段構成。每段又由等長的兩個4小節(jié)樂句構成。全曲共分6句，24小節(jié)。理論計算黃金分割點應在第14小節(jié)（24*0.618=14.83），與全曲高潮正好吻合。有些樂曲從整體至每一個局部都合乎黃金比例，本曲的六個樂句在各自的第2小節(jié)進行負相分割（前短后長）；本曲的三個部分A、B、A在各自的第二樂句第2小節(jié)正相分割（前長后短），這樣形成了樂曲從整體到每一個局部多層復合分割的生動局面，使樂曲的內(nèi)容與形式更加完美。大、中型曲式中的奏鳴曲式、復

32、三段曲式是一種三部性結(jié)構，其他如變奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黃金比例的原則在這些大、中型樂曲中也得到不同程度的體現(xiàn)。一般來說，曲式規(guī)模越大，黃金分割點的位置在中部或發(fā)展部越靠后，甚至推遲到再現(xiàn)部的開端，這樣可獲得更強烈的藝術效果。如莫扎特D大調(diào)奏鳴曲第一樂章全長160小節(jié)，再現(xiàn)部位于第99小節(jié)，不偏不依恰恰落在黃金分割點上（160*0.618=98.88）。據(jù)美國數(shù)學家喬巴茲統(tǒng)計，莫扎特的所有鋼琴奏鳴曲中有94%符合黃金分割比例，這個結(jié)果令人驚嘆。我們未必就能弄清，莫扎特是有意識地使自己的樂曲符合黃金分割呢，抑或只是一種純直覺的巧合現(xiàn)象。然而美國的另一位音樂家認為，

33、“我們應當知道，創(chuàng)作這些不朽作品的莫扎特，也是一位喜歡數(shù)字游戲的天才。莫扎特是懂得黃金分割，并有意識地運用它的。 貝多芬悲愴奏鳴曲Op.13第二樂章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小節(jié)。理論計算黃金分割點應在45小節(jié)，在43小節(jié)處形成全曲激越的高潮，并伴隨著調(diào)式、調(diào)性的轉(zhuǎn)換，高潮與黃金分割區(qū)基本吻合。肖邦的降D大調(diào)夜曲是三部性曲式。全曲不計前奏共76小節(jié)，理論計算黃金分割點應在46小節(jié)，再現(xiàn)部恰恰位于46小節(jié)，是全曲力度最強的高潮所在，真是巧奪天工。拉赫曼尼諾夫的第二鋼琴協(xié)奏曲第一樂章是奏鳴曲式，這是一首宏偉的史詩。第一部分呈示部悠長、剛毅的主部與明朗、抒情的副部形成鮮明對比。第二部分為發(fā)展

34、部，結(jié)構緊湊，主部、副部與引子的材料不斷地交織，形成巨大的音流，音樂爆發(fā)高潮的地方恰恰在第三部分再現(xiàn)部的開端，是整個樂章的黃金分割點，不愧是體現(xiàn)黃金分割規(guī)律的典范。此外這首協(xié)奏曲的局部在許多地方也符合黃金比例再舉一首大型交響音樂的范例，俄國偉大作曲家里姆斯柯薩科夫在他的天方夜譚交響組曲的第四樂章中，寫至辛巴達的航船在洶涌滔天的狂濤惡浪里，無可挽回地猛撞在有青銅騎士像的峭壁上的一剎那，在整個樂隊震耳欲聾的音浪中，樂隊敲出一記強有力的鑼聲，鑼聲延長了六小節(jié)，隨著它的音響逐漸消失，整個樂隊力度迅速下降，象征著那艘支離破碎的航船沉入到海底深淵。在全曲最高潮也就是“黃金點”上，大鑼致命的一擊所造成的悲劇

35、性效果懾人心魂。黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩，被人們稱為“天然合理”的最美妙的形式比例。世界上到處都存在數(shù)的美，對于我們的眼睛，尤其是對我們學習音樂的人的耳朵來說，“美是到處都有的，不是缺乏美，而是缺少發(fā)現(xiàn)”（羅丹語）。4 樂器制作中的數(shù)學原理講到樂器制作中的數(shù)學原理6，我們有必要吧第二章中先振動公式重申一遍。鋼琴外形與指數(shù)曲線假定一根空弦發(fā)出的音是do，則二分之一長度的弦發(fā)出的就是高八度的do，8/9長度的弦發(fā)出re,64/81長度的先發(fā)出mi，3/4長度的弦發(fā)出fa，2/3長度的弦發(fā)出so,16/27長度的弦發(fā)出la,128/243長度的弦發(fā)出si等以此類推，如果我們以音作為橫坐標，弦長

36、為縱坐標，很容易就可以繪出一天近似的指數(shù)曲線。這就是為什么三角鋼琴的形狀近似于指數(shù)曲線了，這樣不僅可以使材料最省、音質(zhì)協(xié)調(diào)，而且優(yōu)雅美觀。19世紀數(shù)學家約翰傅里葉的工作使樂聲性質(zhì)的研究達到頂點。他證明所有樂聲器樂和聲樂都可用數(shù)學式來描述，這些數(shù)學式是簡單的周期正弦函數(shù)的和。每一個聲音有三個性質(zhì)，即音高、音量和音質(zhì)，將它與其他樂聲區(qū)別開來。傅里葉的發(fā)現(xiàn)使聲音的這三個性質(zhì)可以在圖形上清楚地表示出來。音高與曲線的頻率有關，音量和音質(zhì)分別與周期函數(shù)的振幅和形狀有關。不管是弦樂器，還是有空氣柱發(fā)聲的管樂器，他們的結(jié)構都反映出一種指數(shù)曲線的形狀。如以下圖片展示：上面介紹了鋼琴的外形與指數(shù)曲線的關系，下面我

37、們說說真正的弦樂器吉他4.2吉他制作中的數(shù)學知識吉他和小提琴一樣，被稱為有著美女身材的樂器，不僅外形美觀，構造獨特，而且音色音質(zhì)也是別具一格，由于其獨特的音色和簡單易學的特點，備受青年男女甚至是各個年齡階段的音樂愛好者的青睞！吉他的弦從一弦到六弦，由細到粗，長度一樣，而每弦的音高都不一樣，這時怎樣做到的呢？這歸結(jié)到我們之前所說的頻率公式，由于一弦和二弦粗細一樣，而頻率不一樣，故一弦拉的緊，也就是張力T不一樣。值得注意的是一弦和 他們的音是一樣的，而一弦和六弦的粗細不一樣，材質(zhì)不一樣，故他們的p不一樣，音高也自然容易控制了。另外一點，我們知道琴頸上的品格（把位）是由寬到窄的，每向前移動一個品格，

38、就升高半個音，而移動一個八度之后，品格的寬度剛好是低八度品格的一半。這些都并非巧合，如果需要們可以用游標卡尺和螺旋測微儀做精細的測量對比，相信在吉他制作之前也是經(jīng)過嚴密的數(shù)學計算才能夠這樣輕而易舉的批量生產(chǎn)的。上面說的是基本的弦樂器構造，下面我們在介紹一種中國的傳統(tǒng)樂器笛子4.3笛子音孔中的數(shù)學笛子由于產(chǎn)地不同，所以各種材質(zhì)、外形均是五花八門。你可能覺得既然如此，那么他和數(shù)學就沒有關系了？其實不然，樂器都是因為發(fā)聲所以稱之為樂器，既然發(fā)聲那么自然就離不開上面的頻率公式。笛子的發(fā)聲自然是整個笛身的震動，而氣柱的長度不同使得我們可以輕而易舉的控制應高。觀察笛子音孔的分布我們可以看到，在半音的地方，

39、兩個音孔距離很近，而在全音的地方音孔的距離是半音處的兩倍，這是針對目前的七聲音階笛子，而對于中國傳統(tǒng)的五聲音階來講，笛子的音孔是均勻分布的。試想，如果我們用同種材質(zhì)，粗細一樣的管子來制作笛子，那么只要計算好音孔的位置，以及標注好在管子上的比例，那么批量生產(chǎn)也是如此簡單易行，這就大大的降低了笛子的制作成本。4.4數(shù)字音樂之所以寫作本節(jié)，是因為現(xiàn)在數(shù)字音樂有了很大的發(fā)展，不僅僅在音樂領域有很多突破，在數(shù)學領域和計算機領域都有很多應用。這里僅作介紹，里面的信息編碼知識以及信號系統(tǒng)方面的知識，就不在贅述。定義：數(shù)字音樂是用數(shù)字格式存儲的，可以通過網(wǎng)絡來傳輸?shù)囊魳贰?數(shù)字音樂的特點由于是以數(shù)字格式記錄和

40、存儲的，數(shù)字音樂具有以下這么幾個特點:數(shù)字音樂拋棄了實物載體從早期的蠟盤唱片、黑膠唱片到后來的磁帶、CD，傳統(tǒng)的音樂總是附著在某種實物介質(zhì)上供人們消費和欣賞。這些音樂載體對應著不同的技術時代，其共同的特點是都具有可觸摸的外在形態(tài)。數(shù)字音樂的出現(xiàn)打破了這一傳統(tǒng)。它以數(shù)字信號的方式被儲存在數(shù)據(jù)庫里，在網(wǎng)絡空間中流動傳輸，根據(jù)人們的需要被下載和刪除，它的傳播不再依仗于某種實物載體。.數(shù)字音樂傳輸速度快數(shù)字音樂以數(shù)字信號的方式在網(wǎng)絡空間中傳輸，其速度不是以物流方式進行傳播的傳統(tǒng)音樂可比擬的。尤其是在寬帶技術日益成熟的今天，數(shù)字音樂在傳播速度上的優(yōu)勢更加明顯。.數(shù)字音樂的音質(zhì)不會產(chǎn)生損耗傳統(tǒng)音樂載體，比

41、如磁帶、CD等，在多次使用后會產(chǎn)生不可避免的磨損，進而導致音樂品質(zhì)下降。而數(shù)字音樂因為沒有實體形態(tài)，所以不存在磨損的情況，無論被下載、復制、播放多少遍，其品質(zhì)都不會發(fā)生變化。5 數(shù)學家與音樂很少有人既精通數(shù)學又熟識音樂，這使得把計算機用于合成音樂及樂器設計等方面難于成功。數(shù)學的發(fā)現(xiàn)：周期函數(shù)，是現(xiàn)代樂器設計和計算機音響設計的精髓。許多樂器的制造都是把它們產(chǎn)生的聲音的圖像，與這些樂器理想聲音的圖像相比較然后加以改進的。電子音樂的忠實再生也是跟周期圖像緊密聯(lián)系著的。音樂家和數(shù)學家們將在音樂的產(chǎn)生和再生方面，繼續(xù)擔任著同等重要的角色。德國物理學家赫爾姆霍茨說：“在中國人中，有一個明朝的王子叫朱載堉，

42、他在舊派音樂家的大反對中，倡導七聲音階。把八度分成十二個半音以及變調(diào)的方法，也是這個有天才和技巧的國家發(fā)明的?！?997年中國國家領導人出訪美國，在哈佛大學演講時說“明代朱載堉首創(chuàng)的十二平均律，后來成為國際通行的標準音調(diào)”。朱載堉是世界上第一位創(chuàng)立“十二平均律”的科學家，是我國偉大的音樂理論家，他不僅是中國近代音樂的鼻祖，也是杰出的天文學家、物理學家、數(shù)學家和文學家。朱載堉的十二平均律理論傳播到歐洲后，為歐洲學術界所驚嘆。朱載堉的成就震撼了世界。朱載堉在數(shù)學、天文學、計量學、音樂學、律學、舞學等多種科學、藝術領域里取得的卓越成就，使其成為國際矚目的世界文化名人。圍繞著十二平均律的創(chuàng)建，朱載堉成

43、功地登上了一個又一個科學高峰。例如在數(shù)學方面，為了解決十二平均律的計算問題，他討論了等比數(shù)列，找到了計算等比數(shù)列的方法，并將其成功地應用于求解十二平均律。為了解決繁重的數(shù)學運算，他最早運用珠算進行開方運算，并提出了一套珠算開方口訣，這是富有創(chuàng)見之舉。他還解決了不同進位小數(shù)的換算方法，作出了有關計算法則的總結(jié)。在數(shù)學史上，這些都是很引人注目的成就。他在廣泛的科學領域里取得了非凡的成果，為我國創(chuàng)造36個“世界第一”：第一個創(chuàng)建了十二平均律理論；第一個制造出按照十二平均律理論的定音樂器-弦準；第一個發(fā)現(xiàn)“異徑管律”的規(guī)律；第一個在數(shù)學上找到了求解等比數(shù)列的方法；第一個解決了不同進位制的換算方法；第一個在算盤上進行開方運算。在天文歷法方面，精確地計算出回歸年的長度值，精確計算出北京的地理位置與地磁偏角；第一個創(chuàng)立“舞學”，并為這一學科規(guī)定了內(nèi)容大綱；他譜寫的大量旋宮樂曲比世界上最早的德國作曲家的平均律鋼琴曲早300年。音樂和科學尤其是浸潤在數(shù)學中的科學（這是愛因斯坦的科學）在愛因斯坦身上是珠聯(lián)璧合、相映成趣的。他經(jīng)常在彈奏