你能證明它們嗎二教學設(shè)計

1、第一章 證明（二）1. 你能證明它們嗎（二）來集鎮(zhèn)一初中：盧志明一、學生知識狀況分析在八年級下冊第六章證明（一），學生已經(jīng)感受了證明的必要性，并通過平行線有關(guān)命題的證明過程，習得了一些基本的證明方法和基本規(guī)范，積累了一定的證明經(jīng)驗；在七年級下，學生也已經(jīng)探索得到了有關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題；而前一課時，學生剛剛證明了等腰三角形的性質(zhì)，這為本課時拓展等腰三角形的性質(zhì)、研究等要三角形的判定定理都做了很好的鋪墊。二、教學任務分析本節(jié)將利用前一課時所證明的等腰三角形的性質(zhì)定理，進一步研究等腰三角形的一些特殊性質(zhì)，以及等腰三角形的判定定理，前者是性質(zhì)定理的直接運用與拓廣，后者則是前者的逆命題，

2、可以發(fā)展學生的逆向思維能力，同時后者的證明過程中，需要借助反證法，因而反證法的學習與運用也成為本課時的教學任務之一，為此，確定本節(jié)課的教學目標如下：1知識目標：探索發(fā)現(xiàn)猜想證明等腰三角形中相等的線段，證明等腰三角形的判定定理，進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性；初步了解反證法的含義，并能利用反證法證明簡單的命題；2能力目標：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發(fā)展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學生的學習能力和思維能力，提高學生學習的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰

3、三角形的本質(zhì)：對稱性，發(fā)展學生的幾何直覺；引導學生體會蘊含在問題解決過程中的思想方法，如歸納、類比、反證法等。3情感與價值觀要求鼓勵學生積極參與數(shù)學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性4教學重、難點重點：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)一一猜想證明”的過程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論結(jié)合實例體會反證法的含義難點：由一般結(jié)論歸納出特殊結(jié)論探求證明思路，特別是反證法的思路含義三、教學過程分析本節(jié)課設(shè)計了八個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課；第二環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題 變式練習；第四環(huán)節(jié)：逆向思考，導出反證法；第五環(huán)節(jié)：適時提問 導出反證法

4、；第六環(huán)節(jié)：及時鞏固 隨堂練習；第七環(huán)節(jié)：探討收獲 課時小結(jié)；第八環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：提出問題，引入新課活動內(nèi)容：在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?活動目的：回顧性質(zhì)，既為后續(xù)研究判定提供了基礎(chǔ)；同時，直接提出新的問題，過渡自然，引入本課研究內(nèi)容，而新的問題是原有性質(zhì)的一個自然拓廣，有助于提高學生提出問題的能力。第二環(huán)節(jié)：自主探究活動內(nèi)容：在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明?；顒幽康模鹤寣W生再次經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜

5、想證明”的過程，進一步體會證明的必要性，并進行證明，從中進一步體會證明過程，感受證明方法的多樣性?；顒有Чc注意事項：活動中，教師應注意給予適度的引導，如可以漸次提出問題：你可能得到哪些相等的線段？你如何驗證你的猜測？你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法？通過學生的自主探究和同伴的交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎(chǔ)上探究出：等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等并對這些命題給予多樣的證明。如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學生得到了下面的證明方法：已知：如圖，在ABC中，AB=AC，BD、CE是AB

6、C的角平分線求證：BD=CE證法1：AB=AC，ABC=ACB(等邊對等角)1=ABC，2=ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對應邊相等) 證法2：證明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的對應邊相等)在證明過程中，學生思路一般還較為清楚，但畢竟嚴格證明表述經(jīng)驗尚顯不足，因此，教學中教師應注意對證明規(guī)范提出一定的要求，因此，注意請學生板書其中部分證明過程，借助課件展示部分證明過程；可能部分學生還有一些困難，注意對有困難的學生給

7、予幫助和指導。第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題 變式練習活動內(nèi)容：提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在學生思考的基礎(chǔ)上，研究課本“議一議”：在課本圖14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一個什么結(jié)論?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么結(jié)論?活動目的：提高學生變式能力、問題拓廣能力，發(fā)展學生學習的自主性?；顒幼⒁馐马椗c效果：教學中應注意對學生的引導，因為學生先前這樣的經(jīng)驗比較少，可能學生一時不知如何研究問題，教師可以引導學生思考：把底角二等份的線段相等如果是三等

8、份、四等份結(jié)果如何呢?從而引出“議一議”。由于課堂時間有限，如果學生全部解決上述問題，時間不夠，可以在引導學生提出上述這些問題的基礎(chǔ)上，讓學生證明其中部分問題，而將其余問題作為課外作業(yè)，延伸到課外；當然，也可以對不同的學生提出不同的要求，如普通學生僅僅證明其中部分問題，而要求部分學優(yōu)生解決所有的問題，甚至要求這部分學優(yōu)生思考“還可以提出哪些類似問題，你是如何想到這些問題的”。在學生解決問題的基礎(chǔ)上，教師還應注意揭示蘊含其中的思想方法。下面是學生的課堂表現(xiàn)：生在等腰三角形ABC中，如果ABD=ABC，那么BD=CE這和證明等腰三角形兩底角的角平分線相等類似證明如下：AB=AC，ABC=ACB(等

9、邊對等角)又ABD=ABC, ACE=ACB,ABD=ACE在BDC和CEB中，ABD=ACE，BC=CB，ACB=ABC,BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對應邊相等)生如果在ABC中，AB=AC, ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE也是成立的因為AB=AC，所以ABC=ACB，利用等量代換便可得到ABD=ACE，BDC與CEB全等的條件就能滿足，也就能得到BD=CE由此我們可以發(fā)現(xiàn)：在ABC中，AB=AC，ABD=ABC，ACE=ACB，就一定有BD=CE成立生也可以更直接地說：在ABC中，AB=AC，ABD=ACE，那么BD=CE 師這兩位同學都由特殊結(jié)論猜想出了

10、一般結(jié)論請同學們把一般結(jié)論的證明過程完整地書寫出來(教師可巡視指導)下面我們來討論第(2)問，請小組代表發(fā)言生在ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE由此我們得到了一個更一般的結(jié)論：在ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE證明如下：AB=AC又AD=AC，AE=AB，AD=AE在ADB和AEC中，AB=AC，A=A，AD=AE，ADBAEC(SAS)BD=CE(全等三角形的對應邊相等)生一般結(jié)論也可更簡潔地敘述為：在ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE師這里的兩個問題都是由特殊結(jié)論得出更

11、一般的結(jié)論，這是我們研究數(shù)學問題常用的一種思想方法，它會使我們得到意想不到的效果例如通過對這兩個問題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中，相等的線段有無數(shù)組這和等腰三角形是軸對稱圖形這個性質(zhì)是密不可分的第四環(huán)節(jié)：逆向思考，導出反證法活動過程與效果：教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學結(jié)論的一條途徑例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?生如圖，在ABC中，B=C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應邊就可以了師你是如何想到的? 生由前

12、面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把ABC分成兩個全等的三角形師很好同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然后分組討論生我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把ABC分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)纫驗槲覀兊玫降臈l件是兩個三角形對應兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的后兩種方法是可行的師那么就請同學們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來(教師可讓兩個同學在黑板上演示，并對推理證明過程講評)(證明略)師我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形

13、這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學語言的對稱美第五環(huán)節(jié)：適時提問 導出反證法我們類比歸納獲得一個數(shù)學結(jié)論，“反過來”思考問題也獲得了一個數(shù)學結(jié)論如果否定命題的條件，是否也可獲得一個數(shù)學結(jié)論嗎?我們一起來“想一想”：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等你認為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?有學生提出：“我認為這個結(jié)論是成立的因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發(fā)現(xiàn)，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因為它的條件和結(jié)論都是否定的”的確如此像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們

14、有沒有別的證明思路和方法呢?我們來看一位同學的想法：如圖，在ABC中，已知BC，此時AB與Ac要么相等，要么不相等假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法，假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)A=90°，B=90°，可得A+B=180°，但ABC中A+B+C=180°, “A+B=180°”與“A+B+C=180°”相矛盾，因此ABC中不可能有兩個直角引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢?引出反證法。都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法第六環(huán)節(jié)：及時鞏固 隨堂練習 已知：如圖，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求證：AB=AC證明：ADBC，1=B(兩直線平行，同位角相等)，2=C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角對等邊)第七環(huán)節(jié)：探討收獲 課時小結(jié)本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形