（精心整理）空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納(期末復(fù)習(xí))

1、空間向量期末復(fù)習(xí)知識(shí)要點(diǎn):1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。 ;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說(shuō)向量、共線（或/）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩

2、個(gè)向量、（），/存在實(shí)數(shù)，使。4. 共面向量 （1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使。6. 空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，

3、顯然有；若，則稱(chēng)與互相垂直，記作：。（2）向量的模：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。（5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：。（交換律）。（分配律）。7.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算： (1).向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)，則(1) ； (2) ；(3) (R)； (4) ·；(2).設(shè)A，B，則= .(3).設(shè)，則=； .(4) .夾角公式 設(shè)，則.(5)異面直線所成角=.(6).直線和平面所成的角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin

4、 |cos |.(7). 二面角的求法(1)如圖，AB，CD是二面角 ­l ­的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角 ­l ­的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小n1，n2或n1，n2練習(xí)題：1已知a(3,2,5)，b(1，x，1)且a·b2，則x的值是()A3 B4 C5 D62已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，則()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y3已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分別與，垂直，則向量a為()A(1,1,

5、1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)4若a(2，3,5)，b(3,1，4)，則|a2b|_.5如圖所示，已知正四面體ABCD中，AEAB，CFCD，則直線DE和BF所成角的余弦值為_(kāi)4.解析a2b(8，5,13)，|a2b|.5.解析因四面體ABCD是正四面體，頂點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影為BCD的垂心，所以有BCDA，ABCD.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為4，則·()·()0··04×1×cos 120°1×4×cos 120°4，BFDE，所以異面直線DE

6、與BF的夾角的余弦值為：cos .6.如圖所示，在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解：(1)P是C1D1的中點(diǎn)，aacacb.(2)N是BC的中點(diǎn)，abababc.(3)M是AA1的中點(diǎn)，aabc，又ca，abc.7.已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)(1)求證：DE平面ABC；(2)求證：B1F平面AEF.證明：以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直

7、線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)­xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，(1)(2,4,0)，平面ABC的法向量為(0,0,4)，·0，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，·(2)×22×(2)(4)×(2)0，B1FEF，·(2)×22×2(4)×00，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.8.如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，

8、PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90°，AB4，CD1，點(diǎn)M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30°的角求證：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面 PAD.證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C­xyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC30°，PC2，BC2，PB4，D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)設(shè)n(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，由即令y2，得n(，2,

9、1)n·×2×01×0，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)如圖，取AP的中點(diǎn)E，連接BE，則E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又·(，2,1)·(2，3,0)0，.BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.9. 如圖，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)(1)求直線AD和直線B1C所成角的大?。?2)求證：平面EB1D平面B1CD.解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度，以DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D

10、73;xyz.根據(jù)已知得：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)(1)(2,0,0)，(2,0,2)，cos，.直線AD和直線B1C所成角為.(2)證明：取B1D的中點(diǎn)F，得F(1,1,1)，連接EF.E為AB的中點(diǎn)，E(2,1,0)，(1,0,1)，(0,2,0)，·0，·0，EFDC，EFCB1.DCCB1C，EF平面B1CD.又EF平面EB1D，平面EB1D平面B1CD.10 如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求證：ABDE；(2)求直

11、線EC與平面ABE所成角的正弦值；(3)線段EA上是否存在點(diǎn)F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO，DO.因?yàn)镋BEA，所以EOAB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形AB2CD2BC，ABBC，所以四邊形OBCD為正方形，所以ABOD.因?yàn)镋ODOO，所以AB平面EOD，所以ABED.(2)因?yàn)槠矫鍭BE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O­xyz.因?yàn)槿切蜤AB為等腰直角三角形，所以O(shè)AOBODOE，設(shè)OB1，所以O(shè)(0,0,0)，A(1,0,

12、0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一個(gè)法向量為(0,1,0)設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為，所以sin |cos，|，即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為.11.(12分)如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4，E是PD的中點(diǎn)(1)求證：平面PDC平面PAD；(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離21.(1)證明如圖，以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,

13、0,2)(4,0，2)，(0，2,0)，(0,0，2)設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n(x，y,1)，則所以平面PCD的一個(gè)法向量為.PA平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD.平面PAD的法向量為(0,2,0)n·0，n.平面PDC平面PAD.(2)解由(1)知平面PCD的一個(gè)單位法向量為. ，點(diǎn)B到平面PCD的距離為.12 如圖所示，在多面體ABCD­A1B1C1D1中，上、下兩個(gè)底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中點(diǎn)

14、，求證：FB1平面BCC1B1；(3)在(2)的條件下，求二面角F­CC1­B的余弦值解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D­xyz，則A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)(a，a，a)，(0,0，a)，|cos，|，異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為.(2)證明：(a，a，a)，(2a,0,0)，(0，a，a)，F(xiàn)B1BB1，F(xiàn)B1BC.BB1BCB，F(xiàn)B1平面BCC1B1.(3)由(2)知

15、，為平面BCC1B1的一個(gè)法向量設(shè)n(x1，y1，z1)為平面FCC1的法向量，(0，a，a)，(a,2a,0)，得令y11，則n(2,1,1)，cos，n，二面角F­CC1­B為銳角，二面角F­CC1­B的余弦值為.13 如圖， 四棱柱ABCD­A1B1C1D1中， 側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(diǎn)(1)證明：B1C1CE; (2)求二面角B1­CE­C1的正弦值(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上， 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長(zhǎng)解：法一：如圖，

16、以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)證明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是·0，所以B1C1CE.(2) (1，2，1)設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個(gè)法向量為m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)為平面CEC1的一個(gè)法向量于是cosm，從而sin m，.所以二面角B1­CE­C1的正弦值為.(3)(0,1,0)，(1,1,

17、1)設(shè)(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sin |cos，|.于是，解得，所以AM.法二：(1)證明：因?yàn)閭?cè)棱CC1底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1B1C1.經(jīng)計(jì)算可得B1E，B1C1，EC1，從而B(niǎo)1E2B1CEC，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1C1EC1，所以B1C1平面CC1E.又CE平面CC1E，故B1C1CE.(2)過(guò)B1作B1GCE于點(diǎn)G，連接C1G.由(1)知，B1C1CE，故CE平面B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1為二面角B1­CE­C1的平面角在CC1E中，由CEC1E，CC